李正元高等數(shù)學強化講解

1、第一講 極限、無窮小與連續(xù)性 一、知識網(wǎng)絡(luò)圖 二、重點考核點 這部分的重點是：掌握求極限的各種方法掌握無窮小階的比較及確定無窮小階的方法判斷函數(shù)是否連續(xù)及確定間斷點的類型（本質(zhì)上是求極限）復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)及函數(shù)記號的運算§1 極限的重要性質(zhì) 1不等式性質(zhì) 設(shè)，且AB，則存在自然數(shù)N，使得當nN時有 設(shè)，且存在自然數(shù)N，當nN時有，則AB 作為上述性質(zhì)的推論，有如下的保號性質(zhì)：設(shè)，且A0，則存在自然數(shù)N，使得當nN時有0設(shè)，且存在自然數(shù)N，當nN時有0，則A0 對各種函數(shù)極限有類似的性質(zhì)例如：設(shè)，且AB，則存在0，使得當有f（x）g（x）設(shè)，且存在0，使得當0xx0時f（x）g（x）

2、，則AB 2有界或局部有界性性質(zhì) 設(shè)，則數(shù)列有界，即存在M0，使得M（n = 1，2，3，） 設(shè)則函數(shù)f（x）在x = x0的某空心鄰域中有界，即存在0和M0，使得當0xx0時有f（x）M對其他類型的函數(shù)極限也有類似的結(jié)論§2 求極限的方法更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號： 1極限的四則運算法則及其推廣 設(shè)，則 只要設(shè)存在或是無窮大量，上面的四則運算法則可以推廣到除“”，“”，“0·”，“”四種未定式以外的各種情形即： 1°設(shè)，則.（）又B0，則2°設(shè)，當xx0時局部有界，（即，使得時），則 設(shè)，當xx0時g（x）局部有正下界，（即$0，b0使得0x

3、x0時g（x）b0），則 3°設(shè)，則，又$0使得0x x0時f（x）g（x）0，則 4°設(shè)，xx0時g（x）局部有界，則（無窮小量與有界變量之積為無窮小） 2冪指函數(shù)的極限及其推廣 設(shè) 只要設(shè)存在或是無窮大量,上面的結(jié)果可以推廣到除“1”，“00”及“0”三種未定式以外的各種情形這是因為僅在這三個情況下是“0·”型未定式 1°設(shè) = 0（0x時f（x）0），則 2°設(shè) = A0，A1， = + ，則 3°設(shè) = + ，則 【例1】 設(shè)【分析】 【例2】設(shè)，均為非負數(shù)列，且則必有 （A）對任意n成立 （B）對任意n成立（C）極限不存在

4、（D）不存在 用相消法求或型極限 【例1】求 【解】作恒等變形，分子、分母同乘【例2】求 【解】作恒等變形，分子、分母同除得 利用洛必達法則求極限 【例1】設(shè)f（x）在x = 0有連續(xù)導數(shù)，又求【例2】求【例3】求【例4】求【例5】若，則【例6】求 【例7】設(shè)a0，b0為常數(shù)且，則（a，b） = 【分析】型極限 因此（a，b） = 分別求左、右極限的情形，分別求的情形 【例1】設(shè)，求【例2】求利用函數(shù)極限求數(shù)列極限【例1】 求 【例2】求 【解1】 轉(zhuǎn)化為求 【解2】用求指數(shù)型極限的一般方法轉(zhuǎn)化為求（等價無窮小因子替換），余下同前§3 無窮小和它的階更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號

5、： 1無窮小、極限、無窮大及其聯(lián)系 （1）無窮小與無窮大的定義 （2）極限與無窮小，無窮小與無窮大的關(guān)系其中o（1）表示無窮小量 在同一個極限過程中，u是無窮小量（u0）Þ是無窮大量反之若u是無窮大量，則是無窮小量 2無窮小階的概念 （1）定義 同一極限過程中，a（x），b（x）為無窮小， 設(shè) 定義 設(shè)在同一極限過程中a（x），b（x）均為無窮小，a（x）為基本無窮小，若存在正數(shù)k與常數(shù)使得 稱b（x）是a（x）的k階無窮小，特別有，稱xx0時b（x）是（xx0）的k階無窮小 （2）重要的等價無窮小x0時 x， x，（1 + x） x，1 x； 1 ， x， x；（1 + x）a1

6、，1 （3）等價無窮小的重要性質(zhì) 在同一個極限過程中 1°若a b，bgÞa g2°a bÛa = b + o（b） 3°在求“”型與“0·”型極限過程中等價無窮小因子可以替換 【例1】 求【例2】 設(shè) 【分析】 由已知條件及又在x = 0某空心鄰域f（x）0Þ，又3x1 3于是 【例3】 設(shè)xa時a（x），b（x）分別是x a的n階與m階無窮小，又，則xa時 （1）a（x）h（x）是x a的階無窮小 （2）a（x）b（x）是x a的階無窮小 （3）nm時，a（x）±b（x）是x a的階無窮小 （4）nm時是x a

