春季四年級(jí)奧數(shù)班講義

1、第 一 講定義新運(yùn)算(又名:自定義)例1:規(guī)定一種運(yùn)算: ab=3a4b,例如,25=3245=620=26,52=3542=158=23, ,根據(jù)以上規(guī)律計(jì)算: 102 210 簡(jiǎn)析: 本題屬于“用字母表示數(shù)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容,重點(diǎn)是弄清規(guī)定,找出規(guī)律. 含義為:給定兩個(gè)數(shù)a與b,用3乘第一個(gè)數(shù)a,用4乘第二個(gè)數(shù)b,并將結(jié)果相加 102 210 =31042 = 32410 =308 = 640 =38 =46 式中的“”為“關(guān)系符號(hào)”，不是運(yùn)算符號(hào)，可以是任意的字符，圖片，實(shí)物等 計(jì)算完畢后比較一下:定義新運(yùn)算中,交換律適用嗎?配套練習(xí):1.規(guī)定一種運(yùn)算:mn=4m3n,根據(jù)以上規(guī)律計(jì)算:532

2、.規(guī)定一種運(yùn)算：ab=abab，試求： 64例2：對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定：ab=a+3b+4，試求：123 123簡(jiǎn)析：本題是例1的發(fā)展，重點(diǎn)在于弄清運(yùn)算順序。其運(yùn)算順序與四則混合運(yùn)算順序相同，但要注意，先計(jì)算部分是個(gè)整體，應(yīng)加括號(hào)，沒(méi)算到的部分往下帶。應(yīng)該用發(fā)展的、動(dòng)態(tài)的眼光對(duì)待a與b. 123 =1+32+43 a=1,b=2 =463 =243 =24+33+4a=24,b=3 =277 =189 123=12+33+4a=2,b=3=157 =135=1+335+4a=1,b=35 =439=156配套練習(xí):1. 對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b,規(guī)定ab=a+5b,試求 123 123 注意:5b表

3、示5b或b52. 對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b,規(guī)定:ab=a2b2.試求:354例3:如果23=2+3+4,52=5+6,45=4+5+6+7+8,.照此規(guī)律,計(jì)算 35 83簡(jiǎn)析:本題是自找規(guī)律,通過(guò)觀察,找到a與b之間的關(guān)系是關(guān)鍵.首數(shù)字是第一個(gè)數(shù),每組數(shù)是遞增的,個(gè)數(shù)的多少受第二個(gè)數(shù)的限制,第二數(shù)是幾,加數(shù)就是幾個(gè)加數(shù)較多時(shí)可用配對(duì)法計(jì)算或等差數(shù)列求與公式計(jì)算. 35 83 =3+4+5+6+7 =8+9+10 =25 =27注:本組計(jì)算有技巧,你能發(fā)現(xiàn)嗎?配套練習(xí):1. 如果53=567,24=2345,按此規(guī)律計(jì)算:34.2. 如果24=242+4,36=3636,按此規(guī)律計(jì)算:84例4:規(guī)定

4、一種運(yùn)算:5C3=543321=10,6C2=6521 =15,10C4=109874321=210,按此規(guī)律計(jì)算:7C4簡(jiǎn)析:本題是高二的排列組合問(wèn)題,在小學(xué)屬于“閱讀與理解”的內(nèi)容.在數(shù)圖形與“解決問(wèn)題的策略”中有比較廣泛的用途.本題是例3的具體應(yīng)用,難度較小.鼓勵(lì)學(xué)生自主完成.解答過(guò)程:略.第 二 講一. 闊 步 課 堂例1:甲乙兩數(shù)的乘積是60,如果甲數(shù)擴(kuò)大5倍,乙數(shù)不變,乘積是多少?如果甲數(shù)不變,乙數(shù)擴(kuò)大5倍,乘積是多少?如果甲乙都擴(kuò)大5倍,乘積是多少?簡(jiǎn)析:擴(kuò)大幾倍,就是某數(shù)乘幾.可通過(guò)具體算式探討規(guī)律.再運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題.605=300 605=300 6055=1500二.盈虧

5、問(wèn)題例1:將一堆蘋果分給小朋友,每人分9個(gè),則少45個(gè);每人分7個(gè),則多5個(gè).有多少人,共有多少個(gè)蘋果?簡(jiǎn)析:本題屬典型的盈虧問(wèn)題.多為“盈”,少為“虧”.重點(diǎn)在于理解“盈”與“虧”之間的關(guān)系.可借助線段圖加以理解.蘋果總數(shù)與人數(shù)是不變的,兩次分配中的總數(shù)差異是因?yàn)閮纱沃忻咳朔值玫膫€(gè)數(shù)差異造成的. 總數(shù)相差多少?借助線段圖直觀顯示(圖略) 45+5=50（個(gè)） 每人分配相差多少? 97=2（個(gè)） 一共有幾人? 502=25（人） 一共有幾個(gè)蘋果? 92545=180（個(gè)）或者 257+5=180（個(gè)）做完后體會(huì)線段圖與例題中各數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系答：略配套練習(xí): 某校有若干個(gè)學(xué)生寄宿學(xué)校.若每一間房

6、住6人,則多40人;若每間房住8人,則最后一間房少2人.有多少住宿學(xué)生與多少間房? 數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)做數(shù)學(xué)題,如果每人做6道題,則少4道;如果每人做4道題,則多10道.有多少個(gè)學(xué)生與多少道題?例2:同學(xué)們?nèi)澊?每船坐4人,則少一條船;如果每條船坐6人,則多出4條船.有多少條船與多少人?簡(jiǎn)析:本題是例1的升級(jí).將盈與虧復(fù)雜化.少一條船,意味著多出:4人此為盈;多出4條船,意味著少:64=24（人）,此為虧.然后借助例1的程式化解答方式求解. 總數(shù)相差多少?41+46=28（人） 每條船坐的人數(shù)相差多少? 6-4=2（人） 有幾條船? 282=14（條） 有多少人? 1444=60（人）或者 1

