導(dǎo)數(shù)平均變化率與瞬時(shí)變化率

1、【同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)平均變化率與瞬時(shí)變化率w二. 本周教學(xué)目標(biāo)：1、了解導(dǎo)數(shù)概念的廣闊背景，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵2、通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義三. 本周知識(shí)要點(diǎn)：（一）平均變化率1、情境：觀察某市某天的氣溫變化圖2、一般地,函數(shù)f（x）在區(qū)間x1，x2上的平均變化率平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化”（二）瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)1、曲線的切線如圖，設(shè)曲線c是函數(shù)的圖象，點(diǎn)是曲線 c 上一點(diǎn)作割線PQ，當(dāng)點(diǎn)Q 沿著曲線c無限地趨近于點(diǎn)P，割線PQ無限地趨近于某一極限位置PT我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線c在點(diǎn)P 處的切線割線PQ的

2、斜率為，即當(dāng)時(shí)，無限趨近于點(diǎn)P的斜率2、瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度1）瞬時(shí)速度定義：運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過某一時(shí)刻（某一位置）的速度，叫做瞬時(shí)速度.2）確定物體在某一點(diǎn)A處的瞬時(shí)速度的方法：要確定物體在某一點(diǎn)A處的瞬時(shí)速度，從A點(diǎn)起取一小段位移AA1，求出物體在這段位移上的平均速度，這個(gè)平均速度可以近似地表示物體經(jīng)過A點(diǎn)的瞬時(shí)速度.當(dāng)位移足夠小時(shí)，物體在這段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可認(rèn)為是勻速的，所得的平均速度就等于物體經(jīng)過A點(diǎn)的瞬時(shí)速度我們現(xiàn)在已經(jīng)了解了一些關(guān)于瞬時(shí)速度的知識(shí)，現(xiàn)在已經(jīng)知道物體做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用函數(shù)表示為ss（t），也叫做物體的運(yùn)動(dòng)方程或位移公式，現(xiàn)在有兩個(gè)時(shí)刻t0，t0+t，現(xiàn)在問從t0到t

3、0+t這段時(shí)間內(nèi)，物體的位移、平均速度各是：位移為ss（t0+t）s（t0）（t稱時(shí)間增量）平均速度根據(jù)對(duì)瞬時(shí)速度的直觀描述，當(dāng)位移足夠小，現(xiàn)在位移由時(shí)間t來表示，也就是說時(shí)間足夠短時(shí)，平均速度就等于瞬時(shí)速度.現(xiàn)在是從t0到t0+t，這段時(shí)間是t. 時(shí)間t足夠短，就是t無限趨近于0當(dāng)t0時(shí)，位移的平均變化率無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么稱這個(gè)常數(shù)為物體在t t0的瞬時(shí)速度同樣，計(jì)算運(yùn)動(dòng)物體速度的平均變化率，當(dāng)t0時(shí)，平均速度無限趨近于一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)常數(shù)為在t t0時(shí)的瞬時(shí)加速度3、導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在（a,b）上有定義，若無限趨近于0時(shí)，比值 無限趨近于一個(gè)常數(shù)A，則稱f（x）在x處可導(dǎo)，并稱該常數(shù)A為

4、函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作幾何意義是曲線上點(diǎn)（）處的切線的斜率導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，也可記作【典型例題】例1、水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中水的體積（單位：），計(jì)算第一個(gè)10s內(nèi)V的平均變化率解：在區(qū)間0，10上，體積V的平均變化率為 即第一個(gè)10s內(nèi)容器甲中水的體積的平均變化率為例2、已知函數(shù)，分別計(jì)算在區(qū)間3，1，0，5上函數(shù)及的平均變化率解：函數(shù)在3，1上的平均變化率為在3,1上的平均變化率為函數(shù)在0，5上的平均變化率為在0，5上的平均

5、變化率為例3、已知函數(shù)，分別計(jì)算函數(shù)在區(qū)間1，3，1，2，1，1.1，1，1.001上的平均變化率解：函數(shù)在區(qū)間1，3上的平均變化率為函數(shù)在1，2上的平均變化率為函數(shù)在1，1.1上的平均變化率為函數(shù)在1，1.001上的平均變化率為例4、物體自由落體的運(yùn)動(dòng)方程ss（t）gt2，其中位移單位m，時(shí)間單位s，g9.8 m/s2. 求t3這一時(shí)段的速度.解：取一小段時(shí)間3，3+t，位置改變量sg（3+t）2g32（6+t）t，平均速度g（6+t）當(dāng)t無限趨于0時(shí)，無限趨于3g29.4 m/s例5、已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s2t2+3做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：cm，時(shí)間單位：s），（1）當(dāng)t2，t0.01時(shí)，求.（

6、2）當(dāng)t2，t0.001時(shí)，求.（3）求質(zhì)點(diǎn)M在t2時(shí)的瞬時(shí)速度.分析：s即位移的改變量，t即時(shí)間的改變量，即平均速度，當(dāng)t越小，求出的越接近某時(shí)刻的速度.解：4t+2t（1）當(dāng)t2，t0.01時(shí)，42+20.018.02 cm/s（2）當(dāng)t2，t0.001時(shí)，42+20.0018.002 cm/s（3） t0， （4t+2t）4t428 cm/s 例6、曲線的方程為yx2+1，那么求此曲線在點(diǎn)P（1，2）處的切線的斜率，以及切線的方程解：設(shè)Q（1+，2+），則割線PQ的斜率為：斜率為2切線的斜率為2切線的方程為y22（x1），即y2x【模擬試題】1、若函數(shù)f（x）2x2+1，圖象上P（1,3

7、）及鄰近點(diǎn)Q（1+x,3+y）， 則（ ）A. 4 B. 4x C. 4+2x D. 2x2、一直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間到時(shí)，物體的位移為，那么時(shí)，為（ ）A. 從時(shí)間到時(shí)，物體的平均速度； B. 在時(shí)刻時(shí)該物體的瞬時(shí)速度； C. 當(dāng)時(shí)間為時(shí)物體的速度； D. 從時(shí)間到時(shí)物體的平均速度3、已知曲線y2x2上一點(diǎn)A（1，2），求（1）點(diǎn)A處的切線的斜率.（2）點(diǎn)A處的切線方程.4、求曲線yx2+1在點(diǎn)P（2，5）處的切線方程5、求y2x2+4x在點(diǎn)x3處的導(dǎo)數(shù)6、一球沿一斜面自由滾下，其運(yùn)動(dòng)方程是ss（t）t2（位移單位：m，時(shí)間單位：s），求小球在t5時(shí)的瞬時(shí)速度7、質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s2t2+3做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：cm，時(shí)間單位：s），求質(zhì)點(diǎn)M在t2時(shí)的瞬時(shí)速度【試題答案】1、B 2、B3、解：（1）時(shí)，k點(diǎn)A處的切線的斜率為4.（2）點(diǎn)A處的切線方程是y24（x1）即y4x24、解：時(shí)，k切線方程是y54（x+2），即y4x3.5、解：y2（3+x）2+4（3+x）（232+43）2（x）2+16x，2x+16時(shí)，y|x3166、解：時(shí)，瞬時(shí)速度v（10+t）10 m/s.瞬時(shí)速度v2t2510 m/s.7、解：時(shí)，瞬時(shí)速度v（8+2t）8cm/s【勵(lì)志故事