第4章--斯特瓦爾特定理及應用

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第四章 特瓦爾特定理及應用【基礎知識】斯特瓦爾特定理 設為的邊上任一點（，），則有或 證明 如圖4-1，不失一般性，不妨設，則由余弦定理，有，對上述兩式分別乘以，后相加整理，得式或式斯特瓦爾特定理的逆定理 設，依次分別為從點引出的三條射線，上的點，若，或 ，則，三點共線證明 令，對和分別應用余弦定理，有，將上述兩式分別乘以，后相加，再與已知條件式相比較得，由此推出，即證斯特瓦爾特定理的推廣 （1）設為的邊延長線上任一點，則（2）設為的邊反向延長線上任一點，則注 若用有向線段表示，則，式是一致的推論1 設為等腰的底邊上任一點，則注 此推論也可視為以為圓心，為半徑的圓中的

2、圓冪定理推論2 設為的邊上的中線，則推論3 設為的的內角平分線，則推論4 設為的的外角平分線，則推論5 在中，若分線段滿足，則注 若，則【典型例題與基本方法】1選擇恰當?shù)娜切渭耙贿吷系囊稽c，是應用斯特瓦爾特定理的關鍵例1 如圖4-2，凸四邊形中，對角線，交于點求（1996年北京中學生競賽題）解 延長，相交于，設，則，對及邊上的點，應用斯特瓦爾特定理，有由，有，即，求得 于是，又在中，從而 而，故 ，即為所求例2 如圖4-3，在中，點是外心，兩條高，交于點，點，分別在線段，上，且滿足，求的值（2002年全國高中聯(lián)賽題）解 延長交于，由三角形垂心性質，知為關于的對稱點，則設的半徑為，由，知延長兩

3、端交于，如圖4-3，由相交弦寇理有，即，即在及邊上的點，應用斯特瓦爾特定理，并注意到 ，可得，即 ，亦即 于是，有亦即 ，即 而當時，故 為所求2注意斯特瓦爾特定理的推論的應用例3 如圖4-4，自外一點引圓的兩條切線，為切點，過點任意引圓的割線交于，交于證明：（2001年湖南中學生夏令營試題）證明 由相交弦定理，有由于，對等腰及底邊上的點，應用斯特瓦爾特定理的推論1，有 ，即有而，從而故 注 此例結論表示線段是線段，的調和平均這個結論亦即為點、調和分割弦例4 如圖4-5，設在中，平分，且交于，在上有一點，使求證：（1979年江蘇省競賽題）證明 對及邊上的點，應用斯特瓦爾特定理，有由平分，對及邊

4、上的點，應用斯特瓦爾特定理的推論3，有 ，從而因，有，即由角平分線的性質，有 ，即 從而，由式，有例5 凸多邊形外切于，兩組對邊所在的直線分別交于點、，對角線交于點求證：（中等數(shù)學奧林匹克題高中251題）證明 如圖4-6，設與邊、分別切于點、，則由牛頓定理知，、四線共點于由切線長定理，知由推論1，有同理，聯(lián)結、，令的半徑為，則又由相交弦定理，有于是，由、有由定差冪線定理，知注 （1）牛頓定理 圓外切四邊形的兩條對角線、兩對邊切點的連線，這4條直線共點（2）定差冪線定理 設、是兩條線段，則的充要條件為此定理可用勾股定理及逆定理證明這個定理放到空間也是成立的運用向量法可給出平面、空間的統(tǒng)一證明如下

5、：由知 故 例6 已知、分剔是的邊、的中點，、是邊、上的高，聯(lián)結、交于點又設、分別是的外心、垂心，聯(lián)結、求證：（2005年國家隊集訓題）證明 如圖4-7，聯(lián)結、設、分別為、的中點，則，即知點在線段的中重線上，應用推論1，有注意到為中位線，在的中垂線上，由此知也在的中垂線上，應用推論1，有再注意到，知、四點共圓，并由直角三角形性質，有及、由、得由定差冪線定理，而，故注 此例的其他證法可參見第九章例16、第十章例15例7 設是的邊上一點，滿足，經過、兩點，并分別與、交于、兩點，、交于點，聯(lián)結、，取的中點求證：證明 如圖4-8，在的延長線上取點，使得（即、四點共圓），則由知、也四點共圓于是 ，知、四

6、點共圓，即有聯(lián)結、，并令半徑為，則對、分別應用推論1，有聯(lián)結，由三角形中線長公式，并注意、，有聯(lián)結、，對應用推論1，有又由，有，即有注 即為完全四邊形的密克爾點，由、有由定差冪線定理，知 3注意斯特瓦爾特定理等價于托勒密定理斯特瓦爾特定理可推導出托勒密定理證明 如圖4-9，在中，點在上，由斯特瓦爾特定理，有延長交的外接圓于，連，由和，有 ，又由相交弦定理，有于是，得，即 ，亦即 即為托勒密定理由托勒密定理也可推導斯特瓦爾特定理證明 如圖4-10，設圓內接四邊形的對角線，交于由托勒密定理，有即 由和，有，由相交弦定理，有將這些式子代入前述式子即得斯特瓦爾特定理因此，在應用中，兩個定理的應用范圍相