7、4646=60（人）答：略配套練習(xí): 學(xué)校給新生分配宿舍,如果每間住8人,則少2間房;如果每間住10人,則多出2間房.一共有幾間房與多少人? 一個(gè)學(xué)生從家到學(xué)校,如果以每分鐘50米的速度行走,就要遲到8分鐘;如果以每分鐘60米 的速度行走,就可以提前5分鐘到校.這個(gè)學(xué)生出發(fā)時(shí)離上學(xué)時(shí)間還有多少分鐘?例3:學(xué)校派一些學(xué)生搬一批樹(shù)苗.如果每人搬6棵,則差4棵;如果每人搬8棵,則差18棵.學(xué)生有多少人?有多少棵樹(shù)?簡(jiǎn)析:本題屬雙虧問(wèn)題.重點(diǎn)在于理解總數(shù)相差多少.仍然借助線段圖解決問(wèn)題（圖略）. 總數(shù)相差多少?18-4=14（棵） 每人搬的樹(shù)苗相差多少? 86=2（棵） 有多少人? 142=7（人）

8、有多少棵樹(shù)? 764=38(棵)答：略配套練習(xí): 科學(xué)課堂上,教師給同學(xué)們發(fā)樹(shù)葉.如果每人分6片,少7片;如果每人分8片,則少17片.有多少片樹(shù)葉? 一堆蘋果分給同學(xué)們.每人4個(gè),多8個(gè);若每人2個(gè),多18個(gè).學(xué)生有多少人?第 三 講一 . 闊 步 課 堂例1:有兩桶水,如果從第一桶倒10升給第二桶,那么兩桶水一樣多.已知兩桶水一共有120升,這兩桶水各有多少升?簡(jiǎn)析:本題屬與差問(wèn)題.可以用線段圖幫助理解.也可用公式解決.方法一:倒著做.從總重入手,倒推各有多少升:1202=60（升） 第一桶有:60+10=70（升）,第二桶有60-10=50（升） 方法二:畫(huà)線段圖.變不平均分為平均分.A方

9、法一:都與第二桶同樣多:120-102=100（升）1002=50（升）第二桶 第一桶:120-50=70（升）B方法二:都與第一桶同樣多:120+102=140（升） 1402=70（升）第一桶 第二桶 120-70=50（升） 直接用公式(略)答：略二 . 替 換 法例1.=200,=5則=（ ） =（ ）簡(jiǎn)析:這是符號(hào)化的替換,比較直觀.有兩種替換方式. 替換成:每個(gè)加5,正好可將換成.3個(gè)加53=15,現(xiàn)在的總與是200+15=215,正好是5個(gè)的總與,所以每個(gè)是:2155=43,因此是:43-5=38 替換成:每個(gè)減去5,正好可以替換成.每個(gè)減少5,一共減少:52=10,現(xiàn)在總與是2

10、00-10=190,這是5個(gè)的總與.每個(gè)為:1905=38,每個(gè)為:38+5=43配套練習(xí):1. =300,=5,則是幾?是幾?2. 甲乙共有600元,甲比乙多10元.甲乙各有多少元?學(xué)生做完后思考:本題與與差問(wèn)題有什么相通之處?例2:=210,=3,則=( ),=( )簡(jiǎn)析:本題是例1的變式.本質(zhì)相同.區(qū)別在于替換條件有所變化.因計(jì)算條件限制,替換只能以大換小.第二個(gè)條件是替換根據(jù).一個(gè)可換3個(gè).一共可換32=6（個(gè)）,現(xiàn)在共有6+1=7(個(gè)),所以每個(gè)為:2107=30,每個(gè)為:303=90配套練習(xí):1.長(zhǎng)方形周長(zhǎng)80厘米,長(zhǎng)比寬長(zhǎng)2厘米.求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬各是多少.2.甲乙共有600元.甲

11、的錢是乙的2倍.甲乙各有多少元?做完后思考:本題與與倍問(wèn)題有什么相通之處?例3:等腰三角形的頂角比底角大18.求它的頂角與底角度數(shù).簡(jiǎn)析:本題是替換法的實(shí)際應(yīng)用.如何替換是關(guān)鍵,弄清底角與頂角概念也很重要.等腰三角形兩腰的夾角是頂角,底與腰的夾角是底角.等腰三角形有兩個(gè)相等的底角. 全替換成底角:頂角去掉18,變成底角,三底角之與是:180-18=162,每個(gè)底角度數(shù)為:1623=54,則頂角為:5418=72 全替換為頂角:每個(gè)底角增加18,一共增加182=36.此時(shí)三個(gè)頂角之與為:180+36=216,每個(gè)頂角度數(shù)為:2163=72,則底角為:72-18=54答：略配套練習(xí):1.等腰三角形

12、的底角比頂角大18,則底角與頂角各是多少度?2.等腰三角形的底角度數(shù)是頂角的2倍,則底角與頂角各是多少度?例4:甲乙共有210元.甲的錢比乙的3倍多10元.甲乙各有多少元?簡(jiǎn)析:本題屬“不完整倍數(shù)問(wèn)題”,關(guān)鍵是變“不完整”為“完整”.基本思想是:多退少補(bǔ) 從甲的錢數(shù)里去掉多出的10元,此時(shí)甲乙共有210-10=200（元）,甲的錢正好是乙的3倍. 畫(huà)線段圖,弄清200元與倍數(shù)間的關(guān)系.順利解答:200（3+1）=50（元）,從而甲的錢數(shù)為503+10=160（元）或者210-50=160（元）答：略 完成后思考:本題與“與倍問(wèn)題”有何相通之處?配套練習(xí):1.甲有200元,比乙的4倍多40元.乙

