2020屆上海市金山中學高三上學期期中數學試題(解析版)

1、第1 1頁共 1818 頁2020屆上海市金山中學高三上學期期中數學試題一、單選題1 1若 a a 為實數，則a 1成立的一個充分不必要條件是()3A A.a 2B B.a 1C C. a a 0 0D D.a 1【答案】C C【解析】根據充分不必要條件的判斷方法， 本題就是找哪個選項中的范圍是a|a 1的子集，從而得到答案 【詳解】要求a 1成立的一個充分不必要條件即要找出它的一個充分不必要條件，只要找出由條件可以推出a 1. .反之不成立的條件即可. .即要找出一個范圍比不等式的范圍a|a 1小的真子集即可 只有選項 C C 滿足.故選：C C.【點睛】本題主要考查了充分條件與必要條件與充

2、要條件的判斷，本題解題的關鍵是把命題之間的關系轉化為集合之間的包含關系，本題是一個基礎題.2 2 .如圖所示為函數f (x) 2sin( x )0,0 的部分圖像，點 A A 和點 B B之間的距離為 5 5,那么f 1為( )A A . x3B B. -1-1C C. 1 1D D. 、3【答案】B B第2 2頁共 1818 頁【解析】 根據代B兩點之間的距離為 5 5 可得函數的周期，得到的值，再根據圖像與第3 3頁共 1818 頁軸交于點0,1,可求出，然后可求f(0). .【詳解】根據圖像連接AB，過點 代B作y軸的垂線和平行線，交于點H. .即函數 f f (x)(x)的周期T 6，

3、所以即f (0) 2sin 1，且0本題考查根據三角函數的圖像求函數表達式，考察三角函數的圖像性質，屬于中檔題 3 3 .周脾算經有記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷(guigui)長損益相同，晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即所測定的影子的長度，二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長變化量相同，周而復始，若冬至晷長最長是一丈三尺五寸，夏至 晷長最短是一尺五寸，(一丈等于 1010 尺，一尺等于 1010 寸)，則秋分節(jié)氣的晷長是 ()在直角三角形ABH中，AB 5,BH4，可得AH 3. .所以f(x)2叫x)，又圖像與軸交于點0,1所以f(x)2sin2sin -6故選：B B【

4、點第4 4頁共 1818 頁A A .七尺五寸B B.二尺五寸C C .五尺五寸D D .四尺五寸【答案】A A【解析】由題意從夏至到秋分到冬至的過程中晷長為等差數列，設為an，則夏至晷長為首項，冬至晷長為第 1313 項，利用等差數列的通項公式即可得出.【詳解】由題意從夏至到秋分到冬至的過程中晷長為等差數列，設為an. .則 615,亦135, ,則公差d9且135 1510. .13 112秋分晷長為a7a16d 15 6075. .所以秋分節(jié)氣的晷長是七尺五寸故選：A A.【點睛】本題考查了等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.下說法中正確的是（4 4 定義在 R R

5、 上的函數yf x滿足：對于任意實數X1、X2X1X2，有f X1f X2x2成立，函數g(x) f(2x) x 112X2、X，則以X1X2第5 5頁共 1818 頁A A .函數y f x在1,上可能單調遞減B B .函數y f x在1上不可能單調遞增C C 對于任意X1,X21,）且X1X2，有g X1g X2x1x2X1X?成立第6 6頁共 1818 頁g X g x2D D .對于任意X1,X21,)且X1X2，有 -【答案】根據函數的單調性的定義和性質以及利用作差的方法證明不等式對各個選項進【詳解】1,的單調遞增 所以 A A 不正確. .,1上單調遞增，則當 X X ,X,X2(

6、1,)(1,)時一 為1、一為， x21乙x2行判斷, 從而得到答案X1x2【解A.A.當X1,X21,)時,X f x23 xix20,所以函數y f x在X1X2時, ,Xif X1f x20 3x2成立，即,1可能單調遞增，故 B B不正確 又當 X Xi，X X2(1(1g為g X2X|x2f(2xi).XT1 12X12. f(2x2).廠12X22元X,x22 2f (2x1) f (2x2) 12 x1x2f(2G f(2x2)12 x12x22X1x2XiX2X1x2fX1x2X1f x2XX2f 2x1f 2X2X1X2X1gX2c12 x1X2X2X1X2f 2為f 2x2

