場波教案-2矢量分析-W

1、第二章第二章 矢量分析矢量分析主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容梯度、散度、旋度、梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理1. 1. 標量和矢量標量和矢量2. 2. 標量場和矢量場標量場和矢量場3. 3. 標量場的方向?qū)肆繄龅姆较驅(qū)?shù)與梯度數(shù)與梯度4. 4. 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度5. 5. 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度6. . 無散場和無旋場無散場和無旋場7. 7. 格林定理格林定理 8. 8. 矢量場的惟一性定理矢量場的惟一性定理9. 9. 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 10.10.正交曲面坐標系正交曲面坐標系1 1 標量及矢量標量及矢量標量標量：只有大小，沒有方向的物理量只有大

2、小，沒有方向的物理量。矢量矢量表示為：表示為：所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。矢量：矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。不僅有大小，而且有方向的物理量。如如:力力 F 、速度、速度 V 、電場、電場 E 等等如：溫度如：溫度 T、長度、長度 L 等等AA e其中：其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1 1。| AeAe1.11.1定義定義根據(jù)矢量加法運算：根據(jù)矢量加法運算：xyzAAAA一個矢量函數(shù)可以分解為三個標量函數(shù)，一

3、個矢量函數(shù)可以分解為三個標量函數(shù)， 在直角坐標系在直角坐標系下的矢量表示下的矢量表示: :zoyxAxAyAzA三個方向的單位矢量用三個方向的單位矢量用 表示。表示。xeyeze所以：所以：xyzxyzeeeAAAA 其中：其中：xxxeAA yyyeAA zzzeAA 位置矢量位置矢量r r和距離矢量和距離矢量R R rrer1.21.2矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算1.1.加法加法: : 矢量加法是矢量的幾何和矢量加法是矢量的幾何和, ,服從服從平行四邊形規(guī)則平行四邊形規(guī)則。a.a.滿足交換律：滿足交換律：ABBAb.b.滿足結(jié)合律：滿足結(jié)合律：CABBACBAC()()ABCABC2.2.

4、減法：減法：換成加法運算換成加法運算()DABAB ABCBAB逆矢量：逆矢量： 和和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。的模相等，方向相反，互為逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐標系中兩矢量的減法運算：在直角坐標系中兩矢量的減法運算： 推論：推論：任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。()()()xxyyzzxyzeeeABABABAB 3.3.矢量的標積與矢積矢量的標積與矢積（1 1）標量與矢量的乘積：標量與矢量的乘積：0=00kB kAkk方向不變，大小為方向不變，大小為|k|倍倍方向相反，大小為方向相反，大小為|k|

5、倍倍（2 2）矢量與矢量乘積分兩種定義矢量與矢量乘積分兩種定義a. a. 標量積（點積）：標量積（點積）：| |cosA BABBA兩矢量的點積兩矢量的點積含義：含義：一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標量。是一標量。在直角坐標系中在直角坐標系中，三個坐標軸是相互正交的，三個坐標軸是相互正交的兩矢量點積：兩矢量點積：zzyyxxBABABA結(jié)論結(jié)論: : 兩矢量點積等于對應分量的乘積之和。兩矢量點積等于對應分量的乘積之和。推論推論1 1：滿足交換律：滿足交換律推論推論2 2：滿足分配律：滿足分配律推論推論3 3：當兩

6、個非零矢量點積為零：當兩個非零矢量點積為零, ,則這兩個矢量必正交。則這兩個矢量必正交。A BB A()ABCA BA C().()xyzxyzxyzxyzA BeeeeeeAAABBB 推論推論1 1：不服從交換律：不服從交換律：,A BB AA BB A 推論推論2 2：服從分配律：服從分配律：()AB CA BA C推論推論3 3：不服從結(jié)合律：不服從結(jié)合律：()()AB CA BC推論推論4 4：當兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。：當兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。b.b.矢量積（叉積）：矢量積（叉積）：含義：含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個矢量兩

7、矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。者符合右手螺旋法則。BAca=sinnC ABe AB 在直角坐標系中，兩矢量的叉積運算如下：在直角坐標系中，兩矢量的叉積運算如下：兩矢量的叉積又可表示為：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo()()xyzxyzxyzxyzeeeeeeA BAAABBB ()()()yzzyzxxzXyyxxyzeeeA BA BA BA BA BA BxyzxyzxyzABeeeAAABBB（3 3）三重積：）三重積：三三個矢量相乘有以下幾種形式：個