13、有多少元?2.甲乙共有300元.甲比乙的3倍少60元.甲乙各有多少元?第 四 講一 . 闊 步 課 堂例1:三角形的周長(zhǎng)是20厘米.則三角形的最長(zhǎng)邊長(zhǎng)度小于（ 10 ）厘米.簡(jiǎn)析:本題屬于三角形三邊關(guān)系的內(nèi)容.重點(diǎn)在于：三角形任意兩邊之與大于第三邊.最短的兩邊之與也大于第三邊,從而最長(zhǎng)邊小于202=10（厘米）例2:把一根16厘米長(zhǎng)的吸管剪成三段（每段都是整厘米）,圍成一個(gè)三角形,可能圍成多少種不同的三角形?簡(jiǎn)析:本題是例1的發(fā)展,根據(jù)同樣的道理求解.可先確定最長(zhǎng)邊的范圍. 最長(zhǎng)邊的范圍:最長(zhǎng)邊小于162=8（厘米） 小于8,且另兩邊都不大于8,則16=7+7+2=7+6+3=7+5+4=6+

14、6+4=6+5+5,共有5種答：略配套練習(xí)：用12根火柴棒拼三角形，可以拼出多少種不同的三角形？（不許彎折）二.還原問(wèn)題例1:一個(gè)數(shù)的7倍減去5再加上2,然后除以3得20.求這個(gè)數(shù).簡(jiǎn)析:本題從最后的條件入手解答,也叫“倒著做”.一般用分步式解答. 203=60 60-2=58 58+5=63 637=9配套練習(xí):1.甲,乙,丙三人各有人民幣若干元.甲給乙125元,乙給丙135元,丙給甲40元.這時(shí)三個(gè)人的錢數(shù)都是365元.甲,乙,丙三人原來(lái)各有多少元?2.一個(gè)數(shù)乘9,加上19,再乘2,最后除以2等于109,這個(gè)數(shù)是多少?例2:馬大哈做減法計(jì)算時(shí),把減數(shù)個(gè)位上的1看成7,把被減數(shù)十位上的6看成

15、9,結(jié)果得到差為600.正確的差是多少?簡(jiǎn)析:本題屬于“還原問(wèn)題”的變式。減數(shù)多了7-1=6，就是差少了6；被減數(shù)多算了90-60=30，差增加了30.于是本題可轉(zhuǎn)化為還原問(wèn)題:“某數(shù)減6，再加30，得600,求這個(gè)數(shù)”。 7-1=6，90-60=30 600-30+6=576配套練習(xí)：1.粗心的王蕾在做加法試題時(shí)，把個(gè)位上的5看成看6，把十位上的8看成了3，結(jié)果得到與為123，正確的答案應(yīng)該是多少？2.小馬虎甲在計(jì)算一道三位數(shù)乘兩位數(shù)乘法時(shí)，把一個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的5誤寫成3，乘得的積是4485；小馬虎乙卻把這個(gè)5錯(cuò)寫成8，乘得的積是5460.正確的積是多少？例3：袋子里有一些球，熊愛(ài)華每次拿出其

16、中的一半再放回去1個(gè)球，這樣共操作了4次，袋中還有5個(gè)球。袋中原來(lái)有多少個(gè)球？簡(jiǎn)析：本題操作步驟較多，可以從第四次操作后袋中還有5個(gè)球往前倒推。 第三次操作后還剩幾個(gè)球？（5-1）2=8（個(gè)） 第二次操作后還剩多少個(gè)球？（8-1）2=14（個(gè)） 第一次操作后還剩多少個(gè)球？（14-1）2=26（個(gè)） 開(kāi)始有多少個(gè)球？（26-1）2=50（個(gè)）答：袋中原來(lái)有50個(gè)球。配套練習(xí)：袋子里一共有若干個(gè)棋子，琪琪每次拿出其中的一半多2個(gè)，這樣一共拿了5次，袋中正好沒(méi)有棋子了。原來(lái)袋中有多少個(gè)棋子第 五 講一 . 闊 步 課 堂例1:一個(gè)房間,用邊長(zhǎng)6分米的方磚來(lái)鋪,需要500塊;改用邊長(zhǎng)5分米的方磚來(lái)鋪,

17、需要多少塊方磚?簡(jiǎn)析:本題屬鋪地問(wèn)題.鋪地并非只沿著邊來(lái)鋪,所以不能算周長(zhǎng),要算地面的大小即面積.原來(lái)一塊磚的面積多大? 66=36（平方分米）房間有多大?36500=18000（平方分米）現(xiàn)在每塊磚面積多大? 55=25（平方分米）現(xiàn)在要多少塊磚?1800025=720(塊)答:略例2:(文字題)28與14的與除以它們的差,結(jié)果是多少?簡(jiǎn)析:文字題重點(diǎn)在于計(jì)算順序,可以看做是小型化的應(yīng)用題.可以運(yùn)用“遇與、 差、 再,括號(hào)自然來(lái)”輔助列式計(jì)算.（28+14）（28-14）=4214=3配套練習(xí):用邊長(zhǎng)4分米的方磚鋪地,需要600塊.改用面積30平方分米的方磚來(lái)鋪,需要多少塊?二.數(shù)碼問(wèn)題例1