7、2x12x23 2為2x23 x1x2f(2xj f(2x2)由3即12 xgX1x2X X2第7 7頁共 1818 頁若 x,Xx,X2中有一個為 1 1，不妨設x 1,由以上過程有：g Xig X23 X-!X2為X2區(qū)G 31 X21x2所以選項 D D 正確. .故選：D D【點睛】本題考查函數的單調性的定義和性質的應用以及利用作差法證明不等式力，屬于難題 二、填空題5 5 .函數f (X) Jx(1 X)的定義域為 _ . .【答案】0,1【解析】 根據函數定義域滿足被開方數非負，可列出不等式x(1 x) 0，解出不等式即可. .【詳解】由函數f (x)x(x)的定義域滿足x(1 x

8、) 0. .解得：0 x1. .所以函數f (X)X(1X)的定義域為0,1 故答案為：0,1【點睛】本題考查具體函數的定義域問題，屬于基礎題此時g Xig X2XiX2X20. .，考查計算第8 8頁共 1818 頁6 6 .函數+的最小正周期為_【答案】【解析心：其周期為【考點】和差倍半的三角函數，三角函數的圖象和性質7 7 .若1a 2,2b3, 則a的范圍是b【答案】!,13【解析】 先由2b3求出11 1，然后用不等式的基本性質可求解3b 2【詳解】由2 b3，得1113b2111又1 a 2，由不等式的性質有：1 a 23b21 a所以13 b1故答案為：一,13【點睛】1 1 1

9、本題考查不等式的性質的應用，由2 b 3求得，是解題的關鍵.屬于基礎3 b 2題 8 8方程lg(x 1) lg(x 4)1的解為 x=x=_. .【答案】1 1【解析】由lg(x 1) lg(x 4)1有l(wèi)g (x 1)(x 4)1，則(x 1)(x 4)10結合對數的真數為正，可得到答案 【詳解】x 10根據題意有，得 x x 1.1.x 4 0由lg(x 1) lg(x 4)1得到lg (x 1)(x 4)1. .第9 9頁共 1818 頁即(x 1)(x 4)10,解得：x 1或x 6( (舍).).第 1010 頁 共 1818 頁故答案為： 1 1 【點睛】 本題考查解對數方程，注

10、意對數的真數為正，屬于基礎題 . .29 9 集合A y |y |X|,X R,B y | y 2 x ,x R，則AI B=_. .【答案】0,2【解析】 先分別求出集合 代B,再求交集AI B. .【詳解】由A y| y |X|,X R y| y 0. .2B y|y 2 X2,X R y|y 2所以AI B 0,2故答案為：0,2【點睛】本題考查集合的表示方法和集合求交集, ,屬于基礎題 . .1010 .在等差數列an中，印a2a3a?36，則a；a；圧的最小值為【答案】4848【解析】根據等差數列的通項公式可由條件化簡得a 4d 4，代入a；a；a；中即可求解 【詳解】因為等差數列a

11、n中，a1a2a3a936，所以a14d 4，22 2 2 2 2 2所以a22a52a82(43d)242(43d)218d24848，222故a2a5a8的最小值為 4848，故答案為： 4848【點睛】 本題主要考查了等差數列的性質，考查了學生的計算能力，屬于容易題. .1111.已知函數f(x)x22x，x0，則不等式f x2x x,x 0f (2x)的解集為【答案】(,0) U(2,)【解析】 先分析出函數 f f (x)(x)的單調性，然后根據單調性可得2x22x，從而解出答案【詳解】第1111頁共 1818 頁作出函數 f f(X)(X)的圖像，如圖由函數的圖像觀察可得，函數f(

12、x)f(x)在R上是單調遞增函數. .由f X2f(2 x)有x22X. .解得：x 2或X 0. .故答案為：(，0) U (2,)【點睛】本題考查分段函數的單調性的判斷，利用單調性解不等式，屬于基礎題. .1212 .已知函數 y y f f x x x x 是偶函數，若g x x f x，貝yg 2 g 2= =_. .【答案】8 8【解析】由g 2 g 22 f(2) f( 2),根據函數 y y f f x x x x 是偶函數可求出f (2) f( 2)，從而得出答案. .【詳解】設h(x)f xx,由條件h(x)為偶函數. .所以h(2) h( 2)，即f(2)2 f( 2)2.