8、矢量相乘有以下幾種形式：()A B C矢量，標量與矢量相乘。矢量，標量與矢量相乘。()ABC標量，標量三重積。標量，標量三重積。矢量，矢量三重積。矢量，矢量三重積。a. a. 標量三重積標量三重積法則：在矢量運算中法則：在矢量運算中, ,先算叉積先算叉積, ,后算點積。后算點積。定義：定義：|sincosA BCA B C()ABCABChB C 含義：含義： 標量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的標量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積平行六面體的體積 。注意注意：先后輪換次序。先后輪換次序。推論推論：三個非零矢量共面的條件。三個非零矢量共面的條件。在直角坐標系中：在直角坐標系中：()0ABC()

9、xyzxyzxyzAAAABCBBBCCCb.b.矢量三重積：矢量三重積：()()()ABCB A CC A B ()()()VAB CCABBCAABChB C).(CBA().xyzxyzxyzxyzxyzeeeBBBCCCeeeAAA2.2.標量場和矢量場標量場和矢量場場的定義：若對于空間域上每一點都對應著某個物理量的一個標量(數(shù)量)或一個矢量，則稱此空間域確定了這個物理量的場。)()( ),(222z2y1x45zyx 標量場標量場如溫度場如溫度場, ,電位場電位場, ,高度場等。高度場等。zy2x2xyzzxxy2)z , y, x(eeeA矢量場矢量場如流速場如流速場, ,電場電場

10、, ,渦流場等。渦流場等。矢量場矢量場-矢量線矢量線形象描繪場分布的工具形象描繪場分布的工具-場線場線標量場標量場-等值線等值線( (面面) )。constzyxh),( 其方程為其方程為0A l d其方程為其方程為dzAdyAdxAzyx三維場三維場在直角坐標下在直角坐標下, ,場線方程場線方程: :二維場二維場dyAdxAyx 矢量線等值線方向?qū)?shù)方向?qū)?shù): :標量場在某點的方向?qū)?shù)表示標量場自該點沿標量場在某點的方向?qū)?shù)表示標量場自該點沿某一方向上的變化率。某一方向上的變化率。 lPPllP)()(lim0 例如標量場例如標量場 在在 P 點沿點沿 l 方向上的方向?qū)?shù)方向上的方向?qū)?shù)

11、定義為定義為Pl PllP3. 3. 標量場的方向?qū)?shù)與梯度標量場的方向?qū)?shù)與梯度梯度是一個梯度是一個矢量矢量。G=gradxyzuuuuxyzeee在在直角坐標系中直角坐標系中，標量場，標量場 u u 的梯度可表示為的梯度可表示為式中的式中的grad grad 是英文字是英文字 gradient gradient 的縮寫的縮寫。某點梯度的某點梯度的大小大小等于該點的等于該點的最大最大方向?qū)?shù)，某點梯度方向?qū)?shù)，某點梯度的方向為該點具有的方向為該點具有最大最大方向?qū)?shù)的方向。方向?qū)?shù)的方向。leGluzyxzyxeee若引入算符若引入算符 ，在直角坐標系中該算符，在直角坐標系中該算符 可表示可

12、表示為為graduu 則梯度可以表示為則梯度可以表示為例：求一個二維標量場例：求一個二維標量場 的等值線方程和梯度的等值線方程和梯度2-uy xu解：等值線方程為：解：等值線方程為：2- =y x C=-+2xyzxyuuuuyxyzeeeee例例1 1 三維高度場的梯度三維高度場的梯度高度場的梯度 與過該點的等高線垂直與過該點的等高線垂直； 數(shù)值等于該點位移的最大變數(shù)值等于該點位移的最大變化率；化率； 指向地勢升高的方向指向地勢升高的方向。 梯度的物理意義梯度的物理意義 標量場的梯度是一個矢量標量場的梯度是一個矢量, ,是空間坐標點的函數(shù)是空間坐標點的函數(shù); ; 梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)

13、的方向梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)的方向, ,即與等值線（面）即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。 梯度的大小為該點標量函數(shù)梯度的大小為該點標量函數(shù) 的最大變化率，即該點最大的最大變化率，即該點最大方向?qū)?shù)方向?qū)?shù); ; 三維高度場的梯度例例2 2 電位場的梯度電位場的梯度電位場的梯度 與過該點的等位線垂直；與過該點的等位線垂直； 指向電位增加的方向。指向電位增加的方向。 數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)； 電位場的梯度通量：通量： 矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的面積分稱為矢量的面積分稱為矢量 A 通通