18、:一個(gè)兩位數(shù),十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的2倍.如果這個(gè)數(shù)加上4,所得的兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字相同.求這個(gè)兩位數(shù).簡(jiǎn)析:本題屬于“簡(jiǎn)單枚舉”,可以把符合第一個(gè)條件的兩位數(shù)列舉出來(lái),再根據(jù)后面的條件進(jìn)行排除.符合第一個(gè)條件的兩位數(shù)有:21,42,63,84把每個(gè)數(shù)加4后進(jìn)行排查:21+4=25,兩個(gè)數(shù)字不相同 42+4=46, 兩個(gè)數(shù)字不相同 63+4=67, 兩個(gè)數(shù)字不相同 84+4=88, 兩個(gè)數(shù)字相同,符合條件.答:這個(gè)數(shù)是84.配套練習(xí):一個(gè)兩位數(shù),個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的3倍.如果把這個(gè)數(shù)加7,則這兩個(gè)數(shù)字就相同.求這個(gè)數(shù).例2:一個(gè)兩位數(shù),其數(shù)字之與是5,如果這個(gè)數(shù)減去9,則兩個(gè)數(shù)字的位置互換.求原來(lái)

19、的兩位數(shù).簡(jiǎn)析:本題屬于例1的鞏固與拓展.也采用列舉法進(jìn)行篩選.符合第一個(gè)條件的兩位數(shù)有:14與41,23與32,50用后面的條件進(jìn)行排查:14-9=5,不符合條件 41-9=32,不符合條件 23-9=14,不符合條件 32-9=23,符合條件 50-9=41,不符合條件答:這個(gè)數(shù)為32.例3:4個(gè)連續(xù)自然數(shù)之與為206.則這4個(gè)自然數(shù)各是多少?簡(jiǎn)析:本題屬于“尋找規(guī)律,運(yùn)用規(guī)律”的內(nèi)容,可以先通過(guò)對(duì)任意4個(gè)連續(xù)自然數(shù)的觀察研究,尋找規(guī)律:等差.再進(jìn)行計(jì)算 以最小數(shù)為基準(zhǔn):后面三個(gè)數(shù)分別比第一個(gè)數(shù)大1,2,3.所以從總與里去掉1,2,3后,四個(gè)數(shù)大小相等.(206-1-2-3)4=50 ,

20、50+1=51,51+1=52,52+1=53.四個(gè)數(shù)為50,51,52,53 以最大數(shù)為基準(zhǔn):前面的三個(gè)數(shù)分別比第一個(gè)數(shù)小1,2,3.因此,只要把總與增加1+2+3=6,四個(gè)數(shù)就大小相等了. (206+1+2+3)4=53,53-1=52,53-2=51,53-3=50 四個(gè)數(shù)為50,51,52,53 以中間數(shù)為基準(zhǔn):中間兩個(gè)數(shù)的與是:2062=103 兩數(shù)相差1,屬于“與差問(wèn)題”,較大數(shù)為: （103+1）2=52,較小數(shù)為: （103-1）2=51.則其余兩個(gè)數(shù)為:52+1=63,51-1=50配套練習(xí):5個(gè)連續(xù)自然數(shù)之與為105,求這5個(gè)數(shù)各是多少.例4:一本書(shū)共有246頁(yè),求從第一頁(yè)

21、到最后一頁(yè),編這本書(shū)的頁(yè)碼一共用了多少個(gè)數(shù)字?簡(jiǎn)析:本題表達(dá)了分類思想,.要做到有條不紊,必須合理分類.1-9頁(yè),9個(gè)數(shù),9個(gè)數(shù)字10-99頁(yè),90個(gè)數(shù),共有902=180(個(gè))數(shù)字100-246頁(yè),共147個(gè)數(shù),共有1473=441(個(gè))數(shù)字一共用了多少個(gè)數(shù)字? 9+180+441=630(個(gè))數(shù)字答:一共用了630個(gè)數(shù)字.第 六 講一 . 闊 步 課 堂就大家提出的問(wèn)題講解一至兩個(gè):略 二.容 斥（重疊）問(wèn)題例1.某班40名同學(xué)參加書(shū)法或繪畫(huà)活動(dòng).參加書(shū)法的有30人,參加繪畫(huà)的有15人.兩種都參加的有多少人?簡(jiǎn)析:本題是關(guān)于重疊的內(nèi)容.獲得基本解題模式是關(guān)鍵.其基本模式是A+B-C=不重復(fù)

22、總數(shù).畫(huà)圖(略),用序號(hào)標(biāo)清數(shù)量解答:30+15-40=5(人) 也可以借助圖形分類計(jì)算(略)配套練習(xí):五年級(jí)有200名學(xué)生參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試,每人至少有一門優(yōu)秀.其中語(yǔ)文優(yōu)秀的有110人,數(shù)學(xué)優(yōu)秀的150人.語(yǔ)文與數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人?例2:某小學(xué)選出10人參加區(qū)級(jí)作文與書(shū)法比賽.結(jié)果人人獲獎(jiǎng).其中3人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng),作文比賽6人獲獎(jiǎng),書(shū)法比賽幾人獲獎(jiǎng)?簡(jiǎn)析:本題是例1的變式題.處理方法基本相同.作文獲獎(jiǎng)人數(shù)+書(shū)法獲獎(jiǎng)人數(shù)-都獲獎(jiǎng)人數(shù)=10人 10+3-6=7（人） 想一想:下面的算式有什么道理? 10-6+3=7（人） 10-(6-3)=7（人）配套練習(xí):一個(gè)班有50人,他們分別訂了數(shù)學(xué)大