13、 .則f(2) f( 2)4. .所以g 2g 22f 22 f 22f(2) f( 2)2 4 8. .故答案為：8 8【點睛】本題考查利用偶函數的性質求抽象函數的函數值，屬于中檔題第1212頁共 1818 頁1313.設函數f (x) sinkx coskx，其中 k k 是一個正整數 若對任意實數 a a,均有f (x) |a x a 1f (x) | x R，則 k k 的最小值為 _ . .【答案】7 7【解析】 根據題意由函數 f(x)f(x)的周期性和函數的最值，可得函數f f (x)(x)的最小正周期T 1，由此可求得答案 【詳解】f (x) sin kx coskx 2 si

14、n kx. .4若對任意實數 a a,均有f (x) |a x a 1f (x) | x R即在任意一個長度為 1 1 的開區(qū)間上函數 f f (x)(x)至少能取到一個最大值和最小值. .2則函數 f f (x)(x)的最小正周期T 1，即T1，所以k 2. .k又 k k 是一個正整數，所以 k k 的最小值為 7.7.故答案為：7 7【點睛】本題考查正弦型函數的周期性和最值，屬于中檔題1414 已知非空集合 M M 滿足M0,1,2,3，若存在非負整數 k k (k 3)，使得對任意a M，均有2k a M，則稱集合 M M 具有性質 P P，則具有性質 P P 的集合 M M 的個數為

15、_ . .【答案】8 8【解析】分k的取值進行分情況計算討論滿足條件的集合M，從而得到答案. .【詳解】當k 0時，M為0. .當k 1時，M為1,0,2,0,1,23第1313頁共 1818 頁1616 已知數列an滿足：對任意大于1 1 正整數 n n 都有anan 1a2n1成立，若1a22，a33，則a19a20a21a510的值為_【答案】14當k 2時，M為2, 1,3, 1,2,3當k 3時，M為.所以滿足條件的集合M有 8 8 個 故答案為：8 8【點睛】本題考查了集合的運算性質、元素與集合之間的關系、新定義，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題.1515 如下圖，

16、數陣中每一個數分裂為下一行中的兩個數，其中左側的數為原數減去3 3,右側的數為原數的相反數，若前n n 行中不同數字的個數為a.n N*，則【解析】列出前幾行中的數據，可以分析歸納出前3 3 行分別有 1 1 個，2 2 個, 數字，從第 4 4 行起每行新增 4 4 個不同的數字，則可計算出a20i9的值. .【詳解】根據數陣中的規(guī)律可得，前 3 3 行分別有 1 1 個，2 2 個，3 3 個不同的數字可歸納出，從第 4 4 行起每行新增 4 4 個不同的數字（其余數字相同）所以前 20192019 行中不同數字的個數為a20191 2 3 2016 4 8070故答案為：80708070

17、【點睛】本題考查歸納推理，考查觀察分析能力，屬于中檔題3 3 個不同的第二第1414頁共 1818 頁a5ioa509L L 82551，這樣一直算到題目所需要的項的和，即可求解【詳解】由對任意大于 1 1 正整數 n n 都有anan 1a2n1成立1由一有ai5ai8 .3將一代入得：玄19玄20a?1*510= =314故答案為：一3【點睛】 本題考查數列的特殊遞推關系，根據關系和所求找出規(guī)律是關鍵，屬于難題 三、解答題1717 .在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,cos A7. .8(1) 若b 3,c 2a，求 a a；(2) 若b c 4，求VABC的面積的最大值.

