線性代數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上線性代數(shù)在生活中的實(shí)際應(yīng)用制藥工程學(xué)院 環(huán)境科學(xué) 蘇雷 大學(xué)數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基本語言，是應(yīng)用模式探索現(xiàn)實(shí)世界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)機(jī)理的主要手段。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義不僅僅是學(xué)習(xí)一種專業(yè)的工具而已。 ；初等的數(shù)學(xué)知識(shí) 學(xué)習(xí)線性代數(shù)數(shù)學(xué)建模 函數(shù)模型的建立及應(yīng)用，作為變化率的額倒數(shù)在幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，拋體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，最優(yōu)化方法及其在工程、經(jīng)濟(jì)、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域中的應(yīng)用，邏輯斯諦模型及其在人口預(yù)測、新產(chǎn)品的推廣與經(jīng)濟(jì)增長預(yù)測方面的應(yīng)用，網(wǎng)絡(luò)流模型及其應(yīng)用，人口遷移模型及其應(yīng)用，常用概率模型及其應(yīng)用，等等。 線性代數(shù)中行列式 實(shí)質(zhì)上是又一些豎直排列形成的數(shù)表按一定的法則計(jì)算

2、得到的一個(gè)數(shù)。早在1683年與1693年，日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和與德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨就分別獨(dú)立的提出了行列式的概念。之后很長一段時(shí)間，行列式主要應(yīng)用與對(duì)現(xiàn)行方程組的而研究。大約一個(gè)半世紀(jì)后，行列式逐步發(fā)展成為線性代數(shù)的一個(gè)獨(dú)立的理論分支。1750年瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆也在他的論文中提出了利用行列式求解線性方程組的著名法則克萊姆法則。隨后1812年，法國數(shù)學(xué)家柯西發(fā)現(xiàn)了行列式在解析幾何中的應(yīng)用，這一發(fā)現(xiàn)機(jī)器了人們對(duì)行列式的應(yīng)用進(jìn)行探索的濃厚興趣。如今，由于計(jì)算機(jī)和計(jì)算軟件的發(fā)展，在常見的高階行列式計(jì)算中，行列式的數(shù)值意義雖然不大，但是行列式公式依然可以給出構(gòu)成行列式的數(shù)表的重要信息。在線性代數(shù)的某些應(yīng)用中

3、，行列式的只是依然非常重要。例如：有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千克含氮70克，磷8克，鉀2克；乙種、 化肥每千克含氮64克，磷10克，鉀0.6克；丙種化肥每千克含氮70克，磷5克，鉀1.4克若把此三種化肥混合，要求總重量23千克且含磷149克，鉀30克，問三種化肥各需多少千克？解：由克萊姆法則，此方程組有唯一解：;即甲乙丙三種化肥各需 3千克 5千克 15千克、矩陣實(shí)質(zhì)上就是一張長方形的數(shù)表，無論是在日常生活中還是科學(xué)研究中，矩陣是一種非常常見的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。學(xué)校課表、成績單、工廠里的生產(chǎn)進(jìn)度表、車站時(shí)刻表、價(jià)目表、故事中的證劵價(jià)目表、科研領(lǐng)域中的數(shù)據(jù)分析表，它是表述或處理大量的生活、生產(chǎn)與科

4、研問題的有力的工具。矩陣的重要作用主要是它能把頭緒紛繁的十五按一定的規(guī)則清晰地展現(xiàn)出來，使我們不至于背一些表面看起來雜亂無章的關(guān)系弄得暈頭轉(zhuǎn)向。塌還可以恰當(dāng)?shù)慕o出事物之間內(nèi)在的聯(lián)系，并通過矩陣的運(yùn)算或變換來揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。它也是我們求解數(shù)學(xué)問題時(shí)候“數(shù)形結(jié)合”的途徑。矩陣的運(yùn)算是非常重要的內(nèi)容。例：計(jì)算解： 矩陣的初等變化，矩陣的秩，初等矩陣，線性方程組的解。向量組的線性相關(guān)，向量空間，向量組的秩，n維向量。這些都是線性代數(shù)的核心概念。線性代數(shù)在應(yīng)用上的重要性與計(jì)算機(jī)的計(jì)算性能成正比例增長。而這一性能伴隨著計(jì)算機(jī)軟硬件的不斷創(chuàng)新提升，最終，計(jì)算機(jī)并行處理和大規(guī)模計(jì)算的迅猛發(fā)展將會(huì)吧計(jì)算