23、世界與中國(guó)少年報(bào),其中訂閱數(shù)學(xué)大世界的有30人,兩種都訂閱的有12人,訂閱中國(guó)少年報(bào)的有多少人?例3:某班56人,參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有28人,參加繪畫(huà)比賽的有27人,兩項(xiàng)都沒(méi)有參加的有25人.那么同時(shí)參加比賽的有多少人?簡(jiǎn)析:本題增加了不參加比賽的人.既然沒(méi)參加,那就從總?cè)藬?shù)里去掉這些人,剩下的就是至少參加一項(xiàng)的人了. 參加比賽的有多少人? 56-25=31（人） 兩項(xiàng)都參加的有多少人? 28+27-31=24（人） 下面的算式有什么道理? 28-(56-25-27)=24（人） 27-(56-25-28)=24（人）答:同時(shí)參加比賽的有24人.配套練習(xí):1.一個(gè)旅行社有36人,其中會(huì)英語(yǔ)的有24

24、人,會(huì)法語(yǔ)的有18人,兩樣都不會(huì)的有4人.兩樣都會(huì)的有多少人?2.四年級(jí)參加合唱隊(duì)的有40人,參加舞蹈隊(duì)的有20人,兩項(xiàng)都參加的有14人,兩項(xiàng)都沒(méi)有參加的有10人,這個(gè)年級(jí)有多少人?例4.光明小學(xué)舉辦書(shū)法展覽.各個(gè)年級(jí)均有展品,其中24幅不是五年級(jí)的,有22幅不是六年級(jí)的,五六年級(jí)的參展作品共有10幅,其他年級(jí)參展的作品一共有多少幅?簡(jiǎn)析這是一道需要簡(jiǎn)單推理的學(xué)習(xí)內(nèi)容.數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜,應(yīng)該列舉:其他年級(jí)作品數(shù)+六年級(jí)作品數(shù)=24(幅)其他年級(jí)作品數(shù)+五年級(jí)作品數(shù)=22(幅)五年級(jí)作品數(shù)+六年級(jí)作品數(shù)=10(幅)其它年級(jí)作品數(shù)(22+24-10)2=18(幅)答: 其他年級(jí)參展的作品一共有18

25、幅.做完后思考:下面的解法有什么道理? (24+10+22)2-10=18(幅) 24- (24-22+10)2=18(幅) 22-10-（24-22）2=18(幅)注意: “與差問(wèn)題”沒(méi)學(xué)好的同學(xué)抓緊復(fù)習(xí)公式.第 七 講一 . 闊 步 課 堂例1:數(shù)平行四邊形個(gè)數(shù)簡(jiǎn)析:本題屬于技巧性學(xué)習(xí)內(nèi)容.基本方法是一個(gè)個(gè)地?cái)?shù),這過(guò)于繁瑣,而且容易重復(fù)與遺漏.其次是按照 “一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù),兩個(gè)兩個(gè)地?cái)?shù),”,根據(jù)個(gè)數(shù)分類數(shù),仍然費(fèi)時(shí)費(fèi)力.因此有必要簡(jiǎn)化,用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題.本教材使用“橫加豎加”的方法計(jì)算個(gè)數(shù),快捷簡(jiǎn)便.配套練習(xí)求長(zhǎng)方形個(gè)數(shù).例2:一個(gè)梯形的上底長(zhǎng)度是下底的3倍,如果將梯形的下底延長(zhǎng)6厘米,

26、這個(gè)梯形就變成了- 平行四邊形.這個(gè)梯形的上下底各是多少厘米?簡(jiǎn)析:本題屬于與操作相關(guān)的學(xué)習(xí)內(nèi)容.重點(diǎn)通過(guò)畫(huà)圖觀察,找到解題突破口.是差倍問(wèn)題的具體應(yīng)用. 畫(huà)圖解答:6（3-1）=3 (厘米).下底長(zhǎng)度 上底長(zhǎng)度: 33=9(厘米)配套練習(xí):梯形的上底長(zhǎng)度是下底的4倍.如果下底延長(zhǎng)12厘米,就變成了平行四邊形.則上底長(zhǎng)度是多少?二.假定法解題例1:今有雞、兔共居一籠,已知雞頭與兔頭共35個(gè),雞腳與兔腳共94只.雞與兔各有多少只?簡(jiǎn)析:本題屬于中國(guó)古代“雞兔同籠”問(wèn)題.有畫(huà)圖法,列表法,假定法等多種解題方法.用假定法解題需要把兩個(gè)量看成同一個(gè)量,根據(jù)總量與單一量的變化求解.qq上流傳的方法: 假

27、定雞與兔一起跳舞,第一節(jié):拎起一只腳,大家都做到,這時(shí)還有 94-35=59只腳,第二節(jié):大家表現(xiàn)都不錯(cuò),歡迎再拎一只腳,這時(shí)還有59-35=24只腳.只是雞兒耐不住,撲通撲通全跌倒(偷笑:雞兒早已沒(méi)有腳,只能屁股著地冷汗冒).這時(shí)出來(lái)數(shù)一遍,一雙腳來(lái)一只兔,數(shù)來(lái)數(shù)去不混淆.一個(gè)字:妙!假定法: 假定全是兔: 共有幾只腳?435=140（只） 多算幾只腳?140-94=46(只) 每只雞多算幾只腳?4-2=2(只) 有幾只雞?462=23(只) 兔有幾只? 35-23=12（只） 答:雞有23只,兔有12只.配套練習(xí): 假定全是雞呢?例2:兔媽媽采蘑菇,晴天每天采32個(gè),雨天每天采22個(gè).兔媽