7、的階無窮小 （5）k是正整數(shù)時，ak是x a的階無窮小以上結(jié)論容易按定義證明。例如，已知，Þf（x）g（x）是x a的n + m階無窮小 【例4】設(shè)f（x）連續(xù)，xa時f（x）是x a的n階無窮小，求證：是x a的n + 1階無窮小 【例5】x 0時，是x的階無窮?。皇莤的階無窮??；是x的階無窮小，是x的階無窮小【例6】x 0時，下列無窮小中（ ）比其他三個的階高， （A）x2 （B）1 （C） （D）x 【例7】當x 0時，與比較是（ ）的無窮小 （A）等價 （B）同階非等價（C）高階 （D）低階更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號：（或者搜索中文：好給力）§4 連續(xù)性及其

8、判斷 1連續(xù)性概念 （1）連續(xù)的定義： 函數(shù)f（x）滿足，則稱f（x）在點x = x0處連續(xù)；f（x）滿足（或，則稱f（x）在x = x0處右（或左）連續(xù) 若f（x）在（a，b）內(nèi)每一點連續(xù)，則稱f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)；若f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)，且在x = a處右連續(xù)，在點x = b處左連續(xù)，則稱f（x）在a，b上連續(xù)（2）單雙側(cè)連續(xù)性f（x）在x = x0處連續(xù) Ûf（x）在x = x0處既左連續(xù)，又右連續(xù) （3）間斷點的分類： 設(shè)f（x）在點x = x0的某一空心鄰域內(nèi)有定義，且x0是f（x）的間斷點 若f（x）在點x = x0處的左、右極限f（x00）與f（x0 + 0

9、）存在并相等，但不等于函數(shù)值f（x0）或f（x）在x0無定義，則稱點x0是可去間斷點；若f（x）在點x = x0處的左、右極限f（x00）與f（x0 + 0）存在但不等，則稱點x0是跳躍間斷點：它們統(tǒng)稱為第一類間斷點 若f（x）在點x = x0處的左、右極限f（x00）與f（x0 + 0）至少有一個不存在，則稱點x0為第二類間斷點 2函數(shù)連續(xù)性與間斷點類型的判斷： 若f（x）為初等函數(shù)，則f（x）在其定義域區(qū)間D上連續(xù)，即當開區(qū)間（a，b）Ì D，則f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)；當閉區(qū)間c，d Ì D，則f（x）在c，d上連續(xù)若f（x）是非初等函數(shù)或不清楚它是否為初等函數(shù)，則

10、用連續(xù)的定義和連續(xù)性運算法則（四則運算，反函數(shù)運算與復(fù)合運算）來判斷當f（x）為分段函數(shù)時，在其分界點處則需按定義或分別判斷左、右連續(xù)性 判斷f（x）的間斷點的類型，就是求極限 3有界閉區(qū)間a，b上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)： 最大值和最小值定理：設(shè)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則存在和Îa，b，使得f（）f（x）f（），（axb） 有界性定理：設(shè)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則存在M0，使得 f（x）M，（axb） 介值定理：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且f（a）f（b），則對f（a）與f（b）之間的任意一個數(shù)c，在（a，b）內(nèi)至少存在一點，使得 f（） = c推論1（零值定理）：設(shè)f

11、（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且f（a）f（b）0，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點，使得f（） = 0推論2：設(shè)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，且m和M分別是f（x）在a，b上最小值和最大值，若mM，則f（x）在a，b上的值域為m，M 【例1】 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界 （A）（1，0） （B）（0，1） （C）（1，2） （D）（2，3） 【分析一】這里有界只須考察，g(x）是初等函數(shù)，它在定義域（x1，x2）上連續(xù)，有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界，1，0 Ì定義域，g(x）在1，0有界，選（A） 【分析二】設(shè)h(x）定義在（a，b）上，若或，則h(x）在（a，b）無界因，Þ在（0，

12、1），（1，2），（2，3）均無界選（A） 【例2】設(shè)，討論y = f（g（x）的連續(xù)性，若有間斷點并指出類型 【分析與解法1】先求f（g（x）的表達式 在（，1），（1，2），（2，5），（5， +），f（g(x）分別與初等函數(shù)相同，故連續(xù)x = 2或5時可添加等號，左、右連接起來，即左連續(xù)又右連續(xù)Þ f（g(x）在x = 2或5連續(xù)x = 1時Þx = 1是f（g（x）的第一類間斷點（跳躍間斷點） 【分析與解法2】 不必求出f（g（x）的表達式g(x）的表達式中，x = 2或5處可添加等號，左、右連接起來Þg(x）在（， +）處處連續(xù)，u1時連續(xù)u = g（x

13、） = 1Ûx = 1 因此，x1時由連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的Þf（g（x）連續(xù) = 1時Þ x = 1是f（g（x）的第一類間斷點第二講 一元函數(shù)微分學的概念、計算及簡單應(yīng)用更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號： 一、知識網(wǎng)絡(luò)圖 二、重點考核點 這部分的重點是導數(shù)與微分的定義、幾何意義，討論函數(shù)的可導性及導函數(shù)的連續(xù)性，特別是分段函數(shù)，可導與連續(xù)的關(guān)系按定義或微分法則求各種類型函數(shù)的一、二階導數(shù)或微分（包括：初等函數(shù)，冪指數(shù)函數(shù)，反函數(shù)，隱函數(shù)，變限積分函數(shù)，參數(shù)式，分段函數(shù)及帶抽象函數(shù)記號的復(fù)合函數(shù)），求n階導數(shù)表達式求平面曲線的切線與法線，描述某些物理量的變