18、.【答案】(1 1)a 2或a -( 2 2)-15a254a253L La1271, ,ai26a1 25L La631a62a61LLa311, ,a30a29L La151所以ai5a18a19a20a21a5105.又a2a3a4LL8a2*3a4La8a9L812a2a3a4LLa14a2a3La6a-La141 22a255【解析】根據對任意大于 1 1 正整數 n n 都有anan!a2n1成立，有所以851Oa509L L第1515頁共 1818 頁24【解析】 直接由余弦定理將條件代入，得到關于a的方程可解出邊a. .由cosA-，求出sin A, ,由b c 4利用均值不等

19、式求出bc的最大值，從而可得8答案 第1616頁共 1818 頁【詳解】所以S bcsin A上15，即VABC的面積的最大值為 一15244【點睛】本題考查余弦定理和利用均值不等式求三角形面積的最大值，屬于基礎題(1(1)求集合 A A;【解析】將不等式x 2 a 20變形為|x 2| 2 a，然后對a進行分離討論解不等式 2(2)(2)先求出集合B中元素滿足x k ,k Z，求出其中絕對值最小的值，即a的值,3再解不等式 【詳解】(1 1)解：|x 2| 2 a,2 a 0，即a 2時，A2 a 0，即a 2時，a 2 x 2 2 a, ,即a 4 x a所以A (a 4, a)綜上：a

20、2時，A. .a 2時，A (a 4, a). .(2)sinx3 cos x0,332 2 2 2(1)a b c 2bccosA,a9 4a212a7,a 2或a8(2)si nA, 1 cos A1818 .關于 x x 的不等式x 2 a 20 a R的解集為 A A.x 、3cos x 330 0 , , a a 恰好是 B B 中絕對值最小8(2 2)設集合B x|sin的元素，求集合 A.A.【答案】(1 1)A (a 4第1717頁共 1818 頁第1818頁共 1818 頁x k ,k Z，x k , k Z于是a【點睛】本題考查含絕對值不等式的解法和三角函數的化簡求值，屬于

21、基礎題1919 .已知：f (x) x21x(1(1)利用單調性定義證明: 在區(qū)間1,上是增函數;22x的圖像沒有公共點，求實數X【詳解】【詳解】【答案】(1(1)證明見解析(2)(2)1,【解析】按照函數單調性的定義法證明的步驟進行證明即可設hx，即h x0恒成立，代入化簡可得h(x)t 2，通過配方即可得到答案(1(1)證明:任取X1,X21,)，且 X X1X X2，f x-1X22X1丄-2X1x2 -2X1因為1X1x2， 所以2X12X2122x-ix2所以2 2X1x2f x2f x在區(qū)間1,上增函數(2(2)解：yX的圖像與g X2x-的圖像沒有公共點X所以對任意x0有f x

22、g x恒成立,即h x 0恒成立得tan134(2(2)若y f X的圖像與t t 的取值范圍第1919頁共 1818 頁h(x)21+X2tX2小12x，則h(x)xxX12 x t 2X2h(x)X11t 1,所以h(x) t 1,)X所以t10,實數t t 的取值范圍為1,【點睛】本題考查利用定義法證明函數的單調性以及二次型函數的圖像性質，考查構造法，屬于中檔題 2020 .定義：對于一個項數為m m 2,m N*的數列an，若存在k N*且k m, 使得數列an的前 k k 項和與剩下項的和相等(若僅為 1 1 項，則和為該項本身)，我們稱 該數列是 等和數列”例如：因為32 1，所以

23、數列 3 3, 2 2, 1 1 是等和數列”請解答以下問題：(1)數列 1 1, 2 2, p p, 4 4 是 等和數列”，求實數 p p 的值；(2) 項數為4t tN*的等差數列an的前 n n 項和為Snn N*, n 4t,St0, 求證：耳是等和數列”.(3)bn是公比為 q q 項數為mm N*,m 3的等比數列 0，其中q 2且bnOn N*, n m恒成立. .判斷 0 是不是 等和數列”，并證明你的結論. .【答案】(1 1)p 5或p 1或p 1(2 2)證明見解析 (3 3)bn不是 等和數列”, 證明見解析【解析】(1 1)對令k 1,2,3分別計算，得到答案. .