28、媽一共采了390個(gè),平均每天采26個(gè),這些天有幾天下雨?簡(jiǎn)析:本題是雞兔同籠問(wèn)題的變式.可以先求出采蘑菇的天數(shù).然后合理假定.一共采了幾天?39026=15（天）假定全是晴天 一共采大多少個(gè)?3215=480（個(gè)） 多采多少個(gè)? 480-390=90（個(gè)） 每個(gè)雨天多采了多少個(gè)? 32-22=10（個(gè)） 雨天一共有多少天? 9010=9(天)假定全是雨天呢? 答:這些天有9天下雨.配套練習(xí):將問(wèn)題改為“這些天有幾天是晴天?”用兩種方法解答.例3:某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽一共有10題.答對(duì)一題得10分,答錯(cuò)一題或不答倒扣5分.小明參賽得分為70分.他做對(duì)了多少題?簡(jiǎn)析:本題的難點(diǎn)在于:如何計(jì)算答對(duì)一題與答錯(cuò)

29、一題的分?jǐn)?shù)差異.可以借助線段圖幫助理解.假定全答對(duì):1010=100（分） 100-70=30（分） 10+5=15（分）難點(diǎn)所在 3015=2（題） 10-2=8(題)假定全做錯(cuò): 一個(gè)倒扣多少分?510=50（分） 總共相差多少分? 70+50=120（分）注意:是加不是減,可以畫(huà)圖(略) 每道對(duì)題少算多少分? 10+5=15（分） 做對(duì)幾題?12015=8（題）答:他做對(duì)了8題. 第 八 講一 . 闊 步 課 堂例1:只能向下與向右,從A走到B, 一共有幾種不同走法? 簡(jiǎn)析:本題屬于“找規(guī)律”的內(nèi)容.一般采用色筆標(biāo)注的方法進(jìn)行,但過(guò)于繁瑣,有時(shí)無(wú)法進(jìn)行.因此必須采用科學(xué)的方法甲乙解決.用

30、對(duì)角標(biāo)注數(shù)字的方法:一共6種走法.答:一共有6種不同走法.配套練習(xí):只能向下與向右,從A走到B, 一共有幾種不同走法? 例2:用1,3,5,7,一共可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?簡(jiǎn)析:本題屬于排列問(wèn)題,雖屬于高中數(shù)學(xué)知識(shí),但也是小學(xué)“找規(guī)律”的內(nèi)容.初始階段可以采用枚舉法.但現(xiàn)在應(yīng)該用計(jì)算法.屬于乘法原理.千位有4種選擇,百位有3種選擇,十位有2種選擇,個(gè)位此時(shí)只有一種選擇.要組成四位數(shù),單有某位都不行,因此不能一步完成.應(yīng)把每步的可能排法相乘.4321=24（個(gè)）答: 一共可以組成24個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).配套練習(xí):用1,2,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?二.邏 輯 推

31、理例1:已知某月中,星期二的天數(shù)比星期一的天數(shù)多,而星期三的天數(shù)比星期四的天數(shù)多.那么這個(gè)月最后一天是星期幾?簡(jiǎn)析:一周有7天,一個(gè)月最多有31天,317=4（周）3（天）.一個(gè)月里無(wú)論星期幾,最多有5個(gè),最少4個(gè).即本題中星期二與星期三有5個(gè),星期一與星期四有4個(gè).然后畫(huà)個(gè)月歷進(jìn)行推算即可.圖略.答:這個(gè)月最后一天是星期三.配套練習(xí):某年二月,星期日的天數(shù)最多,那么這個(gè)月的最后一天是星期幾?例2:下面是一個(gè)九位數(shù)密碼,相鄰三個(gè)數(shù)字的與是12.你能破解密碼嗎?43簡(jiǎn)析:本題已知數(shù)字少,必須找到數(shù)字排列規(guī)律才能正確解答.借助天平原理,兩邊同時(shí)去掉相同部分,余下部分也相等.從而發(fā)現(xiàn),每隔2格數(shù)字相

32、同,等兩個(gè)數(shù)字并排時(shí)就能算出另外數(shù)字了,從而可以解答.453453453453453453答:密碼為配套練習(xí):下面是十一位密碼,任意三個(gè)相鄰數(shù)字之與是13,你你能破譯嗎?43例3:甲乙丙丁與瑪麗五個(gè)同學(xué)一起參加象棋比賽,每?jī)扇速愐槐P.比賽一點(diǎn)時(shí)間后,甲賽了4盤,乙賽了3盤,丙賽了2盤,丁賽了1盤.那么瑪麗賽了多少盤?簡(jiǎn)析:本題必須進(jìn)行必要的轉(zhuǎn)化.用五個(gè)點(diǎn)表示五個(gè)人,兩人比賽過(guò)的,用線段連接.通過(guò)畫(huà)圖可以很好解決問(wèn)題.解答:見(jiàn)圖答:瑪麗賽了2盤.第 九 講一 . 闊 步 課 堂例1:用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:9937+37 10157-57 6538+3638-38簡(jiǎn)析:四年級(jí)簡(jiǎn)便計(jì)算一般要在計(jì)算過(guò)程中湊

33、整十,整百,整千,如果沒(méi)有出現(xiàn),一般意味著簡(jiǎn)算失敗.9937+37 =9937+371熟練時(shí)可以省略不寫.理解成99個(gè)37再加一個(gè)37 =（99+1）37正好湊成100個(gè)37 =10037=370010157-57 =（101-1）57與第一題同樣道理=10057=57006538+3638-38 =（65+36-1）38不要把最后的38忽略.加減號(hào)不能隨意更改. =10038=3800配套練習(xí):用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:3652+6352+52 2019393例2:有8個(gè)大小完全一樣的球,其中一個(gè)是次品,并且較輕.用一架沒(méi)有砝碼的天平秤,最少稱幾次可以找出次品?簡(jiǎn)析:找次品是訓(xùn)練學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)能力與動(dòng)手