14、化率導數(shù)在經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用如“彈性”，“邊際”等（只對數(shù)三，數(shù)四）§1 一元函數(shù)微分學中的基本概念及其聯(lián)系 1可導與可微的定義及其聯(lián)系2幾何意義與力學意義是曲線y = f（x）在點（x0，f(x0）處切線的斜率是相應(yīng)于Dx該切線上縱坐標的增量 質(zhì)點作直線運動，t時刻質(zhì)點的坐標為x = x(t），是t = t0時刻的速度 3單側(cè)導數(shù)與雙側(cè)導數(shù)f（x）在x = x0可導均存在且相等 此時 【例1】 說明下列事實的幾何意義（1）（2）f(x)，g(x)在 x0處有連續(xù)二階導數(shù)，（3）f(x）在x = x0處存在，但.（4）y = f(x）在x = x0處連續(xù)且 【例2】，d0為某常數(shù)設(shè)均存在

15、且.求證：. 【例3】請回答下列問題： （1）設(shè)y = f（x）在x = x0可導，相應(yīng)于Dx有Dy = f（x0 + Dx）f（x0），Dx0時它們均是無窮小試比較下列無窮?。篋y是Dx的無窮小；Dy是Dx的無窮?。粫rDy與是無窮?。?）與Du是否相等？ 【例4】設(shè)f（x）連續(xù)，試討論的存在性與的存在性之間的關(guān)系 （1）考察下列兩個函數(shù)圖形，由導數(shù)的幾何意義來分析存在與存在之間的關(guān)系 （2）f（x0）0時，求證：存在Û存在 【證明】 因0，由連續(xù)性，Þ$d0，使得當xx0d時有f（x）0或f（x）0，于是在x0該鄰域內(nèi)必有f（x）= f(x）或f（x）= f(x）之一成立

16、，故在點x = x0處兩個函數(shù)的可導性是等價的 （3）f（x0） = 0時，求證：存在 【證明】 設(shè)f（x0） = 0存在 綜合可得，題目中結(jié)論（2）和（3）成立也可以概括為：點x = x0是可導函數(shù)的絕對值函數(shù)的不可導點的充分必要條件是它使得f（x0）= 0但 【評注】 論證中用到顯然的事實： 【例5】 設(shè)函數(shù)f(x）連續(xù)，且，則存在d 0，使得 （A）在（0，d）內(nèi)單調(diào)增加 （B）在（d，0）內(nèi)單調(diào)減少（C）對任意的xÎ（0，d）有f（0）（D）對任意的xÎ（d，0）有f（0）§2 一元函數(shù)求導法 反函數(shù)求導法： 設(shè)f（x）在區(qū)間可導，值域區(qū)間為，則它的反函數(shù)

17、x =j（y）在可導且 【例】 設(shè)y （x）滿足，求它的反函數(shù)的二階導數(shù) 【解】 變限積分求導法： 設(shè)函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)，則在a，b上可導，且，（axb） 設(shè)在c，d上連續(xù)，當xÎ a，b時函數(shù)u（x），v（x）可導，且的值域不超出c，d，則在a，b上可導，且，（axb） 【例1】 設(shè)f（x）在（，+ ）連續(xù)且求 【例2】設(shè)f（x）在（，+）連續(xù)，又，求 【例3】設(shè)，求 【例4】設(shè)f（x）為連續(xù)函數(shù)，則等于 （A）2f（2） （B）f（2） （C）f（2） （D）0 【分析一】先用分部積分法將F（t）化為定積分Þ選（B） 【分析二】轉(zhuǎn)化為可以用變限積分求導公式的情形

18、選（B）【分析三】交換積分順序化為定積分 【分析四】特殊選取法取f（x）= 1（滿足條件）選（B） 隱函數(shù)求導法：【例1】y = y（x）由所確定，則 【例2】y = y（x）由下列方程確定，求 （1）x + = y； 【解】對x求導， 解出再對x求導得 （2），其中 【解】對x求導得利用方程化簡得 再將的方程對x求導得 解出，并代入表達式Þ若先取對數(shù)得 + f（y） 然后再求導，可簡化計算 【列3】設(shè)y = y（x）由方程y = 1確定，求的值 【解】原方程中令x = 0 Þy（0）=1將方程對x求導得 令將上述方程兩邊再對x求導得 分段函數(shù)求導法：【列1】設(shè)f（x）=

19、x2x，則使處處存在的最高階數(shù)n為 【例2】設(shè) （A）不連續(xù) （B）連續(xù)，但不可導 （C）可導但導函數(shù)不連續(xù) （D）可導且導函數(shù)連續(xù) 【分析】先按定義討論f（x）在x = 0的可導性問題進一步考察在x = 0的連續(xù)性 當x0時，由此可知， 在x = 0不連續(xù) 因此，選（C） 【例3】求常數(shù)a，b使函數(shù)處處可導，并求出導數(shù) 【分析與求解】對常數(shù)a，b，x3時f（x）均可導現(xiàn)要確定a，b使存在f（x）在x = 3必須連續(xù)且，由這兩個條件求出a與b由 f（x）在x = 3連續(xù)，a，b滿足 f（3 + 0）= f（30）= f（3）即 3a + b =9在此條件下，即a = 6 代入3a + b =

