線性代數(shù)在投入產(chǎn)出中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、 摘 要投入產(chǎn)出模型是利用線性代數(shù)方法和電子計算機手段,研究經(jīng)濟(jì)活動的投入與產(chǎn)出間數(shù)量依存關(guān)系的一種經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型.投入產(chǎn)出模型是企業(yè)實現(xiàn)全面計劃管理最適用而有效的工具。靜態(tài)投入產(chǎn)出模型在我因企業(yè)的應(yīng)用研究已日趨成熟.一些大、中型企業(yè)成功地建立和應(yīng)用投入產(chǎn)出模型,收到了明顯的經(jīng)濟(jì)效益。然而,到目前為止,投入產(chǎn)出技術(shù)遠(yuǎn)未在企業(yè)得到普及.例如,在重慶市,企業(yè)投入產(chǎn)出模型的編制與應(yīng)用才剛剛起步.筆者以為,針對企業(yè)的具體生產(chǎn)工藝特點,靈活地運用投入產(chǎn)出技術(shù),編制適用的投入產(chǎn)出模型及應(yīng)用程序,普及推廣投入產(chǎn)出技術(shù),促進(jìn)企業(yè)管理現(xiàn)代化乃是當(dāng)前企業(yè)投入產(chǎn)出應(yīng)用研究之主要方向。關(guān)鍵

2、詞：線性代數(shù) 數(shù)學(xué)建模 投入產(chǎn)出 企業(yè)管理二、問題的提出1、背景：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，經(jīng)常要研究多個經(jīng)濟(jì)部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系。針對這個問題，利用線性方程組的有關(guān)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，深入分析經(jīng)濟(jì)部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系。在研究多個經(jīng)濟(jì)部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系時, W. Leontief提出了投入產(chǎn)出模型. 這為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究提供了強有力的手段. W. Leontief因此獲得了1973年的Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎. 2、待解決的問題：用線性代數(shù)方法，建立數(shù)學(xué)模型，利用MATLA得出結(jié)果。簡而言之，就是結(jié)合數(shù)學(xué)軟件解決線性代數(shù)在企業(yè)投入產(chǎn)出模型的運用。三、問題的分析根據(jù)企業(yè)投入產(chǎn)出，按行建立的分配方程或產(chǎn)出方程組

3、模型。由第象限和第象限（參見投入產(chǎn)出表）的各行組成一個方程，反映各部門生產(chǎn)的總產(chǎn)品的分配使用情況，平衡關(guān)系是：中間產(chǎn)品+最終產(chǎn)品=總產(chǎn)品。按列建立的生產(chǎn)方程組或投入方程組模型。由第象限和第象限各列組成一個方程，反映總產(chǎn)品價值的形成過程，平衡關(guān)系是:物質(zhì)消耗轉(zhuǎn)移價值+新創(chuàng)造價值=總產(chǎn)值，即 式中：Vj為j部門提供的勞動報酬；Mj為j部門創(chuàng)造的社會純收入。分配方程組模型對價值型和實物型表都適用，而生產(chǎn)方程組僅對價值型表適用。 在經(jīng)濟(jì)分析方面：可以用于結(jié)構(gòu)分析，還可以用于編制經(jīng)濟(jì)計劃和進(jìn)行經(jīng)濟(jì)調(diào)整等編制計劃的一種作法是先規(guī)定各部門計劃期的總產(chǎn)量，然后計算出各部門的最終需求；另一種作法是確定計劃期各部

4、門的最終需求，然后再計算出各部門的總產(chǎn)出。后一種作法符合以社會需求決定社會產(chǎn)品的原則，同時也有利于調(diào)整各部門產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例，是一種較合理的作法四、建模過程4.1 利用投入產(chǎn)出表直接表示的投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型 4.1.1 模型分析1.投入產(chǎn)出表的結(jié)構(gòu)設(shè)某企業(yè)的生產(chǎn)體系劃為三個部門，2008年度三個部門的生產(chǎn)與消耗情況如表1所示。 表1 單位：億元 產(chǎn)出部門間流量投入消耗部門最終產(chǎn)品總產(chǎn)出部門一 部門二 部門三生產(chǎn)部門部門一部門二部門三18 24 2010 12 812 9 163830431006080新創(chuàng)造價值60 15 36 總產(chǎn)品價值100 60 80 表1結(jié)構(gòu)：生產(chǎn)部門，消耗部門，部門間流

