圓的切點(diǎn)弦方程的九種求法

1、圓的切點(diǎn)弦方程的解法探究在理解概念熟記公式的基礎(chǔ)上，如何正確地多角度觀(guān)察、分析問(wèn)題，再運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵所在。本文僅通過(guò)一個(gè)例題，圓的部分的基本題型之一，分別從不同角度進(jìn)行觀(guān)察，用不同的知識(shí)點(diǎn)和九種不同的解法，以達(dá)到介紹如何觀(guān)察、分析、解決關(guān)于圓的切點(diǎn)弦的問(wèn)題。一、預(yù)備知識(shí)：1、在標(biāo)準(zhǔn)方程下過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程為： ；在一般方程 （） 下過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程為： 。2、兩相交圓 （）與 （） 的公共弦所在的直線(xiàn)方程為： 。3、過(guò)圓 （）外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，其切線(xiàn)長(zhǎng)公式為：。4、過(guò)圓 （）外一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)弦AB所在直線(xiàn)的方程為：（在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程下的形式）； （在圓的一般方程下

2、的形式）。二、題目 已知圓外一點(diǎn)P（-4，-1），過(guò)點(diǎn)P作圓的切線(xiàn)PA、PB，求過(guò)切點(diǎn)A、B的直線(xiàn)方程。三、解法解法一：用判別式法求切線(xiàn)的斜率如圖示1，設(shè)要求的切線(xiàn)的斜率為（當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)），那么過(guò)點(diǎn)P（-4，-1）的切線(xiàn)方程為： 即 由 消去并整理得 令 解得 或?qū)⒒蚍謩e代入解得 、從而可得 A(,)、B(1,-1)，再根據(jù)兩點(diǎn)式方程得直線(xiàn)AB的方程為：。解法二：用圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑求切線(xiàn)的斜率如圖示1，設(shè)要求的切線(xiàn)的斜率為（當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)），那么過(guò)點(diǎn)P（-4，-1）的切線(xiàn)方程為： 即 由圓心C(1,2)到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑3，得 解得 或所以切線(xiàn)PA、PB的方程分別為

3、：和從而可得切點(diǎn) A(,)、B(1,-1)，再根據(jù)兩點(diǎn)式方程得直線(xiàn)AB的方程為：。解法三：用夾角公式求切線(xiàn)的斜率如圖示1，設(shè)要求的切線(xiàn)的斜率為，根據(jù)已知條件可得|PC|= ，在中，|PA|=5，由夾角公式，得 解得 或所以切線(xiàn)PA、PB的方程分別為：和從而可得切點(diǎn) A(,)、B(1,-1)，再根據(jù)兩點(diǎn)式方程得直線(xiàn)AB的方程為：。解法四：用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式求切點(diǎn)弦與連心線(xiàn)的交點(diǎn)如圖示1，根據(jù)已知條件可得|PC|= ，在中，|PA|=5，AHPC，從而可得 由定比分點(diǎn)公式，得 H(,)又因?yàn)?再根據(jù)點(diǎn)斜式方程得直線(xiàn)AB的方程為：。解法五：將切點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩相交圓的公共弦的問(wèn)題之一如圖示2，因?yàn)閨PA

4、|=|PB|，所以直線(xiàn)AB就是經(jīng)過(guò)以P為圓心|PA|為半徑的圓C與圓的交點(diǎn)的直線(xiàn)，由切線(xiàn)長(zhǎng)公式得|PA|=所以圓C的方程為 根據(jù)兩圓的公共弦所在的直線(xiàn)方程，得 即 直線(xiàn)AB的方程為：。解法六：將切點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩相交圓的公共弦的問(wèn)題之二如圖示3，因?yàn)镻ACA，PBCB，所以P、A、C、B四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓的直徑式方程，以P（-4，-1）、C（1，2）為直徑端點(diǎn)的圓的方程為即 根據(jù)兩圓的公共弦所在的直線(xiàn)方程，得 即 直線(xiàn)AB的方程為：。解法七：運(yùn)用圓的切線(xiàn)公式及直線(xiàn)方程的意義設(shè)切點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、，根據(jù)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程，得切線(xiàn)PA、PB的方程分別為 和因?yàn)镻（-4，-1）是以上兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入并整理，得 由式知，直線(xiàn) 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A、B，所以，直線(xiàn)AB的方程為：。解法八：直接運(yùn)用圓的切點(diǎn)弦方程因?yàn)镻（-4，-1）是圓外一點(diǎn)，根據(jù)切點(diǎn)弦所在直線(xiàn)的方程 得整理得，直線(xiàn)AB的方程為：。解法九：運(yùn)用參數(shù)方程的有關(guān)知識(shí)如圖4，將圓的普通方程 化為參數(shù)方程： （其中為參數(shù)）設(shè)切點(diǎn)A的