20、9 Þb = 9 因此，僅當a = 6，b = 9時 f（x）處處可導且 【評注】求解此類問題常犯以下錯誤 1°沒說明對常數(shù)a，b，x3時f（x）均可導 2°先由x = 3處可導求出a值，再由連續(xù)性求出b值請看以下錯誤表達：“因 由得a = 6再由連續(xù)性 f（3 + 0） = f（30）即 9 = 3a + b，9” 錯誤在于當3a + b9時不存在，也不可能有f（3 + 0）= f（30）不能保證f（x）在x = 3連續(xù)僅當f（3 + 0） = f（30）= f（3）時才能保證x = 3連續(xù) 必須先由連續(xù)性定出3a + b = 9，在此條件下就可得 高階導數(shù)與n

21、階導數(shù)的求法 常見的五個函數(shù)的n階導數(shù)公式：§3 一元函數(shù)導數(shù)（微分）概念的簡單應(yīng)用更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號：【例1】 設(shè),在點處的切線與軸的交點為，則 【例2】若周期為4的函數(shù)f（x）可導且則曲線y = f（x）在點（5，f（5）處的切線斜率k = 【例3】設(shè)y = f（x）由方程e2（）= e1所確定，則曲線y = f（x）在點（0，1）處的法線方程為 【例4】已知曲線的極坐標方程為 = 2，點M0的極坐標為（1，），則點M0處的切線的直角坐標方程為【分析一】（數(shù)學一，二）點M0在上，直角坐標為：的參數(shù)方程為，在M0點處的切線的斜率：在M0處的切線方程 【分析二】的方程

22、可化為r2 = ，于是的隱式方程為x2 + y2 = 2y由隱函數(shù)求導法，得 ，于是切線方程為第三講 一元函數(shù)積分學更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號： 一、知識網(wǎng)絡(luò)圖 二、重點考核點 這部分的重點是：不定積分、原函數(shù)及定積分概念，特別是定積分的主要性質(zhì)兩個基本公式：牛頓萊布尼茲公式，變限積分及其導數(shù)公式熟記基本積分表，掌握分項積分法、分段積分法、換元積分法和分部積分法計算各類積分反常積分斂散性概念與計算定積分的應(yīng)用§1 一元函數(shù)積分學的基本概念與基本定理 1原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)： （1）定義 若F（x）的導函數(shù)在某區(qū)間上成立，則稱F（x）是f（x）在該區(qū)間上的一個原函數(shù)：f

23、（x）的全體原函數(shù)稱為f（x）的不定積分，記為 （2）原函數(shù)與不定積分的關(guān)系 若已知F（x）是f（x）的一個原函數(shù)，則 其中C是任意常數(shù) （3）求不定積分與求導是互為逆運算的關(guān)系，即 其中C也是任意常數(shù) （4）不定積分的基本性質(zhì)： 2定積分的概念與性質(zhì)： （1）定義設(shè)，若對任何存在，則稱f（x）在a，b上可積，并稱此極限值為f（x）在a，b上的定積分，記為 定積分的值與積分變量的名稱無關(guān)，即把積分變量x換為t或u等其他字母時，有 另外，約定 （2）可積性條件 可積的必要條件：若f（x）在a，b上可積，則f（x）在a，b上有界 可積函數(shù)類（可積的充分但非必要的條件）： 1°f（x）在a

24、，b上連續(xù)，則f（x）在a，b上可積； 2°f（x）在a，b上有界且僅有有限個間斷點，則f（x）在a，b上可積 （3）定積分的幾何意義： 設(shè)f（x）在a，b上連續(xù)，則表示界于x軸、曲線y = f（x）以及直線x = a，x 之間的平面圖形面積的代數(shù)和，其中在x軸上方部分取正號，在x軸下方部分取負號 特別，若f（x）在a，b上連續(xù)且非負，則表示x軸，曲線（x）以及直線x = a，x = b圍成的曲邊梯形的面積 （4）定積分有以下性質(zhì)： 1°線性性質(zhì)：若f（x），g（x）在a，b上可積，且A、B為兩個常數(shù)，則（x）+ （x）也在a，b上可積，且 2°對積分區(qū)間的可加性

25、：若f（x）在由a、b、c三數(shù)構(gòu)成的最大區(qū)間上可積，則 3°改變有限個點上的函數(shù)值不改變可積性與積分值 4°比較性質(zhì)：若f（x），g（x）在a，b上可積，且f（x）g（x）在a，b上成立，則 進一步又有：若f（x），g（x）在a，b上連續(xù)，且f（x）g（x），f（x）g（x）在a，b上成立，則 若f（x）在a，b可積，則f（x）|在a，b可積且 5°積分中值定理：若f（x）在a，b上連續(xù)，則存在（a，b），使得 3變限積分，原函數(shù)存在定理，牛頓萊布尼茲公式： （1）變限積分的連續(xù)性：若函數(shù)f（x）在a，b上可積，則函數(shù)在a，b上連續(xù) （2）變限積分的可導性，原函數(shù)

