應(yīng)用基本不等式求最值

1、應(yīng)用基本不等式求最值應(yīng)用基本不等式求最值江西師大附中江西師大附中 黃潤華黃潤華一、復(fù)習(xí)回顧一、復(fù)習(xí)回顧基本不等式：基本不等式： (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”號號)(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取時取“=”號號)2ababab2222abab22,2a bRabab0,0,2ababab 已知已知 都是正數(shù)，都是正數(shù)，（1）如果積）如果積 是定值是定值P，那么當(dāng)，那么當(dāng) 時，時，和和 有最小值有最小值（2）如果和）如果和 是定值是定值S，那么當(dāng)，那么當(dāng) 時，時，積積 有最大值有最大值yx,yxyxyx P2yx 241Sxyxy極 值 定 理極 值 定 理和定積最大，積定和最小和定積最大，

2、積定和最小4 ,2520, lglg.x yxyuxy例 設(shè)為正實(shí)數(shù)，且求的最大值25 0,0,25102xyxyxyxy解：1010,10.xyxy25.xy當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立252025xyxy5,2.xy解得：lglglg()lg101.uxyxy15 (0),2.yxxyx例 已知證明：11(2)00,()()xxyxxxx 當(dāng)時，1 (1)02,1 1.xyxxxxx證明： 當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立1(1)()2,1.()1()2,2.()xxxxyx 由可知當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立即二、應(yīng)用基本不等式求最值二、應(yīng)用基本不等式求最值一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等必須有自變

3、量值能使函數(shù)值取到必須有自變量值能使函數(shù)值取到 = 號號.各項(xiàng)必須為各項(xiàng)必須為正正;含變數(shù)的各項(xiàng)和或積必須為含變數(shù)的各項(xiàng)和或積必須為定值定值;(1)利用基本不等式求函數(shù)最值的步驟利用基本不等式求函數(shù)最值的步驟:二定二定三相等三相等二、應(yīng)用基本不等式求最值二、應(yīng)用基本不等式求最值12 0,( )3.xf xxxx若的最小值為；此時例1122120,( )3.xf xxxx若的最大值為；此時-12-2 0 x 解：一正一正1212( )32312f xxxxx1232.xxx當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立正解正解: :5225log,2.logxxx當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立,0,02ababab 時常用一不

4、正二、應(yīng)用基本不等式求最值二、應(yīng)用基本不等式求最值225 ( )2log(01).logf xxxx求函數(shù)的范圍例2 2222552log22 log22 5.loglogf xxxxx錯解：錯解：201,log0.xx 2222552log2( log)22 5.loglogf xxxxx 225log2 5.logxx解解:(2)(2)先變形再利用基本不等式求函數(shù)最值先變形再利用基本不等式求函數(shù)最值: :變二二不不定定, ,需需形形二、應(yīng)用基本不等式求最值二、應(yīng)用基本不等式求最值(31 0).1yxxxx函數(shù)的最小值為，此時例0,10.xx 11(1)111yxxxx2 11. 110.1

5、xxx 當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立 2(1)4 1. ( 1).1xf xxx 求函數(shù)練的最小值習(xí) 2312. (1).1xxf xxx 求函數(shù)的最小值錯解錯解: :(2)(2)先變形再利用基本不等式求函數(shù)最值先變形再利用基本不等式求函數(shù)最值: :二、應(yīng)用基本不等式求最值二、應(yīng)用基本不等式求最值225 .44xyx求函數(shù)的最小值例222254 144xxyxx22144xx22214.4xx當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立(3)(3)取不到等號時用函數(shù)單調(diào)性求最值取不到等號時用函數(shù)單調(diào)性求最值: :正解正解: :1(2)yttt 則min52,0,.2txy當(dāng)即時,常三不等用單調(diào)性二、應(yīng)用基本不等式求最值二、