34、操作能力的良好素材.關(guān)鍵是:三個(gè)球一個(gè)次品如何找.解答:隨便拿6個(gè)，三個(gè)一邊，稱重后，兩種情況：一樣重的話，次品一定在剩下的兩個(gè)球里，所以剩下的兩個(gè)小球再稱一次,上翹的那端的托盤里是次品。一共兩次.如果不一樣重，次品一定在較輕的3個(gè)球里，再在3個(gè)球里，拿兩個(gè)稱一下，如果一樣重，那沒(méi)放進(jìn)去的第三個(gè)就是次品，如果不一樣重，上翹的托盤里放的就是次品。也是兩次答:至少要稱兩次.配套練習(xí):有9個(gè)大小完全一樣的球,其中一個(gè)是次品,并且較輕.用一架沒(méi)有砝碼的天平秤,最少稱幾次可以找出次品?二.進(jìn) 制 問(wèn) 題計(jì)算法則:0+0=0,0+1=1,1+1=1000=0,10=0,11=1例1: 把十進(jìn)制數(shù)18改寫成

35、二進(jìn)制數(shù).簡(jiǎn)析:二進(jìn)制就是只用1與0兩個(gè)數(shù)字,表示各個(gè)數(shù).滿二進(jìn)一.即每?jī)蓚€(gè)相同的單位組成與它相鄰的較高的單位.182=9092=4142=2022=10此法叫做 二除取余法.18（10）=10010（2）也可以用短除法完成.注意:余數(shù)為0也要寫上.配套練習(xí):把下面的十進(jìn)制數(shù)改寫成二進(jìn)制數(shù):19 24例2: 把二進(jìn)制數(shù)110（2）改寫成十進(jìn)制數(shù).簡(jiǎn)析:二進(jìn)制數(shù)改寫成十進(jìn)制數(shù),只要把它寫成2的冪之與的形式. （冪,指的是某數(shù)自乘,例如3自乘4次,即3333,寫成34）這是一個(gè)三位的二進(jìn)制數(shù),它的最高計(jì)數(shù)單位是23-1=22.110（2）=12+12+02 =141201 =4+2+0 =6配套練

36、習(xí):11011（2）改寫成十進(jìn)制數(shù)是多少?例3: 計(jì)算: 1101（2）101（2）簡(jiǎn)析:任何進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算,都可以根據(jù)十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算法則來(lái)進(jìn)行.二進(jìn)制加減法只要注意滿二進(jìn)一與借一算二即可. 1 1 0 1（2） + 1 0 1（2） 1 0 0 1 0（2） 1101（2）101（2）=10010（2）配套練習(xí):計(jì)算下列各題:110（2）11（2） 10101（2）1111（2）例4: 計(jì)算: 1011（2）11（2）簡(jiǎn)析:二進(jìn)制的乘法也可列豎式解決.口訣只有兩句:一一得一與一零得零.豎式:略配套練習(xí): 計(jì)算: 1101（2）101（2） 第 十 講一 . 闊 步 課 堂例1: 甲乙兩個(gè)車站之

37、間有3個(gè)小站.各站之間票價(jià)各不相同.要滿足乘客需要,車站一共要配備多少種車票?有多少種票價(jià)?簡(jiǎn)析:本題屬于排列與組合問(wèn)題.車票的來(lái)與去是不同的,即有序.而票價(jià)往返是一樣的.多少種車票? 每個(gè)車站要準(zhǔn)備其他車站的4種車票,5個(gè)站要準(zhǔn)備:45=20（種）車票. 也可先算出單程要幾種車票:1+2+3+4=10（種）,再乘2:102=20（種）有幾種不同票價(jià)?1+2+3+4=10（種）或者 542=10(種)答:車站一共要配備20種車票.有10種票價(jià).配套練習(xí):甲乙之間有4個(gè)小站要?？?從甲到乙,一共要準(zhǔn)備多少種車票?例2: 四個(gè)連續(xù)奇數(shù)之與為192.求這四個(gè)數(shù)各是多少.簡(jiǎn)析:連續(xù)奇數(shù)相鄰兩數(shù)相差2.

38、具體可參照第五課時(shí)的方法求解. （192+2+4+6 ）4=2044=51最大數(shù) 51-2=49,51-4=47,51-6=45 答:四個(gè)數(shù)分別是45,47,49,51. （192-2-4-6） 4=1804=45最小數(shù) 45+2=47,47+2=49,49+2=51答:四個(gè)數(shù)分別是45,47,49,51. 中間兩數(shù)與: 1922=96, 兩數(shù)差為2,用與差問(wèn)題解題公式計(jì)算: （ 96+2）2=49第三個(gè)數(shù) 49+2=51第四個(gè)數(shù) 49-2=47第二個(gè)數(shù) 47-2=45第一個(gè)數(shù) 或者: （96-2）2=47第二個(gè)數(shù),47-2=45第一個(gè)數(shù) 47+2=49第三個(gè)數(shù) 47-2=45第一個(gè)數(shù) 答:四