26、存在定理：若函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)，則函數(shù)就是f（x）在a，b上的一個原函數(shù)，即"xÎa，b （3）不定積分與變限積分的關(guān)系由原函數(shù)存在定理可得若f（x）在a，b上連續(xù)，則不定積分 ，其中x0Îa，b為一個定值，C為任意常數(shù) （4）牛頓萊布尼茲公式：設(shè)在上連續(xù)，是在上的任一原函數(shù)，則這個公式又稱微積分基本公式 推廣形式：設(shè)函數(shù)f（x）在a，b上連續(xù)，F(xiàn)（x）是f（x）在（a，b）內(nèi)的一個原函數(shù)，又極限F（a + 0）和F（b0）存在，則 （5）初等函數(shù)的原函數(shù) 4周期函數(shù)與奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)： （1）周期函數(shù)的積分性質(zhì)： 設(shè)f（x）在（，+ ）連續(xù)，以T為周期

27、，則1°（a為任意實數(shù)） 2° 3°（即f（x）的全體原函數(shù)）為T周期的【證明】1° 證法1證法2，其中 代入上式得。 （此種證法不必假定f（x）連續(xù)，只須假定f（x）在0，T）可積) 2° 3°只須注意 例（08，數(shù)三，數(shù)四）設(shè)f（x）是周期為2的連續(xù)函數(shù). （）證明對任意的實數(shù)t，有； （）證明G（x） = 是周期為2的周期函數(shù)。【分析與證明】 （）（它是結(jié)論1°的特例，a = 2，見證明1°） （）由題（）的結(jié)論，Þ G（x） = 由于對x，G（x + 2）G（x） = ÞG（x）是周期為

28、2的周期函數(shù) （2）奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)： 設(shè)f（x）在a，a連續(xù)，且為奇函數(shù)或偶函數(shù) 1° 2°令 3°若f（x）為奇函數(shù)，則在a，a上f（x）的全體原函數(shù)為偶函數(shù) 若f（x）為偶函數(shù)，則在a，a上f（x）只有惟一的一個原函數(shù)為奇函數(shù) 【證明】2°設(shè)f（x）為奇函數(shù)證法1考察 Îa，a ÞÞF（x）（x）（xÎa，a），即F（x）為偶函數(shù)證法2xÎa，a），即F（x）為偶函數(shù)（此種證法只須假設(shè)f（x）在a，a可積） 3°只須注意2°的結(jié)論 【例1】【分析】 【例2】，且f（1） = 0

29、，則f（x） = 【分析】 【例3】設(shè)f（x）的導數(shù)是，則f（x）的原函數(shù)是【分析】 【例4】設(shè)f（x）連續(xù)，f（x） = x + 2，則f（x） = 【分析】 【例5】下列命題中有一個正確的是 （A）設(shè)f（x）在a，b可積，f（x）0，0，則0 （B）設(shè)f（x）在a，b可積， Ìa，b，則 （C）設(shè)在a，b可積，則f（x）在a，b可積 （D）設(shè)f(x）在a，b可積，g(x）在a，b不可積，則f(x）+ g(x）在a，b不可積 【分析1】f（x）在a，b可積，g(x）在a，b不可積Þf(x）+ g(x）在a，b不可積反證法若不然，則f(x）+ g(x）在a，b可積，由線性性

30、質(zhì)Þg（x）f（x）+ g（x）f（x）在a，b可積，得矛盾，選（D）【分析2】舉例說明（A），（B），（C）不正確由（A）的條件只能得0如，x0Î（a，b）Þf（x）0，0（xÎa，b），但 = 0（A）不正確 關(guān)于（B），請看右圖，由定積分的幾何意義知0，0，（B）不正確 這里，Ìa，b，但 關(guān)于（C），是f（x）與的可積性的關(guān)系f（x）在a，b可積在a，b可積 如 = 1在a，b可積，但f（x）在a，b不可積，（C）不正確，因此選（D） 【例】判斷積分值的大?。骸痉治觥?【例7】把積分值 按大小排序，其中f（x）在a，b上滿足：0，0，0

31、【分析】 【例8】設(shè)則（x）（A）為正數(shù) （B）為負數(shù) （C）為0（D）不為常數(shù) 【例9】設(shè)g（x） = 則g(x）在區(qū)間（0，2）內(nèi) （A）無界 （B）遞減 （C）不連續(xù) （D）連續(xù) 【分析】這是討論變限積分的性質(zhì)已知結(jié)論可以用：若f（x）在a，b可積，則g(x）在a，b連續(xù)，這里f（x）在0，2可積（有界，只有一個間斷點），則在0，2連續(xù)選（D） 5利用定積分求某些n項和式的極限 【例10】§2 基本積分表與積分計算法則§3積分計算技巧【例1】求【例2】 求（ba）【例3】 求，n為自然數(shù)【例4】對實數(shù)，求【解】【例5】求【解】§4反常(廣義)積分1基本概念（

32、1）若，稱收斂，并記否則稱發(fā)散若，稱收斂，并記否則稱發(fā)散若，均收斂，稱收斂且否則稱發(fā)散 （2）設(shè)f（x）在（a，b內(nèi)閉子區(qū)間可積，在a點右鄰域無界，若極限，稱收斂，并記=否則稱發(fā)散這里稱為瑕點若b為瑕點，類似定義設(shè)f（x）在a，c）（c，b內(nèi)閉子區(qū)間可積，在x=c鄰域無界若，均收斂，稱收斂且 否則稱發(fā)散 （3）幾個重要的反常積分 1°a0， 2°a1， 3° 4°5°，均發(fā)散 【例1】反常積分（ ）發(fā)散 （A） （B） （C） （D） 【例2】下列命題中正確的有個 （1）設(shè)f（x）在（，）連續(xù)為奇函數(shù)，則0 （2）設(shè)f（x）在（，）連續(xù)，存在，