5、機(jī)科學(xué)與線性代數(shù)緊密的聯(lián)系在一起并廣泛應(yīng)用于解決飛機(jī)制造，橋梁設(shè)計(jì)，交通規(guī)劃，石油勘探，經(jīng)濟(jì)管理等科學(xué)領(lǐng)域。線性模型比復(fù)雜的非線性模型更易于用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。線性方程組應(yīng)用廣泛。主要有網(wǎng)絡(luò)流模型，人口遷移模型，基因問題，求血液的流率和血管分支點(diǎn)出的壓強(qiáng)等等。線性方程組的解法其中至關(guān)重要的例如 求解齊次線性方程組解： 即得與原方程組同解的方程組由此即得 方陣的特征值、特征向量理論及方陣的相似對(duì)角化的問題，這些內(nèi)容不僅在數(shù)學(xué)本身的研究中具有重要的作用，在其他的許多科學(xué)領(lǐng)域中也有重要的應(yīng)用。例如，在生物信息學(xué)中，人類基因的染色體圖譜在進(jìn)行DNA序列對(duì)比是就用到了矩陣的相似，這個(gè)概念。線性代數(shù)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)

6、學(xué)建模十分必要。那么, 為什么線性代數(shù)得到廣泛運(yùn)用, 也就是說, 為什么在實(shí)際的科學(xué)研究中解線性方程組是經(jīng)常的事, 而并非解非線性方程組是經(jīng)常的事呢? 這是因?yàn)? 大自然的許多現(xiàn)象恰好是線性變化的。按照辯證唯物主義的觀點(diǎn), 世間的一切事物都是在不斷地運(yùn)動(dòng)著的.所謂運(yùn)動(dòng), 從數(shù)學(xué)上描述, 就是隨時(shí)間而變化, 因此, 研究各個(gè)量隨時(shí)間的變化率, 即導(dǎo)數(shù), 與各個(gè)量的大小之間的關(guān)系, 就是非常重要的. 以下為線性代數(shù)實(shí)際解決的應(yīng)用問題：例1： 基因間“距離”的表示在ABO血型的人們中，對(duì)各種群體的基因的頻率進(jìn)行了研究。如果我們把四種等位基因A1，A2，B，O區(qū)別開，有人報(bào)道了如下的相對(duì)頻率，見表1.

7、1。表1.1基因的相對(duì)頻率愛斯基摩人f1i班圖人f2i英國人f3i朝鮮人f4iA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合計(jì)1.0001.0001.0001.000問題 一個(gè)群體與另一群體的接近程度如何？換句話說，就是要一個(gè)表示基因的“距離”的合宜的量度。解 有人提出一種利用向量代數(shù)的方法。首先，我們用單位向量來表示每一個(gè)群體。為此目的，我們?nèi)∶恳环N頻率的平方根，記.由于對(duì)這四種群體的每一種有，所以我們得到.這意味著下列四個(gè)向量的每個(gè)

8、都是單位向量.記在四維空間中，這些向量的頂端都位于一個(gè)半徑為1的球面上.現(xiàn)在用兩個(gè)向量間的夾角來表示兩個(gè)對(duì)應(yīng)的群體間的“距離”似乎是合理的.如果我們a1和a2之間的夾角記為，那么由于| a1|=| a2|=1，再由內(nèi)只公式，得故 得 °.按同樣的方式，我們可以得到表1.2.表1.2基因間的“距離”愛斯基摩人班圖人英國人朝鮮人愛斯基摩人0°23.2°16.4°16.8°班圖人23.2°0°9.8°20.4°英國人16.4°9.8°0°19.6°朝鮮人16.8°

9、;20.4°19.6°0°由表1.2可見，最小的基因“距離”是班圖人和英國人之間的“距離”，而愛斯基摩人和班圖人之間的基因“距離”最大.例2：在醫(yī)藥領(lǐng)域也有著很重要的作用。例如：通過中成藥藥方配制問題，達(dá)到理解向量組的線性相關(guān)性、最大線性無關(guān)組向量的線性表示以及向量空間等線性代數(shù)的知識(shí)問題：某中藥廠用9種中草藥（A-I），根據(jù)不同的比例配制成了7種特效藥，各用量成分見表1（單位：克） 1號(hào)成藥2號(hào)成藥3號(hào)成藥4號(hào)成藥5號(hào)成藥6號(hào)成藥7號(hào)成藥A10214122038100B1201225356055C531105140D79255154735E012255