5、量，最終產(chǎn)品，總產(chǎn)出，新創(chuàng)造價值，總產(chǎn)品價值。 水平方向表示的是每個部門總產(chǎn)出（也叫總產(chǎn)值）的分配情況。 每個部門的總產(chǎn)出應(yīng)等于提供給各部門消耗的中間產(chǎn)品與最終產(chǎn)品的價值量之和。 表1的豎直方向，反映的是每個部門總投入的構(gòu)成情況。 每個部門的總投入應(yīng)等于其所消耗的部門產(chǎn)品與新創(chuàng)造價值量之和。 結(jié)論：每個部門的總投入與總產(chǎn)出是相互平衡的。 列舉經(jīng)濟(jì)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)各部門的投入產(chǎn)出關(guān)系的表，稱為投入產(chǎn)出表。 以貨幣計量單位編制的投入產(chǎn)出表叫做價值型投入產(chǎn)出表。 表1就是價值型投入產(chǎn)出表。 一般地，價值型投入產(chǎn)出表的基本結(jié)構(gòu)，見表2。 產(chǎn)出部門間流量投入消耗部門最終產(chǎn)品總產(chǎn)出消費積累合計生產(chǎn)部門新創(chuàng)造價值勞

6、動報酬純收入合計總投入表2 價值型投入產(chǎn)出表表2中有關(guān)數(shù)據(jù)的經(jīng)濟(jì)意義如下： 表示第部門總產(chǎn)出的價值量，或是第部門總投入的價值量； 表示第部門生產(chǎn)的用作最終使用部分的產(chǎn)品的價值量；表示第部門分配給第部門的產(chǎn)品的價值量，或第部門消耗第部門生產(chǎn)的產(chǎn)品的價值量。該量又稱為部門間的流量； 表示第部門發(fā)給勞動者的勞動報酬； 表示第部門創(chuàng)造的純收入； 表示第部門新創(chuàng)造的價值量（增加值）。表2分成四部分，分別稱為第、象限，如表3所示。 表3 價值投入產(chǎn)出表的表式結(jié)構(gòu) 產(chǎn)出部門間流量投入中間使用最終產(chǎn)品總產(chǎn)出消費積累合計中間投入增加值勞動報酬純收入合計總投入消耗部門產(chǎn)品的價值量也稱中間使用的價值量，生產(chǎn)部門的價

7、值量也稱中間投入的價值量，新創(chuàng)造價值也稱增加值。 第象限:行方向表明某部門生產(chǎn)的產(chǎn)品分配給各部門使用的價值量，也稱中間產(chǎn)品或中間使用；列方向表明某部門在生產(chǎn)過程中消耗各部門的產(chǎn)品的價值量，也稱為中間投入或中間消耗。 第象限：由個部門和各行與最終產(chǎn)品的各列交叉而成，反映了最終產(chǎn)品的構(gòu)成；第象限：由新創(chuàng)造價值的各行與個部門的各列交叉而成，反映了國民收入的初次分配情況； 第象限：由新創(chuàng)造價值的各行與最終產(chǎn)品的各列交叉而成，反映國民收入再次分配情況。一般空出不用。 2、平衡方程組 (1) 分配方程組 由第象限和第象限的各行組成一個方程，反映各部門生產(chǎn)的總產(chǎn)品的分配使用去向。 平衡關(guān)系是：中間產(chǎn)品+最終