33、則收斂 （3）若與均發(fā)散，則不能確定是否收斂 （4）若均發(fā)散，則不能確定是否收斂 【分析】要逐一分析 （1）f（x）在（，）連續(xù)，收斂例如f（x）在（，）連續(xù)，為奇函數(shù)，但發(fā)散（1）是錯的 （2）f（x）在（，）連續(xù)，收斂存在 如f（x），=0，但發(fā)散 故（2）是錯誤的 （3）正如兩個函數(shù)的極限均不存在，但它們相加后的極限可能存在，也可能不存在一樣，若，均發(fā)散，則不能確定是否收斂如f（x）=，均發(fā)散，但收斂 若取g（x）發(fā)散因此（3）是正確的 （4）按斂散性的定義，僅當，均收斂時，才是收斂的，否則為發(fā)散因此，均發(fā)散時是發(fā)散的（4）也不正確 共有1個是正確的 2廣義積分的計算【例3】求【例4】

34、求【例5】 求【例6】 求§5一元函數(shù)積分學的應(yīng)用更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號： 1一元函數(shù)積分學的幾何應(yīng)用 【例1】曲線11x2（0x1），x軸和y軸所圍區(qū)域被L22（a0）分成面積相等的兩部分，確定a的值 【解】先求1與2的交點（x0，y0）：被分成的兩部分面積分別記為.由 【例2】求由x222x與yx確定的平面圖形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 【解一】該平面圖形可表示為， 在此平面圖形繞直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體中縱坐標滿足的一層形狀為圓環(huán)形薄片，其外半徑為，內(nèi)半徑為，從而，這個圓環(huán)形薄片的體積為 故旋轉(zhuǎn)體的體積為 【解二】該平面圖形可表為作垂直分割，相應(yīng)的小豎條繞

35、直線x=2旋轉(zhuǎn)而成的體積微元 y x 于是，整個旋轉(zhuǎn)體的體積【例3】求曲線的全長（a0）（只對數(shù)一，數(shù)二）【解】以6p為周期在0，6p中，r00，3p，于是，曲線的全長曲線C是光滑，選定一端點作為度量弧S的基點。曲線C上每一點M對應(yīng)有弧長S，點M 第 152 頁處切線的傾角為，稱K = 為平面曲線C在點M的曲率，為C點M的曲率半徑，過點M作曲線C的法線，在曲線凹的一側(cè)，在法線上取一點D，便，以D為圓心，為半徑作一個圓，稱它為曲線C在點M處的曲率圓，圓心D稱為曲率中心。設(shè)曲線C的直角坐標方程為y = y（x），y（x）二階可導，則曲率 K = 曲線C上點的曲率中心（a，b）是 a = xb =

36、y + 2.一元函數(shù)積分學的物理應(yīng)用（數(shù)一，數(shù)二）【例4】設(shè)在很大的池中放有兩種液體，上層是油，比重1，厚度為h1，下層是水，厚度為h2（2R），現(xiàn)有半徑為R，比重（1）的球沉入池底，如將球從液體中取出需作多少功？（設(shè)移動過程中兩種液體厚度均不變）（只對數(shù)一，數(shù)二） 【解】設(shè)球心為坐標原點，x軸正向垂直向上，建立坐標系如圖，可把球上的一個薄片看成一個質(zhì)點，當把球從池底完全取出液體的過程中，該薄片在水中移動的距離是h2（Rx），這時外力的大小是重力減去浮力即，該薄片在油中移動的距離是h1，這時外力的大小是；該薄片在空氣中移動的距離是Rx，這時外力的大小是，故出取出該薄片的過程中需作功：從R到R積

37、分，并利用奇函數(shù)在對稱區(qū)間上積分為零的性質(zhì)和球體積公式可得到將球從液體中取出需作的功：平面曲線的質(zhì)心（形心）公式（數(shù)一，數(shù)二）：設(shè)質(zhì)量均勻分布的平面曲線，其線密度為常數(shù)，參數(shù)方程有連續(xù)的導數(shù)，則的質(zhì)心: 平面圖形的質(zhì)心（形心）公式（數(shù)一，數(shù)二）： 設(shè)有平面圖形：axb，g（x）yf（x），其中f（x），g（x）在a，b連續(xù)，質(zhì)量均勻分布，面密度為常數(shù)，則它的質(zhì)心； 【例5】（數(shù)一，數(shù)二）質(zhì)量均勻分布的平面光滑曲線，全長l，以A點作為計算弧長的起點，取弧長s為自變量，參數(shù)方程為x=x（s），y=y（s）（0sl） （）寫出的質(zhì)心的積分表達式.（）在x軸上方，證明繞x軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