10、336F255355355550G94172523925H651610103510I821202620解：（1）把每一種特效藥看成一個(gè)九維列向量，分析7個(gè)列向量構(gòu)成向量組的線性相關(guān)性。若向量組線性無關(guān)，則無法配制脫銷的特效藥；若向量組線性相關(guān)，并且能找到不含u3,u6的一個(gè)最大線性無關(guān)組，則可以配制3號(hào)和6號(hào)藥品。在Matlab窗口輸入u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8;u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2;u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12;u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0;u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0;u6=38

11、;60;14;47;33;55;39;35;6;u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20;U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7U0,r=rref(U)計(jì)算結(jié)果為U0= r= 1 2 4 5 71 0 1 0 0 0 0 從最簡行階梯型U0中可以看0 1 2 0 0 3 0 出，R（U）=5，向量組線性0 0 0 1 0 1 0 相關(guān)，一個(gè)最大無關(guān)組為0 0 0 0 1 1 0 u1，u2，u4，u5，u7，0 0 0 0 0 0 1 u3=u1+2u2四個(gè)零行 u6=3u2+u4+u5 故可以配制新藥2）三種新藥用v1，v2，v3表示，問題化為v1，v2，v3能否由u1

12、-u7線性表示，若能表示，則可配制；否則，不能配制。令U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,v1,v2,v3U0,r=rref(U)由U0的最后三列可以看出結(jié)果計(jì)算結(jié)果r=1,2,4,5,7,10 則可以看出v1=u1+3u2+2u4 v2=3u1+4u2+2u4+u7v3不能被線性表示，所以無法配制例3：化學(xué)方程的配平:確定x1,x2,x3,x4，使兩邊原子數(shù)相等稱為配平，方程為寫成矩陣方程例4：衛(wèi)星上用三種可見光和四種紅外光進(jìn)行攝像，對(duì)每一個(gè)區(qū)域，可以獲得七張遙感圖象。利用多通道的遙感圖可以獲取盡可能多的地面信息，因?yàn)楦鞣N地貌、作物和氣象特征可能對(duì)不同波段的光敏感。而在實(shí)用上應(yīng)該尋

13、找每一個(gè)地方的主因素，成為一張實(shí)用的圖象。每一個(gè)象素上有七個(gè)數(shù)據(jù)，形成一個(gè)多元的變量數(shù)組，在其中合成并求取主因素的問題，就與線性代數(shù)中要討論的特征值問題有關(guān)。例5：用逆陣進(jìn)行保密編譯碼 在英文中有一種對(duì)消息進(jìn)行保密的措施，就是把英文字母用一個(gè)整數(shù)來表示。然后傳送這組整數(shù)。這種方法是很容易根據(jù)數(shù)字出現(xiàn)的頻率來破譯，例如出現(xiàn)頻率特別高的數(shù)字，很可能對(duì)應(yīng)于字母E?？梢杂贸艘跃仃嘇的方法來進(jìn)一步加密。假如A是一個(gè)行列式等于±1的整數(shù)矩陣，則A-1的元素也必定是整數(shù)。而經(jīng)過這樣變換過的消息，同樣兩個(gè)字母對(duì)應(yīng)的數(shù)字不同，所以就較難破譯。接收方只要將這個(gè)消息乘以A-1就可以復(fù)原。例6：Euler的

14、四面體問題問題 如何用四面體的六條棱長去表示它的體積？這個(gè)問題是由Euler（歐拉）提出的.解 建立如圖2.1所示坐標(biāo)系，設(shè)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（a1,b1,c1）,( a2,b2,c2)和（a3,b3,c3），并設(shè)四面體O-ABC的六條棱長分別為由立體幾何知道，該四面體的體積V等于以向量組成右手系時(shí)，以它們?yōu)槔獾钠叫辛骟w的體積V6的.而于是得 將上式平方，得根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有于是 （2.1）由余弦定理，可行 同理將以上各式代入（2.1）式，得 （2.2）這就是Euler的四面體體積公式.例7： 一塊形狀為四面體的花崗巖巨石，量得六條棱長分別為l=10m, m=15m, n

15、=12m,p=14m, q=13m, r=11m.則代入（2.1）式，得于是即花崗巖巨石的體積約為195m3。古埃及的金字塔形狀為四面體，因而可通過測量其六條棱長去計(jì)算金字塔的體積。線性代數(shù)（Linear Algebra）是的一個(gè)分支，它的研究對(duì)象是向量，（或稱線性空間），和有限維的。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題；因而，線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和中；通過，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學(xué)研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于和社會(huì)科學(xué)中。線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位；在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分；該學(xué)科所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對(duì)于強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增益科學(xué)智能是非常有用的；隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于