24、k2q2會得到矛盾，從而判斷處結論【詳解】(2)ta1邇3 d 0,得2a12(1 t) d，若bn是等和數列，存在 k k 使得Sk2Sk，即k(k t)d 6t d. .分 d d0進行討論即可. .(3)假設bn是等和數列”則存在km，使得BkBmBk成立，即第2020頁共 1818 頁(1)若k 1，即12 p 4，則p5. .第2121頁共 1818 頁若k 2，即12 p 4，則p 1. .若k3，即12p 4，則p 1. .所以p5或p1或p 1（2 2）證明方法一：Stta1t(t衛(wèi)d 0，所以2a1(1 t) d2假設存在 k k 使得數列an的前 k k 項和與剩下項的和相

25、等，即SkS4tSk，所以2SkS4t. .2ka1k(k1) d4ta12 t(4t1) d，k(1t) dk(k1)d2t(1 t)d2t(4t 1)d，即k(k t)d6t2dd . .當 d d0 0 時,an0，對任意k k*N ,k4t都有Sk0，S4t0，即SkS4tSk，所以此匕時 a,a,n是等和數列”；當d0時，k(k2 2t) 6t，k2kt6t20，此時k3t或k2（舍去） 即存在k 3t N*且k 4t，使得SkS4tSk成立，所以此時an是等和數列 由上得：an是等和數列”證明方法二：設an公差為 d d.St七 j，S2tStat!at 2a2t，同理：S3t$專

26、t，S4tS3.寧t，于是S2tStSat 1a2ta1at.2tdtt2d，同理t22S3tStS2tStt d，S4tS3t2S3tS2tt d，即St，S2tSt，S3tS2t，S4t 成等差數列,所以S.SltStS2tSStS?t，因為St0，所以S4tS3tS3.，即存在k3t，使得SkS4tSk，所以an是等和數列”（3 3）bn不是等和數列”證明方法一：設Bn為bn的前 n n 項和第2222頁共 1818 頁反證法：假設結論不成立，即bn是等和數列”,則存在k N且k m，使得BkBmBk成立，即2BkB是qk bL丄工成立，即2qk1 qm1 q1 qq 2時，2qk1 2

27、qkqk 1,m k，即m k 1，所以q即bn不是等和數列”【點睛】力，屬于中檔題 2121 .定義：如果存在實常數a a 和 b b,使得函數f x總滿足f(x) f (2a x) x b, 我們稱這樣的函數f所以2qk1 qm，與2qk1 qm產生矛盾. .所以假設不成立,bn不是等和數列”證明方法二：反證法：假設結論不成立，即bn是等和數列則存在k N且k m，使得BkBmBk成立，即2BkBm. .曰2b 1 qk是-1 q即2qk1 qm得到21這里2qm k 1得qm k2產生矛盾所以假設不成立，即bn不是等和數列”證明方法三:先證該數列滿足：設Bn為bn前 n n 項和，則對任

28、意n N都有Bn成立 證明：bn1Bnbqnb qn1q 1b qn(q 2) 1因為q 2，所以q 1qn(q2)1 o，bio，所以u qn(q2)1所以Bnbn 1恒成立 由此得：對任意k Nm，Bkbn，即BkBmBk，所以不存在k N且km，使得BkBmBk成立，本題利用數列中的新定義考查等差數列和等比數列的前n項和, ,考查計算能力和推理能第2323頁共 1818 頁x是“a,b型函數”請解答以下問題:_x(J已知函數f (x) Ig p 1 (p 0, p 1)是“0,b型函數”求p和b的值;2 2 2(2) 已知函數f(x) (x 1)5(x (x 5)5kx是“a,m型函數”

29、求一組滿 足條件的 k k、m m 和 a a 的值，并說明理由. .(3) 已知函數y f x是一個“0,0型函數”且f 00,y f x是增函數，若M x,y是f x在區(qū)間2,2上的圖像上的點，求點M M 隨著f x變化可能到達的區(qū)域的面積的大小，并證明你的結論. .p 101【答案】(1)( 2 2)k -，m 3，a 3，理由見解析(3 3)M M 點在不等b 02式y(tǒng)(y x) 0(x 0時等號不成立)所表示的區(qū)域內，面積為4 4，證明見解析【解析】由函數f (x) lg p 1 ( p 0, p 1)是0, b型函數”則有f (x) f( x) x b，將函數表達式代入可求出p,b的值. .(2)(2)先證明y f x的圖像是關于x 3對稱的，然后根據fX是“a,m型函