7、同，所顯示的功能也一樣，即凡能用托勒密定理處理的問題也能用斯特瓦爾特定理處理反之亦然例8 若的三邊為連續(xù)整數(shù)，且最大角是最小角的兩倍，求三角形的三邊長（-10試題）解法1 作的平分線（圖略），則，令，則，由斯特瓦爾特定理的推論3，有，即，又，即 ，有故由，求得（舍去），即，解法2 作的外接圓，取的中點，連，則為梯形，其中令，則，且，對四邊形應用托勒密定理，有，求得（下略）【解題思維策略分析】1獲得線段倍分關系的一條途徑例9 如圖4-11，已知的外接圓的圓心為，半徑為，內切圓的圓心為，半徑為，另一個圓與邊，分別切于點，且與圓內切求證：內心是線段的中點（-34預選題）證明 設圓的圓心為，半徑為，于

8、是，三點共線，且，則，且于是，連，對，及邊上的點，應用斯特瓦爾特定理，有注意到歐拉公式，及，并將其代入式，得到，化簡得 從而 ，即 因為，且平分，令的中點為，由射影定理，有比較式和式，知與重合，即得為的中點例10 如圖4-12，兩個大圓，相等且相交；兩個小圓，不相等但相交，且交點為，若，既同時與內切，又同時與外切試證：直線平分線段（中等數(shù)學奧林匹克問題高中58題）證明 由于，半徑不相等，此兩圓交點所在直線必與線段相交，設交點為連，顯然，設垂足為，又設，的半徑均是，的半徑分別為，則易得，因為，或，垂足為，則設，對及邊上的點，應用斯特瓦爾特定理，有對及邊上的點，應用斯特瓦爾特定理，有，得，即 ，亦

9、即 因，從而，即故，即直線平分線段2求解三角形問題的一種工具斯特瓦爾特定理在求解三角形中有關線段的問題有著重要作用，這可從習題A中的第6題，習題B中的第7題等可以看出在求解三角形的其他問題中，它也有著重要作用例11 設的三邊為，其面積為，則，當且僅當為正三角形時，等式成立（-3試題）證明 取的中點，對及邊上的點，應用斯特瓦爾特定理的推論2，有 從而有設的邊上的高為，則，于是故，其中等號當且僅當且時成立，也即且，此時恰為正三角形例12 如圖4-13，在中，分別為和同方向延長線上的點，與相交于，且當在邊的中線上時，則證明 設交于分別對及點和及點應用斯特瓦爾特定理的推廣結論，有，于是由于，對及點應用

10、塞瓦定理，有，即當點在邊上的中線上時，有從而，由此知，故例13 如圖4-14，若是的邊延長線上一點，則平分的外角的充分必要條件是證明 必要性：若平分的外角，則由推論4即有或者按證明斯特瓦爾特定理的方法來推導充分性：設直線交的外接圓于，連、由割線定理有，并將其代入條件式可得由此可知必在的延長線上（因）于是由，有由得 又由，有由得，由得，對四邊形應用托勒密定理，有于是即，從而因此故平分的外角例14 如圖4-15，設正的內切圓圓心為，半徑為，在內任取一點，設點到，的距離分別為，求證：以，為邊可以構成一個三角形，且其面積為（數(shù)學通報問題1356題）證明 設正三角形的邊長為1，則，連并延長交于，則由題設

11、知，由于，對及邊上的點，對及邊上的點，均應用斯特瓦爾特定理的推論1，有又由，知，于是，又對及邊上的點應用斯特瓦爾特定理，有由，知，將上述各式及式代入式，并注意，有即 于是，此式可寫成為 由于點在內部，則，從而，必有，如若不然，比如，則，即與已知矛盾，則知，可見，以，為邊可以構成三角形，且由海倫秦九韶公式及式知其面積為【模擬實戰(zhàn)】習題A1在中，邊有100個不同的點，記（1，2，100），求的值2在中，的平分線交于證明：（匈牙利中學生數(shù)學競賽題）3在中，是邊上的點，已知，求4在中，設為邊上任一點，則（ ）ABCD與的大小關系不確定5是的邊上的一點，且，求證：是的外接圓的切線6設的三邊，設，分別為邊上的中線長和高線長；，分別為邊所對的角的內、外角平分線長求證下列各式：（）；（）；（）；（）7在中，求證：是直角三角形8證明：到三角形三頂點的距離的平方和最小的點是重心習題B1設，分別是共線的三點，對于所作切線的長求證： 2銳角的外接圓過，的切線相交于，點是的中點求證： （-26預選題）3和是的割線，分別交于，且，過的直線交于，（在與之間），交，于，求證4，四