上海師范大學-高等數(shù)學教學大綱

1、【精品文檔】如有侵權，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學習與交流上海師范大學-高等數(shù)學教學大綱.精品文檔.上海師范大學高等數(shù)學教學大綱高等數(shù)學第六版、同濟大學數(shù)學系編、高等教育出版社適應專業(yè)：本科一 課程性質、任務和基本要求（一）課程的性質與任務高等教學課程是高等院校計劃中的一門重要的基礎理論課，它是為培養(yǎng)適應我國社會主義現(xiàn)代化建設需要的高質量專門人才服務的。通過本門課的學習，使學生獲得：1函數(shù)、極限、連續(xù)；2一元函數(shù)微積分學；3常微分方程；4向量代數(shù)與空間解析幾何；5多元函數(shù)微積分學；6級數(shù)（包括傅氏級數(shù)）；等方面的知識、基本理論和基本運算技能。為學習后繼課程以及進一步獲得數(shù)學知識奠定必要的數(shù)學基礎。在

2、傳授知識的同時，要通過各個教學環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學生具有比較教練的運算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學能力。還要培養(yǎng)學生具有抽象概括問題的能力和綜合運用知識來分析解決問題的能力。（二）課程的基本要求（）函數(shù)、極限、連續(xù)1理解函數(shù)概念；Z理解函數(shù)的單調性、周期性、奇偶性；3了解反函數(shù)、復合函數(shù)的概念；4熟練掌握基本初等函數(shù)圖象；5能將簡單實際問題中的函數(shù)關系表達出來；6能正確應用極限四則運算法則；7理解兩個重要極限，會用兩個重要極限求極限；8理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較；9了解函數(shù)在一點的連續(xù)和間斷的概念；10知道初等函數(shù)的連續(xù)性；11知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質。（二

3、）一元函數(shù)微分學1理解導數(shù)和微分的概念，能用導數(shù)描述一些物理量，了解函數(shù)可導與連續(xù)的關系；2熟悉導數(shù)和微分的運算法則，導數(shù)的基本公式，能熟練計算初等函數(shù)的一、二階導數(shù)；3會求隱函數(shù)的導數(shù)，會求參數(shù)方程的導數(shù)和二階導數(shù)；4理解羅爾、拉格朗日定理，會應用拉格朗日定理證明一些簡單問題；5理解函數(shù)極值的概念；6能用導數(shù)求函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的增減性、凹凸性，會求曲線的拐點；會解決應用問題中的最大、最小值問題。7能用羅必塔法則求極限。（五）一元函數(shù)積分學1理解不定積分與定積分的概念及性質；2熟悉不定積分基本公式，熟練掌握不定積分、定積分的換元法，分部積分法；掌握簡單的有理函數(shù)積分；3理解變上限定積分作為

4、上限的函數(shù)及其求導方法，熟悉牛頓萊布尼茲公式；4了解廣義積分概念；5熟練掌握用定積分表達一些物理量（如面積、體積、弧長、壓力、功、引力等）的方法。（四）常微分方程l了解微分方程、解、通解、特解和初始條件的概念；2會識別下列幾種一階微分方程：可分離變量方程、齊次方程、一階線性方程，伯努里方程和全微分方程；。3熟練掌握可分離變量方程及一階線性方程的解法；4會解齊次方程和伯努里方程；5知道下列幾種特殊的高階方程：y=f（x），y=f（x，y），y=f（y，y）的降階法。6了解二階線性方程解的結構；7熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。8掌握自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的

5、和或積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法（五）向量代數(shù)與空間解析幾何1理解向量概念；2掌握向量運算，兩向量夾角的求法與兩向量垂直與平行的條件；4熟悉平面方程和直線方程的求法。5理解曲面方程的概念，掌握常用的二次曲面的方程及其圖形，掌握坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行坐標軸的柱面方程；6知道空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。（六）多元函數(shù)微分學1理解多元函數(shù)概念；”2理解偏導數(shù)、全微分的概念；3了解方向導數(shù)和梯度概念，并掌握它們的計算方法。4熟練掌握復合函數(shù)微分法，會求二階偏導數(shù)；5會來隱函數(shù)的偏導數(shù)；6了解曲線的切線與法平面及曲面的切平面、法線，并掌握它們方程的求法。7理解多元函數(shù)極值的概念，

