實數(shù)的概念和運算基礎(chǔ)知識講解

1、實數(shù)的概念和運算（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解無理數(shù)和實數(shù)的意義；2. 了解有理數(shù)的概念、運算在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用.【要點梳理】要點一、有理數(shù)與無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).要點詮釋：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式. （2）常見的無理數(shù)有三種形式：含類.看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111.帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.要點二、實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類 2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一

2、個點與之對應(yīng).要點三、實數(shù)大小的比較正實數(shù)大于0，負(fù)實數(shù)小于0.兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的數(shù)較小.從數(shù)軸上看，右邊的點所表示的數(shù)總比左邊的點所表示的數(shù)大.要點四、實數(shù)的運算有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).當(dāng)數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.在進行實數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)等同樣適用.要點五、近似數(shù)及有效數(shù)字1.近似數(shù)：完全符合實際地表示一個量多少的數(shù)叫做準(zhǔn)確數(shù)；與準(zhǔn)確數(shù)達(dá)到一定接近程度的數(shù)叫做近似數(shù).2.精確度：近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接

3、近程度即近似程度.對近似程度的要求叫做精確度. 要點詮釋：精確度有兩種形式：精確到哪一位保留幾個有效數(shù)字3.有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不為零的數(shù)字起，往右到末位數(shù)字為止的所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字，如0.208的有效數(shù)字有三個：2，0，8【典型例題】類型一、實數(shù)概念1、指出下列各數(shù)中的有理數(shù)和無理數(shù)： 【思路點撥】對實數(shù)進行分類時，應(yīng)先對某些數(shù)進行計算或化簡，然后根據(jù)它的最后結(jié)果進行分類，不能僅看到根號表示的數(shù)就認(rèn)為是無理數(shù).是無理數(shù)，化簡后含的代數(shù)式也是無理數(shù).【答案與解析】有理數(shù)有無理數(shù)有【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).常見的無理數(shù)有三種形

4、式：含類.看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.1010010001.帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如，. 舉一反三：【變式】（2015春聊城校級月考）在下列語句中：無理數(shù)的相反數(shù)是無理數(shù)；一個數(shù)的絕對值一定是非負(fù)數(shù)；有理數(shù)比無理數(shù)??；無限小數(shù)不一定是無理數(shù)其中正確的是（）ABCD【答案】C；解：因為實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù) 不可能式有理數(shù)，故本選項正確；一個數(shù)的絕對值一定0，故本選項正確；數(shù)的大小，和它是有理數(shù)還是無理數(shù)無關(guān)，故本選項是錯誤的；無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故本選項正確類型二、實數(shù)大小的比較2、比較和0.5的大小【答案與解析】解：作商，得因為，即，所以【總結(jié)升華】

5、根據(jù)若，均為正數(shù)，則由“，”分別得到結(jié)論“，”從而比較兩個實數(shù)的大小比較大小的方法有作差法和作商法等，根據(jù)具體情況選用適當(dāng)?shù)姆椒?舉一反三：【變式】比較大小 【答案】； ； ； ； ； ； .3、（2015棗莊）實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則下列式子中正確的是（）AacbcB|ab|=abCabcDacbc【答案】D；【解析】解：由圖可知，ab0c，A、acbc，故A選項錯誤；B、ab，ab0，|ab|=ba，故B選項錯誤；C、ab0，ab，故C選項錯誤；D、ab，c0，acbc，故D選項正確故選：D【總結(jié)升華】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，熟知數(shù)軸上各點與實數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的

6、關(guān)鍵類型三、實數(shù)的運算4、化簡： (1) (2) (3)【答案與解析】解： .【總結(jié)升華】有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù).有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)等同樣適用.5、若，則_【思路點撥】由有限個非負(fù)數(shù)之和為零，則每個數(shù)都應(yīng)為零可得到方程中，b，c的值.【答案】3；【解析】解：由非負(fù)數(shù)性質(zhì)可知：，即， 【總結(jié)升華】初中階段所學(xué)的非負(fù)數(shù)有|，非負(fù)數(shù)的和為0，只能每個非負(fù)數(shù)分別為0 .舉一反三：【變式】已知，求的值【答案】解：由已知得，解得 .類型四、近似數(shù)和有效數(shù)字6、下列各數(shù)有幾個有效數(shù)字，分別是什么？（1） ；（2）萬；（3）； （4）【答案與解析】解：由有效數(shù)字的定義可得：（1）有4個有效數(shù)字，分別為：1，0，2，0；（2）萬有3個有效數(shù)字，分