38、等于曲線的質(zhì)心繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的圓周之長乘以曲線的弧長l（）求圓周繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的圓環(huán)體的側(cè)面積A【解】（）用微元法可導出的質(zhì)心的表達式 （）由題（）得 等式右端即繞x軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，左端正是的質(zhì)心繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的圓周之長與l之積，因此結(jié)論成立 （）由題（），又質(zhì)心（0，a），圓周長為，于是圓環(huán)體的側(cè)面積 §6積分等式與不等式的證明更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號： 【例1】設(shè)f（x）在a，b有二階連續(xù)導數(shù)，求證明： 【分析與證明】 【證】用分部積分法 【例2】0ab，f（x）在a，b連續(xù)，并滿足：，求證： 【證】用換元積分法令，故 于是 【例3】設(shè)f（x），g

39、（x）在a，b連續(xù)且滿足 求證： 【分析與證明】已知 要證： 因 所以將（*）式從a到b積分即得證第四講 一元函數(shù)微分學中的基本定理及其應(yīng)用一、知識網(wǎng)絡(luò)圖更多考研公共課資料，關(guān)注微信公眾號：拐點 二、重點考核點這部分的重點是：羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理及其應(yīng)用利用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)（函數(shù)為常數(shù)，單調(diào)性與極值點，凹凸性與拐點，漸近線）最值問題及應(yīng)用題利用微分學方法證明函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)零點的存在性并確定個數(shù)，證明函數(shù)不等式等§1一元函數(shù)微分學中的基本定理中值定理 費馬定理：設(shè)f（x）在x=x0取極值，存在 羅爾定理：設(shè)f（x）在a，b連續(xù)，在（a，b）可導，且 【例1】設(shè)f（x

40、）在（a，b）可導且ax1x2b，則至少存在一點c使（ ）成立 （A） （B） （C）（D）【例2】回答問題：設(shè)f（x）在a，b有連續(xù)的一階導數(shù)且，又f（x）在（a，b）二階可導，是否存在，為什么？【分析】 【例3】設(shè)f（x）在x=x0連續(xù)，在（）除x0點可導且，求證：【分析與證明】§2微分中值定理的應(yīng)用利用導數(shù)研究函數(shù)的變化1函數(shù)為常數(shù)的條件與函數(shù)恒等式的證明2函數(shù)的單調(diào)性與極值點 （1）函數(shù)的單調(diào)性的充要判別法 設(shè)f（x）在a，b連續(xù)，在（a，b）可導，則f（x）在a，b單調(diào)不減（單調(diào)不增）f（x）在a，b單調(diào)增加（單調(diào)減少）， 2°在（a，b）的子區(qū)間上0 （2）函數(shù)

41、取極值的充分判別法設(shè)f（x）在x=x0連續(xù)，在可導，當時0（0）時0（0），則x=x0是f（x）的極大（?。┲迭c 設(shè)=0，0（0），則0是f（x）的極小（大）值點3函數(shù)的凹凸性與拐點 （1）函數(shù)的凹凸性的充要判別法 設(shè)f（x）在a，b連續(xù)，在（a，b）可導，f（x）在a，b是凸（凹）的： （曲線y=f（x）（axb）在點處的切線除該點外總在曲線的上方（下方）在（a，b）是單調(diào)減（增）函數(shù) 設(shè)f（x）在a，b連續(xù)，在（a，b）二階可導，則f（x）在a，b是凸（凹）的0（0），又在（a，b）的子區(qū)間上0 （2）拐點的充分判別法與必要條件 設(shè)f（x）在x0鄰域連續(xù)，在x=x0兩側(cè)凹凸性相反，稱（x0

42、，f（x0）是曲線y=f（x）的拐點 充分判別法1°設(shè)f（x）在x=x0鄰域連續(xù)，在x=x0空心鄰域二階可導，且在x=x0兩側(cè)變號，則（x0，f（x0）為y=f（x）的拐點 2°=0，則（x0，f（x0）為y=f（x）的拐點 必要條件 設(shè)（x0，f（x0）為y=f（x）的拐點，則=0或不存在 【例1】設(shè)f（x）在0，1上0，則（ ）成立 （A） （B）（C） （D） 【例2】設(shè)恒正可導且0，則當axb時有 （A） （B） （C） （D）【例3】 設(shè)f（x）在x = 0某鄰域連續(xù)且f（0） = 0，則f（x）在x = 0處（ ） （A）不可導 （B）可導且0（C）有極大值 （

43、D）有極小值 【例4】 設(shè)f（x）有二階連續(xù)導數(shù)， = 0，則（ ）成立 （A）f（0）不是f（x）的極值，（0，f（0）不是y = f（x）的拐點 （B）f（0）是f（x）的極大值 （C）f（0）是f（x）的極小值（D）（0，f（0）是y = f（x）的拐點 【例5】 設(shè)f（x）滿足且 = 0則（A）f（0）是f（x）的極大值 （B）f（0）是f（x）的極小值（C）點（0，f（0）是y = f（x）的拐點 （D）f（0）不是f（x）的極值，（0，f（0）也不是y = f（x）的拐點.【例6】 設(shè)f（x）在（a，b）可導，求證：在（a，b）為減函數(shù)Ûf（x）f（x0） + （xx0）