6、應(yīng)用基本不等式求最值225 .44xyx求函數(shù)的最小值例222254 144xxyxx22144xx24,tx令下面題中的解法正確嗎？為什么？下面題中的解法正確嗎？為什么？. 221,11,2121:;1,21122222 xxxxxxxxx有有最最小小值值時時即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)解解的的最最小小值值求求時時、已已知知.,2,4. 4, 4424:.4, 32等等號號成成立立時時即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)原原式式有有最最小小值值解解的的最最小小值值求求、已已知知 xxxxxxxxxx221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx錯因：錯因：解答中兩次運(yùn)用基本不等式中取解答中兩次運(yùn)用

7、基本不等式中取“=”=”號號過渡，而這兩次取過渡，而這兩次取“=”=”號的條件是不同的，故結(jié)果號的條件是不同的，故結(jié)果錯錯. .解：解：三、典型題解析三、典型題解析11,21,.5 x yxyxy例 已知正數(shù)滿足求的最小值114 2.xy即的最小值為正解：正解：2232 2 .yxyxxy當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立122yxxy而222221yxmin32 2yyx11yyxxyx22yxxy23“1”代換代換法法11,21,.5 x yxyxy例 已知正數(shù)滿足求的最小值三、典型題解析三、典型題解析閱讀下題的各種解法是否正確，若有錯，指出有錯誤的地方閱讀下題的各種解法是否正確，若有錯，指出有錯誤的

8、地方.1121.abRabab1.已知 ，且，求的最小值12211,222)11()2(221221,babababbaaRba，解法一：.2411,1222)11)(2(11,12的的最最小小值值為為、及及解解法法二二：由由baababbababaRbaba 辨析辨析. 6911211,31, 12,1211babababaabba又成立時，當(dāng)且僅當(dāng)解法三：正確解法正確解法“1”代換法代換法.1112的最小值的最小值，求，求，且，且，已知已知babaRba 正解：正解：223當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)baab2即即:ba2時，等號成立時，等號成立122baba而222221ab即此時即此時223min

9、zba11bbaaba22baab23正確解法正確解法“1”代換法代換法.1112的最小值的最小值，求，求，且，且，已知已知babaRba 構(gòu)造構(gòu)造和為定值和為定值，利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值例6、已知 ，求 的最大值10 x21xx2221(1)xxxx20110 xx 2211.22xx2221.2xxx 當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立211.2xx的最大值為解：解：小結(jié)：小結(jié)：基本不等式的應(yīng)用基本不等式的應(yīng)用1.基本不等式可證明簡單的不等式基本不等式可證明簡單的不等式2.應(yīng)用基本不等式求最值的問題應(yīng)用基本不等式求最值的問題(1)利用基本不等式求函數(shù)最值的步驟利用基本不等式求函數(shù)最

10、值的步驟:一正一正, ,二定二定, ,三相等三相等,0,02ababab 一不正常用(2)先變形再利用基本不等式求函數(shù)最值先變形再利用基本不等式求函數(shù)最值:(3)取不到等號時用函數(shù)單調(diào)性求最值取不到等號時用函數(shù)單調(diào)性求最值:,二不定 需變形,三不等 常用單調(diào)性2、(04重慶）已知重慶）已知則則x y 的最大值是的最大值是 。練習(xí)：練習(xí)：1、當(dāng)、當(dāng)x0時，時， 的最小值為的最小值為 ，此時，此時x= 。21xx1)0, 0(232yxyx61 3、若實(shí)數(shù)、若實(shí)數(shù) ，且，且 ，則，則 的最小值是（的最小值是（ ）A、10 B、 C、 D、4、在下列函數(shù)中，最小值為、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（的

11、是（ ）A、 B、C、 D、) 0,(55xRxxxy)101 (lg1lgxxxy)(33Rxyxx)20(sin1sinxxxyyx,5 yxyx333664318DC利用基本不等式證明不等式利用基本不等式證明不等式21.,1( ,),() .aba bx yRxyxyab已知是正數(shù)，且求證：()()abbxayxyxyabxyyx證明：22()bx ayababyx.bxaybyxyxa當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立2.0,0,0,0,4.abcdadbcbcadbdac已知求證：()()adbcbcadac adbcbd bcadbdacabcd證明：2222()()a cdb cdabcabdabcd224.abcdabcdabcd4442222223.().abca b