14、過該有向曲面過該有向曲面 S 的通量，以標量的通量，以標量 表示，即表示，即 4. 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度S d SA當矢量當矢量進入進入這個閉合面時這個閉合面時-存在匯聚該矢量場的存在匯聚該矢量場的洞洞（或（或匯匯）-通量為通量為負負。通量可為通量可為正正、或為、或為負負、或為、或為零零。 當矢量當矢量穿出穿出某個閉合面時某個閉合面時-存在產(chǎn)生該矢量場的存在產(chǎn)生該矢量場的源源-通量為通量為正正前述的前述的源源稱為稱為正源正源，而，而洞洞稱為稱為負源負源。 矢量矢量 E 沿有向曲面沿有向曲面S 的面積分的面積分SE dS 0 (有正源有正源) 0；若處處相反，則；若處處相反，則

15、0 。環(huán)量可以用來描述矢量場的環(huán)量可以用來描述矢量場的旋渦旋渦特性。特性。已知真空中磁通密度已知真空中磁通密度 B B 沿任一閉合有向曲線沿任一閉合有向曲線 l l 的環(huán)的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導電流強度量等于該閉合曲線包圍的傳導電流強度 I I 與真空磁導與真空磁導率率 0 0 的乘積。即的乘積。即 式中，電流式中，電流 I I 的正方向與的正方向與 d dl l 的方向構(gòu)成的方向構(gòu)成 右旋右旋 關系關系。環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強度，但是環(huán)環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的量代表的是閉合曲線包圍的總總的源強度，它不能顯示的源強度，它不能顯示

16、源的源的分布分布特性。為此，需要研究矢量場的特性。為此，需要研究矢量場的旋度旋度。I I1 1 I I2 2Il0 l dB 旋度是一個矢量。以符號旋度是一個矢量。以符號 curl curl F F 表示矢量表示矢量 F F 的旋的旋度，其方向是使矢量度，其方向是使矢量 F F 具有最大環(huán)量強度的方向，具有最大環(huán)量強度的方向，其大小等于對該矢量方向的最大環(huán)量強度，即其大小等于對該矢量方向的最大環(huán)量強度，即 Cmax0 drot limSnSFlF式中式中 curl curl 是環(huán)量，是環(huán)量，rotrot代表旋度；代表旋度；n n為最大環(huán)量強度為最大環(huán)量強度的方向上的單位矢量，的方向上的單位矢量

17、， S S 為閉合曲線為閉合曲線 l 包圍的面積。包圍的面積。矢量場的旋度大小可以認為是包圍單位面積的閉合矢量場的旋度大小可以認為是包圍單位面積的閉合曲線上的最大環(huán)量。曲線上的最大環(huán)量。 en1en2en直角坐標系中直角坐標系中，旋度可表示為，旋度可表示為 rot xyzxyzxyzFFFeeeF或者或者rot FF無論梯度、散度或旋度都是微分運算，它們表示場在無論梯度、散度或旋度都是微分運算，它們表示場在某點附近的變化特性。因此，梯度、散度及旋度描述某點附近的變化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是場的的是場的點特性點特性或稱為或稱為微分特性微分特性。函數(shù)的函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性是可微的必要條件

18、。因此在場量發(fā)生是可微的必要條件。因此在場量發(fā)生不不連續(xù)連續(xù)處，也就處，也就不存在不存在前述的梯度、散度或旋度。前述的梯度、散度或旋度。 斯托克斯定理斯托克斯定理 lS l dA SdArot )( 同高斯定理類似，從數(shù)學角度可以認為同高斯定理類似，從數(shù)學角度可以認為斯托克斯斯托克斯定理定理建立了面積分和線積分的關系。建立了面積分和線積分的關系。從物理角度可以理解為從物理角度可以理解為斯托克斯斯托克斯定理建立了區(qū)域定理建立了區(qū)域 S 中的中的場和包圍區(qū)域場和包圍區(qū)域 S 的閉合曲線的閉合曲線 l 上的場之間的關系。上的場之間的關系。lS d d)(lASA或者寫為或者寫為 散度處處為散度處處為

19、零零的矢量場稱為的矢量場稱為無散場無散場。6. 6. 無散場和無旋場無散場和無旋場兩個重要公式之一：兩個重要公式之一：0)(A上式表明，上式表明，任一矢量場任一矢量場 A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零 。因此，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度，或因此，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度，或者說，任何旋度場一定是無散場。者說，任何旋度場一定是無散場。兩個重要公式之二兩個重要公式之二：0)( 上上式表明，式表明，任一標量場任一標量場 的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無旋場一定可以表示為一個標量場的梯度，因此，任一無旋場一定可以表示為一個標量場的梯度，或

