談2019年全國(guó)Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第20題與第21題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上談2019年全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)第20題與第21題作者：甘志國(guó)來源：理科考試研究·高中2019年第10期        摘;要：2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)第20題是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，很多讀者不知曉其參考答案中切點(diǎn)B的坐標(biāo)-lnx0，1x0是如何得到的;第21題以橢圓為載體，它與另兩道高考題實(shí)質(zhì)相同.本文將對(duì)這兩道試題給出深入的分析與相應(yīng)的簡(jiǎn)解.        關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用;橢圓;簡(jiǎn)解 &

2、#160;      2019年高考全國(guó)卷數(shù)學(xué)理科第20題與第21題是試卷必做題的最后兩道題，難度自然較大.其中第20題是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)），學(xué)生能看懂第（2）問的參考答案，但不知道參考答案中切點(diǎn)B的坐標(biāo)-lnx0，1x0是如何得到的？筆者將給出透徹的分析;第21題以橢圓為載體，筆者發(fā)現(xiàn)它與2012年高考湖北卷理科第21題、2011年高考江蘇卷第18題實(shí)質(zhì)相同，由本文定理3的相關(guān)結(jié)論可以給出它們統(tǒng)一的簡(jiǎn)解.        1;第20題的參考

3、答案探析        題1;（2019年全國(guó)卷理科第20題）已知函數(shù)fx=lnx-x+1x-1.        （1）討論f（x）的單調(diào)性，并證明f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);        （2）設(shè)x0是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A（x0，lnx0）處的切線也是曲線y=ex的切線.     &

4、#160;  參考答案;（1）可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1）（1，+）.        因?yàn)閒 （x）=1x+1（x-1）2>0，所以f（x）在（0，1），（1，+）上均單調(diào)遞增.        因?yàn)閒（e）=1-e+1e-10，所以f（x）在（1，+）有唯一零點(diǎn)（設(shè)為x1） ，得f（x1）=0.        又因?yàn)?

5、60;       綜上所述，可得f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).        （2）可得點(diǎn)B-lnx0，1x0在曲線y=ex上.        由題設(shè)知f（x0）=0，即lnx0=x0+1x0-1，所以直線AB的斜率k=1x0-lnx0-lnx0-x0=1x0-x0+1x0-1-x0+1x0-1-x0=1x0.     

6、   可得曲線y=ex在點(diǎn)B-lnx0，1x0處切線的斜率是1x0，曲線y=lnx在點(diǎn)A（x0，lnx0）處切線的斜率也是1x0，所以曲線y=lnx在點(diǎn)A（x0，lnx0）處的切線也是曲線y=ex的切線.        疑問;在第（2）問的解答中是如何想到在曲線y=ex上取點(diǎn)B-lnx0，1x0的？這恰恰又是解答的關(guān)鍵所在！        事實(shí)上，點(diǎn)B的坐標(biāo)-lnx0，1x0是求出來的. 

7、0;      如圖1所示，設(shè)曲線y=lnx與曲線y=ex的一條公切線的斜率是k，兩個(gè)切點(diǎn)分別是A（x0，lnx0）與B（x1，ex1），由（lnx）=1x，（ex）=ex及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得k=1x0=ex1，因而x1=-lnx0，得切點(diǎn)B（x1，ex1），即B-lnx0，1x0.        事實(shí)上，還可得k=1x0=ex1=lnx0-ex1x0-x1.        

8、再由x1=-lnx0，可得1x0=lnx0-1x0x0+lnx0.        所以lnx0-x0+1x0-1=0.        由此也可知這道高考題是如何編擬出來的.讀者也可沿此思路（求兩曲線的公切線）編擬出大量的類似題目，比如        題2;已知函數(shù)f（x）=lnx-1x-1.     

