重視直觀重視直接經(jīng)驗(yàn)感悟數(shù)學(xué)思想--以《雞兔同籠》為例探討

1、論文類(lèi)別：教育案例研究論文題目：重視直觀，積累直接經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想以雞兔同籠為例探討作者姓名：楊小雯單 位： 珠海市香洲區(qū)前山小學(xué)電 話：視直觀，積累直接經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想以雞兔同籠為例探討開(kāi)學(xué)初，翻開(kāi)小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)的教材，發(fā)現(xiàn)雞兔同籠問(wèn)題從六年級(jí)被“下放”到了四年級(jí)。如何教學(xué)？思緒萬(wàn)千筆者愚鈍，小學(xué)沒(méi)有參加過(guò)“奧數(shù)”、“華羅庚”等數(shù)學(xué)興趣班，直到上了初中開(kāi)始學(xué)習(xí)二元一次方程，才第一次接觸到了雞兔同籠問(wèn)題。解決這類(lèi)問(wèn)題一般有兩類(lèi)方法，一是“假設(shè)法”，二是方程解法。那時(shí)候，主要學(xué)習(xí)、應(yīng)用的方法就是方程解法。通過(guò)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題目中的兩個(gè)條件列出二元一次方程組，會(huì)解方程

2、組、求未知數(shù)就能得出答案了。到筆者畢業(yè)走上三尺講臺(tái)，發(fā)現(xiàn)雞兔同籠問(wèn)題已從初中被“下放”到了小學(xué)六年級(jí)，而且解決方法更加多樣化，更加促發(fā)學(xué)生思考問(wèn)題、解決問(wèn)題：列表法、假設(shè)法、折足法、方程解法等等。列表法，當(dāng)然是可行的，即使數(shù)據(jù)較大，最終仍肯定能鎖定正確答案。假設(shè)法：“口說(shuō)”，不夠直觀，較難理解；“畫(huà)示意圖”，直觀，但“腳”的條數(shù)易使人混亂，不能直觀體現(xiàn)頭數(shù)與腳數(shù)的關(guān)系。足半法，古人的方法是可行的，但是理解起來(lái)也不容易。方程解法，通過(guò)一元一次方程先解出一種動(dòng)物的只數(shù)，再求另一種動(dòng)物的只數(shù)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)關(guān)鍵點(diǎn)及難點(diǎn)在于正確列出方程及解方程。課后通過(guò)觀察六年級(jí)學(xué)生的練習(xí)、作業(yè)，筆者發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)與筆者

3、一樣，更傾向于選擇方程解法來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題。如今雞兔同籠出現(xiàn)在四年級(jí)下冊(cè)的課本，筆者最為熟悉的方程解法卻不能使用了。對(duì)列表法和折足法的探究教學(xué)，筆者還是有把握的；唯獨(dú)假設(shè)法，諸多教參教法中的“畫(huà)示意圖”法都未能使筆者自己清晰明了，如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)？于是筆者開(kāi)始查閱更多的教參資料，上網(wǎng)搜尋專(zhuān)家、同行的經(jīng)驗(yàn)方法，終于找到一種直觀明了的方式：擺！相比畫(huà)圖腳的總條數(shù)表示不夠直觀，直接把“腳”安上去，多腳或少腳的情況就能一目了然了！例如，教材中“雞兔同籠，8頭26腳，雞兔各幾何”的問(wèn)題。若用畫(huà)示意圖的方法，8個(gè)頭，都能畫(huà)上兩只腳，也都能畫(huà)上四只腳，26只腳的條件未能直觀的使用。而用“擺”腳的方法，8個(gè)頭，

4、都安上兩只腳，共能安16只腳，則多出10只腳未安放；8個(gè)頭都安上四只腳，則只有6個(gè)動(dòng)物能安四只腳，1個(gè)安了兩只腳，剩下一只動(dòng)物沒(méi)有腳，也就是少了6只腳。知道多或少了幾只腳，我們就能夠調(diào)整腳的安法，從而“擺”出、算出正確結(jié)果，從而根據(jù)擺法，列出算式，抽象出一般解法了。有了這一層想法，我把雞兔同籠這一課的教學(xué)流程設(shè)計(jì)如下：一、創(chuàng)設(shè)情境，激趣引入師：同學(xué)們，歡迎來(lái)到開(kāi)心牧場(chǎng)！牧場(chǎng)中有哪些動(dòng)物呢？你對(duì)雞和兔有什么認(rèn)識(shí)？【預(yù)設(shè)1：生回答雞、兔都有1個(gè)頭，各有2、4條腿?！縿?dòng)畫(huà)展示：現(xiàn)在，突然烏云密布，要下雨啦！動(dòng)物們趕緊跑進(jìn)籠子里避雨了！飼養(yǎng)員叔叔進(jìn)去一看，三個(gè)籠子里都有雞和兔，但是都不知道每個(gè)籠子里雞

5、和兔各有幾只，數(shù)了半天只能確定如下條件：大籠：上有35個(gè)頭、下有94條腿。中籠：上有8個(gè)頭，下有26條腿。小籠：上有5個(gè)頭，下有14條腿。師：同學(xué)們，我們幫飼養(yǎng)員叔叔解決他的疑問(wèn)好嗎？同學(xué)們認(rèn)為哪一個(gè)籠子的雞兔數(shù)比較容易算？【預(yù)設(shè)：小籠問(wèn)題比較容易解決?！啃〗Y(jié)：從相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，簡(jiǎn)單的問(wèn)題解決了，就可以用同樣的方法來(lái)解決較復(fù)雜的問(wèn)題。二、合理猜測(cè)，初談想法師：你現(xiàn)在心里有什么想法呢？說(shuō)一說(shuō)?！绢A(yù)設(shè)：猜出一種雞、兔只數(shù)的可能性，驗(yàn)證是否正確。強(qiáng)調(diào)：雞、兔頭數(shù)的和必須為5。為什么？】動(dòng)筆嘗試找出雞和兔分別有幾只。全班交流，看看誰(shuí)猜得最快！方法：列表法（找到正確答案即可）方法：枚舉法（在表格中列