8、產(chǎn)品=總產(chǎn)出。由此列出的方程組為 （1）或簡記為稱方程組(1) 或（2）叫做產(chǎn)出分配平衡方程組，簡稱分配方程組。 （2）投入方程組 由第象限和第象限各列組成一個方程，反映總產(chǎn)品價值的形成過程。平衡關(guān)系是:中間投入+增加值=總投入。由此列出方程組為 （2）或簡記為稱方程組(3) 或（4）叫做投入構(gòu)成平衡方程組，簡稱投入方程組。4.1.2 模型應(yīng)用某地區(qū)的支柱產(chǎn)業(yè)分為有四個產(chǎn)業(yè)，分別是制造、通信、服務(wù)與能源。在過去一年內(nèi)，產(chǎn)業(yè)間流量和總產(chǎn)出如表3-4所示。求：各產(chǎn)業(yè)的最終產(chǎn)品的價值； 各產(chǎn)業(yè)新創(chuàng)造的價值。 表4 單位：億元 產(chǎn)出 部門間流量 投入 消耗部門最終產(chǎn)品總產(chǎn)出制造 通信 服務(wù) 能源生產(chǎn)部

9、門制造通信服務(wù)能源360 480 400 200200 240 160 280240 180 320 300350 320 260 2202000170018001600新創(chuàng)造價值總產(chǎn)品價值2000 1700 1800 1600解 （1）各產(chǎn)業(yè)的最終產(chǎn)品的價值可由分配方程組得到。 列分配方程組為代入數(shù)據(jù)為從而得各部門的最終產(chǎn)品的價值為（2）各產(chǎn)業(yè)新創(chuàng)造的價值可由投入方程組得到。 列投入方程組為代入數(shù)據(jù)為從而得各部門新創(chuàng)造的價值為4.2 利用直接消耗系數(shù)表示的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型4.2.1 模型分析1.直接消耗系數(shù)定義定義1 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)第部門生產(chǎn)單位價值產(chǎn)品所直接消耗第部門的產(chǎn)品價值量，稱為第部門對第

10、部門的直接消耗系數(shù)，記為。即. （3）由個部門相互之間的直接消耗系數(shù)構(gòu)成的階方陣，稱為直接消耗系數(shù)矩陣。記作性質(zhì)：性質(zhì)1 ；性質(zhì)2 () 。2.平衡方程組的解在直接消耗系數(shù)矩陣已知的前提下，求各部門的最終產(chǎn)品與各部門的總產(chǎn)量。分配方程組的解由直接消耗系數(shù)定義，得 將其代入分配方程組（1），得（4） 或簡寫為設(shè), 則（4）式可用矩陣形式表示為 （5）這里是直接消耗系數(shù)矩陣。由（5）可得，（6）可以證明矩陣是可逆矩陣，即存在，從而有 （7） 投入方程組的解將代入投入方程組（2）式，可得（8） 或簡寫為由（8）式得出（9）（10）4.2.2 模型應(yīng)用1、 計算上題的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣。解 由

11、公式，得 從而，此經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣為2.設(shè)某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有三個部門，在某一生產(chǎn)周期內(nèi)各部門間的直接消耗系數(shù)及最終產(chǎn)值見表5。求：（1）各部門的總產(chǎn)出；（2）各部門新創(chuàng)造價值；（3）部門間流量。表5 單位:萬元 產(chǎn)出 直接消耗系數(shù)投入中間使用部門一 部門二 部門三中間投入部門一部門二部門三0.25 0.10 0.100.20 0.20 0.100.10 0.10 0.20解 （1）設(shè)三個部門總產(chǎn)出，組成矩陣，直接消耗系數(shù)矩陣與最終產(chǎn)值矩陣分別為 ，.由可得， 即三個部門在一個生產(chǎn)周期內(nèi)的總產(chǎn)值分別為400、250、300萬元。(2)根據(jù)新創(chuàng)造價值的計算公式（9）式，得(萬元)(萬元)(萬元