6、會求函數(shù)的極值。了解條件極值的概念；會求一些簡單的最大、最小值問題。（七）多元函數(shù)積分學。1理解二重積分，三重積分的概念，知道積分的性質；2熟練掌握二重積分的計算方法，（直角坐標、極坐標）；掌握三重積分計算方法（直角坐標、柱坐標、球坐標）；3理解兩類曲線積分的概念；知道兩類曲線積分的性質；4掌握兩類曲線積分的計算方法；5熟悉格林公式，會運用平面曲線積分與路經(jīng)無關的條件；6知道兩類曲面積分的概念，熟悉高斯公式，會計算兩類曲線積分；7知道散度、旋度的概念。（八）無窮級數(shù)1無窮級數(shù)收斂與發(fā)散的概念，理解無窮級數(shù)收斂的必要條件，知道無窮級數(shù)的基本性質；2熟悉幾何級數(shù)與P-級數(shù)的斂散性；3掌握正項級數(shù)的

7、比較判別法，熟練掌握正項級數(shù)的比值判別法；4掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲定理，并能估計交錯級數(shù)的截斷誤差；5了解無窮級數(shù)絕對收斂和條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關系；6知道函數(shù)項級數(shù)收斂域及和函數(shù)的概念；7掌握簡單的冪級數(shù)收斂域的求法；8知道冪級數(shù)在收斂區(qū)內的性質；9掌握e， sinx， cosx， In（1x），（lx）的麥克勞林展開式，并能利用這些x展開式將一些簡單的函數(shù)展成冪級教；10知道函數(shù)展成傅氏級數(shù)的充分條件，井能把在（-，）（-1， l）上定義的函數(shù)展成為正弦級數(shù)或余弦級數(shù)。二課程內容第一章 函數(shù)與極限1. 映射與函數(shù)；2. 數(shù)列的極限；3函數(shù)的極限；4無窮小與無窮大；5極限

8、運算法則；6極限存在準則 兩個重要極限；7無窮小的比較；8函數(shù)的連續(xù)性與間斷點；9. 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性；10. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質。第二章 導數(shù)與微分1. 導數(shù)概念；2函數(shù)的求導法則；3高階導數(shù)；4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 相關變化率；5函數(shù)的微分。第三章 中值定理與導數(shù)應用1微分中值定理；2洛必達法則；3泰勒公式4. 函數(shù)的單調性與曲線的凹凸性；5函數(shù)的極值與最大值最小值；6函數(shù)圖形的描繪；7曲率；8方程的近似解。第四章 不定積分1不定積分的概念與性質；2換元積分法；3分部積分法；4有理函數(shù)的的積分；5. 積分表的使用。第五章 定積分1定積分的概念及性質；2微

9、積分基本公式；3定積分的換元法與分部積分法；4反常積分；*5. 反常積分的審斂法G函數(shù)。第六章 定積分的應用1定積分的元素法；2定積分在幾何學上的應用；3定積分在物理學上的應用。第七章 微分方程1微分方程的基本概念；2可分離變量的微分方程；3齊次方程；4一階線性微分方程；5可降階的高階微分方程；6高階線性微分方程；7常系數(shù)齊次線性微分方程；8常系數(shù)非齊次線性做分方程；*9歐拉方程；*10. 常系數(shù)線性微分方程解法舉例。第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)1向量及其線性運算；2數(shù)量積 向量積 *混合積；3曲面及其方程；4空間曲線及其方程；5平面及其方程；6空間直線及其方程。第九章 多元函數(shù)微分法及其應

10、用1多元函數(shù)的基本概念；2偏導數(shù)；3全微分；4多元復合函數(shù)求導法則；5隱函數(shù)求導公式；6多元微分學的幾何應用；7方向導數(shù)與梯度；8多元函數(shù)極值及其求法；*9. 二元函數(shù)的泰勒公式*10. 最小二乘法。第十章 重積分1二重積分的概念及性質；2二重積分的計算方法；3三重積分；4重積分應用；*5含參變量的積分。第十一章 曲線積分與曲面積分1對孤長的曲線積分；2對坐標的曲線積分；3格林公式及其應用；4對面積的曲面積分；5對坐標的曲面積分；6高斯公式 *通量與散度；7斯托克斯公式 *環(huán)流量與旋度。第十二章 無窮級數(shù)1常數(shù)項級數(shù)的概念與性質；2常數(shù)項級數(shù)的審斂法；3冪級教；4函數(shù)展成冪級數(shù)；5. 函數(shù)的冪