6、出所有的可能性）雞543210兔012345腿101214161820【預(yù)設(shè)：學(xué)生在第一次猜數(shù)的時(shí)候，有可能一猜就猜中三只雞、兩只兔是正確答案。由于小籠問(wèn)題的數(shù)據(jù)較小，展開(kāi)不會(huì)耽誤太多的時(shí)間，因此這時(shí)候可以稍微深入地挖掘列表法其中的奧妙。例如如果第一次猜時(shí)猜的是兩只雞和三只兔，腿數(shù)應(yīng)為16，比14多了，接下來(lái)應(yīng)該增加雞數(shù)還是兔數(shù)呢？如果一開(kāi)始猜的是四只雞、一只兔，或一只雞、四只兔，又該如何調(diào)整雞數(shù)和兔數(shù)更機(jī)智？】小結(jié)：有序思考是我們思考問(wèn)題的一個(gè)有效方法；用列表法和枚舉法可以幫助我們解決問(wèn)題。三、小組合作，探究新知師：同學(xué)們，解決完小籠問(wèn)題，我們來(lái)試一試解決中籠問(wèn)題。學(xué)具袋中有表格，也有白紙，

7、還有一些小紙片和小棍子：紙片8張，可以作為動(dòng)物的頭；小棍子26根，可以作為動(dòng)物的腳。在小組內(nèi)討論、合作，用你們喜歡的方法來(lái)解決中籠問(wèn)題吧！列表算一算，動(dòng)手?jǐn)[一擺，提筆畫(huà)一畫(huà)，也許同學(xué)們會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)！【預(yù)設(shè)：有小組采用列表法，引導(dǎo)學(xué)生有序地思考，并關(guān)注腿數(shù)的變化；有小組通過(guò)擺一擺，都先嘗試擺兩條腿（即把8只動(dòng)物都看作雞），或都先嘗試擺四條腿（即把8只動(dòng)物都看作兔），發(fā)現(xiàn)頭數(shù)與腳數(shù)的數(shù)量關(guān)系，并參照擺的過(guò)程，嘗試列出算式，抽象出假設(shè)法的解題思路并板書(shū)兩種假設(shè)方法。】板書(shū)： 假設(shè)全部都是雞，則腿數(shù)：（條）多出腿數(shù)：（條）雞兔腿差：（條）兔數(shù)：（只）雞數(shù)：（只）答：籠子里有3只雞，5只兔。假設(shè)全部都是

8、兔，則腿數(shù)：（條）少的腿數(shù)：（條）雞兔腿差：（條）雞數(shù)：（只）兔數(shù)：（只）答：籠子里有3只雞，5只兔。小結(jié)：可以用列表法枚舉所有可能或有技巧地列出部分可能，得到正確的雞數(shù)和兔數(shù)。也可以用假設(shè)法，通過(guò)列式計(jì)算得到雞、兔各幾只?！绢A(yù)設(shè)：可以引導(dǎo)學(xué)生觀察列表法中的數(shù)據(jù)與假設(shè)法，探究?jī)烧咧g的聯(lián)系?！克?、學(xué)以致用，融會(huì)貫通現(xiàn)在，我們嘗試來(lái)解決大籠的問(wèn)題。請(qǐng)同學(xué)們拿出練習(xí)本，用自己喜歡的方法，動(dòng)筆試一試解決大籠問(wèn)題。五、博古通今，滲透文化（課本105頁(yè)閱讀資料介紹折半法、抬腳法） 看了古人的想法，你有什么啟發(fā)嗎？六、延伸與應(yīng)用做一做：1、有龜、鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？2、

9、12人參加植樹(shù)活動(dòng)，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，一共栽了32棵樹(shù)。男、女生各有幾人？這兩個(gè)問(wèn)題都屬于雞兔同籠問(wèn)題嗎？哪個(gè)數(shù)量相當(dāng)于頭數(shù)，哪個(gè)數(shù)量相當(dāng)于腳數(shù)？你喜歡用什么算法算？二選一，動(dòng)筆做一做！七、暢談收獲，全課結(jié)束教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。數(shù)學(xué)教學(xué)除了要注意使學(xué)生在獲得間接經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，也能夠有機(jī)會(huì)獲得直接經(jīng)驗(yàn)。直接經(jīng)驗(yàn)在本課的教學(xué)中更加有利于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)。例如在本課的教學(xué)中，我充分提供學(xué)具、時(shí)間、空間給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)時(shí)間、思考、探索、交流等，了解“雞兔同籠”問(wèn)題，感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題中的趣味和智慧；將生活中的其它類(lèi)似的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“雞兔同籠”問(wèn)題，嘗試用不同的方法解決此類(lèi)問(wèn)題，體會(huì)代數(shù)方法的一般性；在分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)邏輯推理能力，感悟數(shù)學(xué)思想?！皵[”的活動(dòng)，使每位學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣都被激發(fā)起來(lái)了。每一位學(xué)生都能通過(guò)“擺”獲得直接經(jīng)驗(yàn)，所思即所現(xiàn)，所現(xiàn)即所思