12、)即三個部門在一個生產(chǎn)周期內(nèi)新創(chuàng)造價值分別為180、150、180萬元。(3)由可計算出部門間流量分別為該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的投入產(chǎn)出表如下表6所示： 表6 單位：萬元 產(chǎn)出 部門間流量投入中間使用最終產(chǎn)品總產(chǎn)出部門一 部門二 部門三中間投入部門一部門二部門三100 25 3080 50 3040 25 6024590275400250300新創(chuàng)造價值180 150 100總投入400 250 3004.3 利用完全消耗系數(shù)表示的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型4.3.1 模型分析 1定義： 第部門生產(chǎn)單位價值產(chǎn)品直接和間接消耗的第部門產(chǎn)品的價值量總和，稱為第部門對第部門的完全消耗系數(shù)，記作()。例如：設(shè)某個經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)劃

13、分為三個部門，討論第二個部門對第一個部門的完全消耗系數(shù)。 解 我們把三個部門之間的消耗關(guān)系用下圖表示，實線表示直接消耗，虛線表示間接消耗，箭頭起點為生產(chǎn)部門，指向為消耗部門。圖3-1設(shè)第二部門對第一部門的完全消耗系數(shù)為，第二部門通過第三部門間接消耗第一部門的產(chǎn)品價值，由已知第三部門生產(chǎn)一個單位價值的產(chǎn)品完全消耗第一部門產(chǎn)品價值為，而第二部門生產(chǎn)一個單位價值的產(chǎn)品直接消耗第三部門產(chǎn)品價值為，那么第二部門生產(chǎn)一個單位價值的產(chǎn)品通過第三部門而間接消耗第一部門產(chǎn)品價值為，第二部門通過第()部門間接消耗第一部門的全部產(chǎn)品的價值量為。 所以 第部門對第部門的完全消耗系數(shù)為 () (11)由經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)所有相互

14、之間的完全消耗系數(shù)構(gòu)成的階方陣，稱為完全消耗系數(shù)矩陣，記作 利用矩陣運算，式(11)可寫成矩陣形式 (12)其中與分別是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣與完全消耗系數(shù)矩陣。 將(12)式變形為 (13)因為矩陣可逆，所以 即 (14)4.3.2 模型應(yīng)用假設(shè)某公司三個生產(chǎn)部門間的投入產(chǎn)出如表7所示： 表 7中 間 使 用 最終產(chǎn)品 總產(chǎn)出 1 2 3中 間 投 入 123100 050 050120 120 060 075 075 225300300375500600750求各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣。 解 依次用各部門的總產(chǎn)值去除中間使用欄中各列，得到直接消耗系數(shù)矩陣為 而 得到 故所求完全消耗系

15、數(shù)矩陣為 4.4 經(jīng)濟(jì)方面投入產(chǎn)出應(yīng)用舉例4.4.1 應(yīng)用舉例一在研究多個經(jīng)濟(jì)部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系時, W. Leontief提出了投入產(chǎn)出模型. 這為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究提供了強有力的手段. W. Leontief因此獲得了1973年的Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎. 圖7 三個經(jīng)濟(jì)部門這里暫時只討論一個簡單的情形. 【模型準(zhǔn)備】某地有一座煤礦, 一個發(fā)電廠和一條鐵路. 經(jīng)成本核算, 每生產(chǎn)價值1元錢的煤需消耗0.3元的電; 為了把這1元錢的煤運出去需花費0.2元的運費; 每生產(chǎn)1元的電需0.6元的煤作燃料; 為了運行電廠的輔助設(shè)備需消耗本身0.1元的電, 還需要花費0.1元的運費; 作為鐵路局, 每提供1元運

16、費的運輸需消耗0.5元的煤, 輔助設(shè)備要消耗0.1元的電. 現(xiàn)煤礦接到外地6萬元煤的訂貨, 電廠有10萬元電的外地需求, 問: 煤礦和電廠各生產(chǎn)多少才能滿足需求? 【模型假設(shè)】假設(shè)不考慮價格變動等其他因素. 【模型建立】設(shè)煤礦, 電廠, 鐵路分別產(chǎn)出x元, y元, z元剛好滿足需求. 則有下表表3 消耗與產(chǎn)出情況產(chǎn)出(1元)產(chǎn)出消耗訂單煤電運消耗煤00.60.5x0.6y + 0.5z60000電0.30.10.1y0.3x + 0.1y + 0.1z運0.20.10z0.2x + 0.1y0根據(jù)需求, 應(yīng)該有, 即【模型求解】在Matlab命令窗口輸入以下命令 A = 1,-0.6,-0.5

