介紹Wallis公式及其應(yīng)用參考模板

1、 Wallis公式及其應(yīng)用本文講述Wallis公式，以及它的推導(dǎo)過(guò)程。然后講述Wallis公式的兩個(gè)重要應(yīng)用，即推導(dǎo)Stirling公式和求解Euler-Poisson積分。 Contens     1. 什么是Wallis公式    2. Wallis公式的推導(dǎo)過(guò)程    3. 利用Wallis公式推導(dǎo)Stirling公式    4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson積分  1. 什么是

2、Wallis公式    Wallis公式是關(guān)于圓周率的無(wú)窮乘積的公式，公式內(nèi)容如下        其中，開(kāi)方后還可以寫成      1 / 82. Wallis公式的推導(dǎo)過(guò)程    Wallis公式的推導(dǎo)采用對(duì)在區(qū)間內(nèi)的積分完成，令        用部分積分法得到如下推導(dǎo)過(guò)程   

3、;      進(jìn)一步得到        所以繼續(xù)得到        所以最終得到        由的單調(diào)性可知        即得到        由兩邊夾擠準(zhǔn)則得到&#

4、160;       這樣就推導(dǎo)出了Wallis公式。  3. 利用Wallis公式推導(dǎo)Stirling公式    斯特林公式如下        接下來(lái)利用Wallis公式來(lái)推導(dǎo)斯特林公式。    借助函數(shù)的圖像面積，通常有三種求法，分別是積分法，內(nèi)接梯形分割法，外切梯形分割法。實(shí)   際上最準(zhǔn)確的是第一種，后面兩種都有一定誤差。  &#

5、160; 對(duì)于積分法求面積有        對(duì)于內(nèi)接梯形分割法有        很容易知道，令，很容易證明為有界遞增序列，則        接下來(lái)令，則有極限，設(shè)        則根據(jù)Wallis公式得到        

6、進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到        所以最終得到        帶入原式得到斯特林公式      4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson積分    在上面，我通過(guò)Wallis公式完美地推導(dǎo)了斯特林公式，接下來(lái)繼續(xù)看Wallis公式的另一個(gè)應(yīng)用，即求解   Euler-Poisson積分。    E

7、uler-Poisson積分是無(wú)限區(qū)間上的非正常積分        它在概率論等數(shù)學(xué)分支以及其它自然科學(xué)中都有重要應(yīng)用，由于它的被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，   因此不能用牛頓-萊布尼茲公式求它的值?，F(xiàn)在我就用上面學(xué)到的Wallis公式來(lái)求解。    借助函數(shù)在時(shí)取得最大值1，因此對(duì)于任何，都有，從   而得到和，所以        對(duì)任意自然數(shù)都有        由于        那么，我們又知道        即得到不等式為        同時(shí)取平方后得到&#