9、0;  （1）求 f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù);        （2）設(shè)x0是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx+1在點(diǎn)A（x0，lnx0+1）處的切線也是曲線y=ex的切線.        解;（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1）（1，+）.        因?yàn)閒 （x）=1x+1（x-1）2>0，所以f（x）在（0，1），（1，+）

10、上均單調(diào)遞增.        再由f（e-2）=2-e2e2-10;f（2）=ln2-10，根據(jù)零點(diǎn)定理可得f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.        （2）可得點(diǎn)B-lnx0，1x0在曲線y=ex上.        由題設(shè)知f（x0）=0，即lnx0=1x0-1，所以直線AB的斜率k=1x0-（lnx0+1）-lnx0-x0=1x0-1x0-1-1-1x0-1

11、-x0=1x0.        可得曲線y=ex在點(diǎn)B-lnx0，1x0處切線的斜率是1x0，曲線y=lnx+1在點(diǎn)A（x0，lnx0+1）處切線的斜率也是1x0，所以曲線y=lnx+1在點(diǎn)A（x0，lnx0+1）處的切線也是曲線y=ex的切線.        題3;（2013年新課標(biāo)全國(guó)卷理科第21（2）題的等價(jià)問題）求證：ex>ln（x+2）.       

12、 證明;用導(dǎo)數(shù)易證得exx+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）， x+1ln（x+2）（當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)），進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.        疑問;雖說exx+1是常用不等式，但我們?nèi)匀粫?huì)產(chǎn)生疑問：為什么想到用x+1來作ex與ln（x+2）的過渡呢？有一般規(guī)律嗎？事實(shí)上，這里的一般規(guī)律還是“直線y=x+1是向下凸的曲線y=ex與向上凸的曲線y=ln（x+2）的公切線”（如圖2所示）.        還可求出曲線y=ex與

13、y=ln（x+2）共有兩條公切線，另一條是直線y=x+2e.從而還可給出另一種證法：先用導(dǎo)數(shù)證明exx+2e（當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)）， x+2eln（x+2）（當(dāng)且僅當(dāng)x=e-2時(shí)取等號(hào)）.        題4;求證：ex>lnx+2.        證明;可求得曲線y=ex與y=lnx+2共有兩條公切線y=x+1與y=ex.        從而可

14、給出其兩種證法：        （1）用導(dǎo)數(shù)易證得exx+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）， x+1lnx+2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)），進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.        （2）用導(dǎo)數(shù)易證得exex（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）， exlnx+2（當(dāng)且僅當(dāng)x=1e時(shí)取等號(hào)），進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.        對(duì)于兩個(gè)常用不等式exx+1，lnxx-1，筆者發(fā)

15、現(xiàn)y=ex與y=lnx互為反函數(shù)，y=x+1與y=x-1也互為反函數(shù);題2中的不等式ex>ln（x+2）與題3中的不等式lnx        定理11;已知f（x），g（x）都是單調(diào)函數(shù)，它們的反函數(shù)分別是f-1（x），g-1（x）.        （1）若f（x）是增函數(shù)，f（s）g（s）恒成立，則f-1（t）g-1（t）恒成立;        （2

16、）若f（x）是減函數(shù)，f（s）g（s）恒成立，則f-1（t）g-1（t）恒成立;        （3）若f（x）是增函數(shù)，f（s）g（s）恒成立，則f-1（t）g-1（t）恒成立;        （4）若f（x）是減函數(shù)，f（s）g（s）恒成立，則f-1（t）g-1（t）恒成立.        2;第21題與另兩道高考題如出一轍  

17、60;     題5;（2019年全國(guó)卷理科第21題）已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足直線AM與BM的斜率之積為-12.記M的軌跡為曲線C.        （1）求C的方程，并說明C是什么曲線;        （2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PEx軸，垂足為點(diǎn)E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.    &#

18、160;   （i）證明：PQG是直角三角形;        （ii）求PQG面積的最大值.        答案;（1）曲線C的方程是x24+y22=1（y0），.（2） （i）略;（ii）169.        題6;（2012年湖北卷理科第21題）設(shè)點(diǎn)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線，點(diǎn)D是直

19、線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足DM=mDA（m>0，且m1）.當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.        （1）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo);        （2）過原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H.是否存在m，使得對(duì)任意的k>0，都有PQPH？若存在，求m的值;若不存在，請(qǐng)說明理由. 