17、;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1; b = 60000;0; x = Ab Matlab執(zhí)行后得x = 1.0e+005 * 1.9966 1.8415 0.5835可見煤礦要生產(chǎn)1.9966105元的煤, 電廠要生產(chǎn)1.8415105元的電恰好滿足需求. 【模型分析】令x =, A =, b =, 其中x稱為總產(chǎn)值列向量, A稱為消耗系數(shù)矩陣, b稱為最終產(chǎn)品向量, 則Ax =根據(jù)需求, 應(yīng)該有x - Ax = b, 即(E - A)x = b. 故x = (E - A)-1b. 4.4.2 思考模型【模型準(zhǔn)備】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有甲、乙、丙三個企業(yè). 甲企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0

18、.25元乙企業(yè)的產(chǎn)品和0.25元丙企業(yè)的產(chǎn)品. 乙企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.65元甲企業(yè)的產(chǎn)品, 0.05元自產(chǎn)的產(chǎn)品和0.05元丙企業(yè)的產(chǎn)品. 丙企業(yè)每生產(chǎn)1元的產(chǎn)品要消耗0.5元甲企業(yè)的產(chǎn)品和0.1元乙企業(yè)的產(chǎn)品. 在一個生產(chǎn)周期內(nèi), 甲、乙、丙三個企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品價值分別為100萬元, 120萬元, 60萬元, 同時各自的固定資產(chǎn)折舊分別為20萬元, 5萬元和5萬元. (1) 求一個生產(chǎn)周期內(nèi)這三個企業(yè)扣除消耗和折舊后的新創(chuàng)價值. (2) 如果這三個企業(yè)接到外來訂單分別為50萬元, 60萬元, 40萬元, 那么他們各生產(chǎn)多少才能滿足需求? 【模型假設(shè)】假設(shè)不考慮價格變動等其他因素.【模

19、型建立】表3 消耗與產(chǎn)出情況產(chǎn)出(1元)產(chǎn)出消耗一周期生產(chǎn)數(shù)甲乙丙消耗甲00.650.5x0.65y + 0.5z100 0000乙0.250.050.1y0.25x + 0.05y + 0.1z120 0000丙0.250.050z0.25x + 0.05y60 0000（模型求解見模型）五、模型的改進(jìn)與評價5.1 模型的評價通過編制入產(chǎn)出表和模型，能夠清晰地揭示國民經(jīng)濟(jì)各部門、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)在聯(lián)系；特別是能夠反映國民經(jīng)濟(jì)中各部門、各產(chǎn)業(yè)之間在生產(chǎn)過程中的直接與間接聯(lián)系，以及各部門、各產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)與分配使用、生產(chǎn)與消耗之間的平衡（均衡）關(guān)系。正因為如此，投入產(chǎn)出法又稱為部門聯(lián)系平衡法。此外，投入產(chǎn)出法還可以推廣應(yīng)用于各地區(qū)、國民經(jīng)濟(jì)各部門和各企業(yè)等類似問題的分析。當(dāng)用于地區(qū)問題時，它反映的是地區(qū)內(nèi)部之間的內(nèi)在聯(lián)系；當(dāng)用于某一部門時，它反映的是該部門各類產(chǎn)品之間的內(nèi)在聯(lián)系；當(dāng)用于公司或企業(yè)時，它反映的是其內(nèi)部各工序之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過應(yīng)用，我們認(rèn)為，上述三種模型都可以利用已知六條棱的棱長求出任意四面體的體積，且等價，因此，所得表達(dá)式均正確，符合客觀實際。5