20、者說，任何梯度場一定是無旋場或者說，任何梯度場一定是無旋場。 旋度處處為旋度處處為零零的矢量場稱為的矢量場稱為無旋場無旋場。367 7 格林定理格林定理 設任意兩個標量場設任意兩個標量場 及及 ，若，若在區(qū)域在區(qū)域 V V 中具有連續(xù)的二階偏中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，可以證明該兩個標量場導數(shù)，可以證明該兩個標量場 及及 滿足下列等式滿足下列等式S SV V , , ne式中式中S S 為包圍為包圍V V 的閉合曲面；的閉合曲面； 為標量場為標量場 在在 S S 表面的外法線表面的外法線 e en n 方向上的偏導數(shù)。方向上的偏導數(shù)。nSVSnV 2dd)(根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關系，上式又可寫成根

21、據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關系，上式又可寫成上兩式稱為上兩式稱為標量第一格林定理標量第一格林定理?；谏鲜竭€可獲得下列兩式基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為上兩式稱為標量第二格林定理標量第二格林定理。 SVV 2d)(d)(SSVV 22d d)(SSVSnnV 22dd)(設任意兩個矢量場設任意兩個矢量場 P P 與與 Q Q ，若在區(qū)域，若在區(qū)域 V V 中具有連中具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，那么，可以證明該矢量場續(xù)的二階偏導數(shù)，那么，可以證明該矢量場 P P 及及 Q Q 滿足下列等式：滿足下列等式：式中式中S S 為包圍為包圍V V 的閉合曲面；面元的閉合曲面；面元 dS dS 的方向為的方向為S

22、 S 的的外法線方向。上式稱為外法線方向。上式稱為矢量第一格林定理矢量第一格林定理。 SVV d d )()(SQPQPQP基于上式還可獲得下式：基于上式還可獲得下式：此式稱為此式稱為矢量第二格林定理矢量第二格林定理。SVV SdPQQPdQPPQ()(格林定理建立了區(qū)域格林定理建立了區(qū)域 V V 中的場與邊界中的場與邊界 S S 上的場之間上的場之間的關系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解的關系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。格林定理說明了兩種標量場或矢量場之間應該滿足的格林定理說明了兩種標量場或矢量場之間應該滿足的關

23、系。因此，如果已知其中一種場的分布特性，即可關系。因此，如果已知其中一種場的分布特性，即可利用格林定理求解另一種場的分布特性。利用格林定理求解另一種場的分布特性?，F(xiàn)在我們必需考慮如下問題現(xiàn)在我們必需考慮如下問題（1 1）矢量場除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？）矢量場除有散和有旋特性外，是否存在別的特性？（2 2）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場的激勵源？）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它矢量場的激勵源？（3 3）如何唯一的確定一個矢量場？）如何唯一的確定一個矢量場？8. 矢量場的惟一性定理矢量場的惟一性定理 位于某一區(qū)域中的矢量場，當其散度、旋度以及邊界上位于某一區(qū)域中的矢量場

24、，當其散度、旋度以及邊界上場量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場被惟一地確定。場被惟一地確定。已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見惟一性定理已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見惟一性定理表明，矢量場被其表明，矢量場被其源源及及邊界條件邊界條件共同決定。共同決定。V VS SF F( (r r) )tn FFFF和 及或 若矢量場若矢量場 F(r) 在在無限無限區(qū)域中處處是區(qū)域中處處是單值單值的，的， 且其且其導數(shù)連續(xù)有界導數(shù)連續(xù)有界，源分布在，源分布在有限有限區(qū)域區(qū)域 V 中，則當矢量場中，則當矢量場的的散度散度及及旋度旋度給定后

25、，該矢量場給定后，該矢量場 F(r) 可以表示為可以表示為 9. 9. 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 )()()(rArrFVVd)(41)(rrrFrVVd)(41)(rrrFrA式中式中 定理表明任一矢量場均可表示為一個定理表明任一矢量場均可表示為一個無旋場無旋場與與一個一個無散場無散場之和之和。（1 1）任一矢量場均有通量源和漩渦源兩種激勵）任一矢量場均有通量源和漩渦源兩種激勵源激發(fā)形成；源激發(fā)形成；（2 2）任一矢量場均可表示為一個無旋場與一個）任一矢量場均可表示為一個無旋場與一個無散場之和。無散場之和。（3 3）矢量場的散度和旋度均為）矢量場的散度和旋度均為0 0時，矢量場消時，矢量場消失，即通量源和漩渦源是產(chǎn)生矢量場唯一的源。失，即通量源和漩渦源是產(chǎn)生矢量場唯一的源。矢量場的散度及旋度特性是研究矢量場的首要問矢量場的散度及旋度特性是研究矢量場的首要問題。題。 10. 正交曲面坐標系正交曲面坐標系 已知矢量已知矢量 A 在在圓柱坐標系和球坐圓柱坐標系和球坐標系中可