20、;       答案;（1）x2+y2m2=1（m>0，且m1），;        （2）存在m滿足題設(shè)，且m=2.        題7;（2011年江蘇卷第18題）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M，N分別是橢圓x24+y22=1的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)

21、直線PA的斜率為k.        （1）當(dāng)直線PA平分線段MN時(shí)，求k的值;        （2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d;        （3）對(duì)任意k>0，求證：PAPB.        該題前兩問比較簡(jiǎn)單，難在最后一問.筆者對(duì)最后一問作深入研究后，得到了

22、中心二次曲線的美麗性質(zhì).        由下面的定理3中的相關(guān)結(jié)論可知，這三道高考題如出一轍.        定理2;若過曲線：x2+y2=1（0）的中心（即坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線交于兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在曲線上，則當(dāng)直線PA，PB的斜率均存在時(shí)，它們的斜率之積為-.        證明;可設(shè)A（x0，y0），B（-x0，-y0），P（x，y），得x20 ;+ y20

23、 ;= 1，x2 + y2 = 1.        所以kPA kPB ;= y-y0 x-x0 ·y + y0 x + x0 ;= y2-y20 x2-x20 ;= x20 -x2x2-x20 ;= -.        注;定理2是“圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角”的推廣.        定理3;過曲線：x2+y2=1（0）的中心（即坐標(biāo)原點(diǎn)O）的直

24、線交于兩點(diǎn)A，B（這兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上）.        （1）若作AHx軸于點(diǎn)H，直線BH交于另一點(diǎn)C，則直線AB，AC，BC的斜率均存在，且它們的積為kCAkCB=-，kCB=12kAB，kABkAC=-2，點(diǎn)C的坐標(biāo)是x0 （x20 ;+ 3）3x20 ;+ 1，y30 3x20 ;+ 1;        （2）若作AHx軸于點(diǎn)H，直線BH交于另一點(diǎn)C，則直線AB，AC，BC的斜率均存在，且它們的積為kCAkCB=-，kCB=2k

25、AB，kABkAC=-2，點(diǎn)C的坐標(biāo)是x30 1 + 3y20 ，y0 （y20 ;+ 3）1 + 3y20 .        證明;（1）由兩點(diǎn)A，B均不在坐標(biāo)軸上，可得kAB存在.若kAC不存在，則三點(diǎn)A，C，H共線，這不可能！所以kAC存在.        再由定理2，可得kCAkCB=-.        如圖4所示，可設(shè)A（x0，y0），B（-x0，

26、-y0），H（x0，0），得點(diǎn)O，H不重合，所以x00.所以kBC存在且kBC=kBH=y02x0.所以kAB=y0x0.所以kCB=12kAB.        進(jìn)而可得kABkAC=2kCBkCA=-2.        所以直線BH方程為y=y02x0（x-x0），把它代入曲線的方程x2+y2=1，可得        （3x20 ;+ 1）x2-2x0 y

27、20 x-x20 （x20 ;+ 3） = 0.        所以這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根分別是-x0，xC，由韋達(dá)定理可得        -x0 xC ;= -x20 （x20 ;+ 3）3x20 ;+ 1，xC ;= x0 （x20 ;+ 3）3x20 ;+ 1.        再由點(diǎn)C在直線BH：y=y02x0（x-x0）上，可得yC ;=

28、y30 3x20 ;+ 1.        所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是x0 （x20 ;+ 3）3x20 ;+ 1，y30 3x20 ;+ 1.        （2）同（1）可證.        在定理3（1）的結(jié)論“kABkAC=-2”中令=14，=12，可得題3（3）及題1（2）（i）的結(jié)論成立.     

29、0;  在定理3（2）的結(jié)論“kABkAC=-2”中令=1，=1m2，可得在題6（2）中有kPQkPH=-m22，所以PQPH-m22=-1m=2（因?yàn)閙>0，且m1），進(jìn)而可得所求答案是“存在m滿足題設(shè)，且m=2”.        下面再給出題5（2）（ii）的一種解法：        可設(shè)直線PQ：y=kx（k>0），進(jìn)而可求得點(diǎn)P22k2+1，2k2k2+1，Q-22k2+1，-2k2k2+1.