39、個(gè)數(shù)分別是45,47,49,51.二.行 程 問(wèn) 題 (一)例1: 甲、乙兩人分別從相距20千米的兩地同時(shí)相向而行.甲每小時(shí)行6千米,乙每小時(shí)行4千米.兩人幾小時(shí)后相遇?簡(jiǎn)析:相向而行就是面對(duì)面行走.這是行程問(wèn)題中的“相遇問(wèn)題”.其基本數(shù)量關(guān)系是:速度與時(shí)間=路程.根據(jù)公式可以派生兩個(gè)除法計(jì)算的公式.本題是為以后學(xué)習(xí)打基礎(chǔ).務(wù)必理解.甲乙兩人每小時(shí)共行多少千米?6+4=10（千米）幾小時(shí)相遇?2010=2（小時(shí)）答:2小時(shí)后相遇.例2: 甲、乙兩人同時(shí)從相距2000米的兩地相向而行,甲每分鐘行110米,乙每分鐘行90米.如果一條狗開(kāi)始與甲同行,每分鐘行500米,遇到乙后再返回向甲跑去.這樣不斷

40、往返,直到甲乙相遇為止.狗共跑了多少米?簡(jiǎn)析:本題也叫“蘇步青問(wèn)題”,關(guān)鍵在于“看人不看狗”.人狗行走的時(shí)間相同.如果著眼于狗,計(jì)算繁瑣,過(guò)程復(fù)雜,可能無(wú)法求解.而著眼于人,問(wèn)題迎刃而解. 甲乙?guī)仔r(shí)相遇? 2000（110+90）=2000200=10（分鐘）狗一共走了多少米? 50010=5000（米）答:狗共跑了5000米.配套練習(xí):甲、乙兩個(gè)車隊(duì)同時(shí)從相距330千米的兩地相向而行.甲每小時(shí)60千米,乙每小時(shí)50千米.一個(gè)人騎摩托車以每小時(shí)80千米的速度在兩隊(duì)中間往返聯(lián)絡(luò).當(dāng)兩車隊(duì)相遇時(shí),摩托車行駛了多少千米?例3: 甲、乙兩人在環(huán)形跑道上以各自不變的速度跑步.如果兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)相背

41、而行,乙跑4分鐘后兩人第一次相遇.甲跑一周要6分鐘,乙跑一周要幾分鐘?簡(jiǎn)析:本題是高年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容.但本題解法有別于高年級(jí).甲、乙各跑4分鐘相遇,甲繼續(xù)跑乙的4分鐘路程,只需6-4=2（分鐘）,花的時(shí)間是乙的一半,因此乙的時(shí)間是甲的兩倍.4（6-4）6=12（分鐘）倍比法配套練習(xí):甲騎摩托車,乙騎自行車分別從兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,5小時(shí)后相遇.甲行完全程要15小時(shí),乙行完全程要多少小時(shí)?第 十 一 講一 . 闊 步 課 堂例1: 正方形的邊長(zhǎng)增加3厘米,面積增加51平方厘米.求原來(lái)正方形的面積.簡(jiǎn)析:本題表達(dá)數(shù)形結(jié)合思想.先畫(huà)出符合題意的圖形,再進(jìn)行合理分割,就能求出邊長(zhǎng),繼而求出面積.A,

42、B,C為增加部分,其中A,B大小相等.C是邊長(zhǎng)為3厘米的正方形. C的面積是多少? 33= 9（平方厘米） A與B的面積是多少? 51-9=42（平方厘米）A或B的面積:422=21（平方厘米）原正方形邊長(zhǎng): 213=7（平方厘米）原正方形面積: 77=49（平方厘米）答:原來(lái)正方形的面積是49平方厘米.配套練習(xí):正方形的邊長(zhǎng)增加2厘米,面積增加36平方厘米.求原來(lái)正方形的面積.例2:AB=610,若A與B都擴(kuò)大2倍,則商與余數(shù)各是多少?簡(jiǎn)析:本題屬于“商不變性質(zhì)”的應(yīng)用.注意,商雖不變,但余數(shù)卻跟著變.商是6,余數(shù)是 102=20配套練習(xí):AB=2010,若A與B都縮小2倍,商與余數(shù)各是多少

43、?二.巧妙求與例1:王蕾讀一本長(zhǎng)篇小說(shuō),她第一天讀30頁(yè),從第二天起,她每天讀的頁(yè)數(shù)都比前一天多3頁(yè),第11天讀了60頁(yè),正好讀完.這本書(shū)有多少頁(yè)?簡(jiǎn)析:本題屬于等差數(shù)列求與.基本公式為: 與=（首項(xiàng)+尾項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2 項(xiàng)數(shù)=（尾項(xiàng)-首項(xiàng)）公差+1（30+60）112=495（頁(yè)）答:這本書(shū)有495頁(yè).配套練習(xí):馬師傅做一批零件,第一天做了20個(gè),以后每天都比前一天多做2個(gè),最后一天做了42個(gè).這批零件有多少個(gè)?例2:30把鎖的鑰匙搞亂了,為了使每把鎖都配上自己的鑰匙,最多要試多少次?簡(jiǎn)析:本題屬于組合問(wèn)題.第一把鎖要打開(kāi),要試30-1=29（次）,第二把要試29-1=28（次）,余此類推.29+28+27+2+1=（29+1）292=435（次）答:至少要試435次.配套練習(xí):有一些鎖的鑰匙搞亂了,已知最多要試28次,就能使每把鎖都配上自己的鑰匙.問(wèn):一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了?例3: 求199這99個(gè)連續(xù)自然數(shù)的所有數(shù)字的與.簡(jiǎn)析:本題求的是數(shù)字之與,不是數(shù)的與.為了湊整對(duì)數(shù),把0加入,這100個(gè)數(shù)頭尾配對(duì)后每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之與都相等,都是9+9=18,共有1002=50（對(duì)）.（9+9）（1002）=900.