11、級數(shù)展開式的應用；6. 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性及一致收斂級數(shù)的性質；7. 傅里葉級數(shù)；8. 一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)。三 學時分配表序號章 節(jié)名 稱理論課時習 題總課時1第一章函數(shù)與極限102122第二章導數(shù)與微分102123第三章中值定理與導數(shù)應用122144第四章不定積分122145第五章定積分82106第六章定積分的應用102127第七章微分方程122148第八章空間解析幾何與向量代數(shù)122149第九章多元函數(shù)微分法及其應用1221410第十章重積分1822011第十一章曲線積分與曲面積分1621812第十二章無窮級數(shù)14216四 說明（一）本課程與其它課程的聯(lián)系學好高等數(shù)學課必須有良好

12、的數(shù)學基礎，高數(shù)課是一門工科院校的重數(shù)學要基礎課，是后繼課的工具。（二）課程內容的重點及深廣度函數(shù)、極限、連續(xù)重點：函數(shù)概念、極限概念、無窮小、極限的運算法則，函數(shù)的連續(xù)性。對分段函數(shù)和復合函數(shù)要有足夠訓練。 導數(shù)與微分重點：導數(shù)概念、導數(shù)幾何意義，初等函數(shù)求導法則，微分的概念。 正確理解導數(shù)作為變化率的概念，微分是函數(shù)增量的線性主部的概念。熟練掌握初等函數(shù)求導法。中值定理及導數(shù)應用重點：拉格朗日中值定理、羅必塔法則。函數(shù)增減性的判別法，函數(shù)極值及其求法，最大、最小值間題。不定積分重點；原函數(shù)與不定積分的概念，不定積分的性質?；痉e分公式，換元積分法，分部積分法。在講有理函數(shù)的積分時，對于化有

13、理真分式為部分分式的問題，可以只提出結論而不加證明。定積分及其應用重點：定積分概念，定積分中值定理，定積分作為變上限函數(shù)及其求導定理，牛頓萊布尼茲公式。要求學生學會正確使用定積分的換元積分法、分部積分法。在定積分的應用中；應把重點放在培養(yǎng)學生運用微元法建立積分表達式的能力上，、定積分在物理學中應用具體例子可根據(jù)需要選擇，要配置把所求量分割成環(huán)城的例子。微分方程重點：微分方程的概念、解、通解、特解。可分離變量的微分方程，一階線性微分方程，二階線性常系數(shù)微分方程。變量置換法解一階方程，可用齊次方程和貝努利方程為例，著重說明通過變量置換來解方程的思想。線性微分方程解的結構包括齊次與非齊次兩種情況，對

14、于非齊次方程要講明自由項為兩項之和時，其特解等于自由項為各項時的特解之和。關于二階常系數(shù)非齊次線性方程，包括自由項為多項式，指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與乘積幾種。向量代數(shù)與空間解析幾何重點：向量概念、向量的坐標、向量的數(shù)量積，向量的向量積。平面的點法式方程，直線的對稱式方程。曲面方程的概念，空間曲線的參數(shù)方程。空間解析幾何應以向量為主要工具，注意培養(yǎng)學生對向量的運用間圖形的想象能力。 要求熟悉標準二次曲面的方程與圖形，標準二次曲面以它們所圍的簡單立體，關于旋轉曲面可以只講以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面。多元函數(shù)微分學重點：多元函數(shù)的概念，偏導數(shù)與全微分概念，多元復合函數(shù)的來導法則，多

15、元函數(shù)極值存在的充分條件（敘而不證），極值應用題由方程組確定的隱函數(shù)的求導公式可以不講重積分重點：二重積分的概念、二重積分計算法、三重積分計算法。二重積分化為累次積分的公式、以及二重積分的變量從直角坐標變換為極坐標的交換公式，都只作幾何說明，不作分析證明。三重積分與此類同重積分的應用著重于運用微元分析法，具體例子可以根據(jù)需要選擇。曲線積分與曲面積分重點：曲線積分的概念及其計算法，格林公式，曲線積分與路經(jīng)無關的條件。曲面積分的概念及其計算法。曲線積分要講平面曲線與空間曲線兩種情況，但以平面曲線為主。梯度、散度、旋度可供不單獨學場論的專業(yè)選用、需學場論的專業(yè)，還得增加學時。 無窮級數(shù)重點：無窮級數(shù)收斂和發(fā)散的概念，正項級數(shù)的比值審斂法，冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間，泰勒級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)展開式，函數(shù)的傅立葉級數(shù)，函數(shù)展開為正弦級數(shù)或余弦極數(shù)。級數(shù)的絕對收斂和收斂的關系，絕對收斂級數(shù)的性質可靈活掌握。冪級數(shù)的四則運算，和函數(shù)的連續(xù)性、逐項微分與逐項積分均不證。（三）實踐環(huán)節(jié)要求凡有專職助課教師的可上習題課，凡沒有助課教師的，可單設習題課