44、，【分析與證明】（1）設(shè)在（a，b）為減函數(shù)，Þf（x）f（x0） + = 0（），其中由微分中值定理知，在x與x0之間，f（x）f（x0） = （2）設(shè)對，f（x）f（x0） + 現(xiàn)對x2x1，x2，有f（x1）f（x2） + f（x2）f（x1） + 兩式相加得0Þ，即在（a，b）為減函數(shù) 【例7】 求y = （x + 6）的單調(diào)性區(qū)間，極值點，凹凸性區(qū)間，拐點與漸近線 【解】1）定義域x0，間斷點x = 0 2） 由 單調(diào)增區(qū)間：（¥，2，3，+ ¥）；單調(diào)減區(qū)間2，0），（0，3 極大值點x = 2，極小值x = 3 凹區(qū)間：（¥，凸區(qū)

45、間，0），（0， + ¥），拐點（，） 3）只有間斷點x = 0，是垂直漸近線 還有斜漸近線y = x + 7§3 一元函數(shù)的最值問題【例1】求f（x）= x + 2 x在0，上的最大值【例2】某公園在一高為a米的雕塑，其基高為b米，試問觀賞者離基座底部多遠處，使得其視線對塑像張成的夾角最大，設(shè)觀賞者高為h米§4 微分中值定理的應(yīng)用證明不等式【例1】 試證：x0，x1時（x21）（x1）2【例2】設(shè)f（x）在0，1可導，f（0） = 0，01，求證：【分析與證明1】 引進輔助函數(shù)F（x） = 要證：F（x）0（xÎ（0，1） 由條件知，f（x）在0，1單

46、調(diào)上升，f（x）f（0） = 0（xÎ（0，1 ） 從而 與g（x） = 0（xÎ（0，1）Þg（x）在0，1單調(diào)上升，g（x）g（0） = 0（xÎ（0，1），Þ0（xÎ（0，1）ÞF（x）F（0）=0（xÎ（0，1）因此F（1）0，即結(jié)論成立 【分析與證明2】要證1（由條件知f（x）0，xÎ（0，1） 令F（x） = 則由柯西中值定理 = 1（對）【例3】 設(shè)a1，n1，證明：§5 微分中值定理的應(yīng)用討論函數(shù)的零點【例1】 設(shè)有方程 + 1 = 0，其中n為正整數(shù)，證明此方程存在惟一正根，并

47、求 【例2】設(shè)f（x）在a，b要導，0，求證：存在cÎ（a，b）， 【例3】設(shè)f（x）在a，b連續(xù)，在（a，b）二階可導，并在（a，b）內(nèi)曲線y = f（x）與弦相交，其中A（a，f（a），B（b，f（b），求證：存在（a，b）使得 = 0 【例4】設(shè)f（x）在（¥，+ ¥）可導， = A，求證：存在（¥，+ ¥）使得 = 0【例5】設(shè)f（x），g（x）在a，b連續(xù)，在（a，b）可導且g（a） = 0，f（b） = 0，x（a，b）時f（x）0，g（x）0，求證：存在（a，b）使得 【例6】設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)

48、具有二階導數(shù)且存在相等的最大值，f（a） = g（a），f（b） = g（b），證明：存在（a，b），使得 【分析與證明一】令F（x） = f（x）g（x）ÞF（x）在a，b連續(xù)，在（a，b）可導，在題設(shè)條件下，要證存在（a，b）， = 0已知F（a） = F（b） = 0，只須由題設(shè)再證c（a，b），F(xiàn)（c） = 0（1）由題設(shè)x1（a，b）M = ，若x1 = x2，取c = x1 = x2，F(xiàn)（c） = 0 若x1x2，不妨設(shè)x1x2，則F（x1） = f（x1）g（x1）0，F(xiàn)（x2）= f（x2）g（x2）0Þcx1，x2，F(xiàn)（c） = 0（2）由F（a） = F

49、（c） = F（b） = 0，對F（x）分別在a，c，c，b用羅爾定理Þ$x1Î（a，c），$x2Î（c，b），使得 再對用羅爾定理Þ$xÎ（x1，x2）Ì（a，b），使得，即 【分析與證明二】（利用以下兩個已知的結(jié)論：1°設(shè)h（x）在（a，b）可導，若（x）在（a，b）恒不為零，則（x）0（xÎ（a，b）或（x） 0（xÎ（a，b） 2°設(shè)h（x）在a，b連續(xù)，在（a，b）可導，若h（a） = h（b） = 0h（x）在a，b為凸（凹）函數(shù)，則h（x）0（0）（xÎ（a，b） 同前，

50、由題設(shè)x1Î（a，b）， 令F（x） = f（x）g（x），現(xiàn)用反證法，若結(jié)論不對，則0或0（xÎ（a，b） （1）若0（xÎ（a，b）ÞF（x）在a，b為凹函數(shù)，又F（a） = F（b） = 0ÞF（x） 0（xÎ（a，b），但 F（x1） = f（x1）g（x2）0，得矛盾 （2）若0（xÎ（a，b）ÞF（x）在a，b為凹函數(shù)，又F（a） = F（b） = 0ÞF（x） 0（xÎ（a，b），但 F（x2） = f（x2）g（x2）0，得矛盾 因此必$xÎ（a，b），使得 = 0，即 = 【例7】 設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間0，1連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導，且f（1） = 0求證：至少存在一點xÎ（0，1），使得4f（x） + x（x） = 0 【例8】確定方程 = 2（a0為常數(shù)）的根的個數(shù) 【解】令f（x） = （1）（2）考察區(qū)間（）f（x）在（）單調(diào)上升，又Þ對0，f（x）在（）有唯一零點（3）考察區(qū)間（0