三重積分的幾種計算方法

1、.d)(Xf當(dāng) R3，有 X=(x, y, z) , d = dv則vzyxfd),(三重積分1. 直角坐標(biāo)系下三重積分的計算直角坐標(biāo)系下三重積分的計算直角坐標(biāo)系下，記體積元素dv=dxdydzdzdydxyxz0則zyxzyxfvzyxfddd),(d),(三重積分.zyxzyxfddd),(yxzzyxfDyxzyxzdd d),(),(),(21 zzyxfyxyxzyxzxyxybad),(dd),(),()()(2121xyz0z=z2(x, y)z=z1(x, y)D(1) 化成一個定積分和一個二重積分化成一個定積分和一個二重積分zzyxfyxyxzyxzDd ),(dd),(),

2、(21設(shè) D 為 在 xy 平面上投影區(qū)域.y=y1(x)bay=y2(x).zxyx+y+z=10例例1 1. 計算,dddzyxx其中是由平面x+y+z=1與三個坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.解：解： D: 0 y 1x, 0 x 1 zyxxdddyxxzxyx101010ddd24111Dx+y=1 xyyxDzxyx10ddd.例例2 2. 計算,ddd)cos(zyxzxy其中 是由拋物柱面xy 及平面y=0, z=0, 所圍閉區(qū)域2 yx,ddd)cos(zyxzxyxDzzxyyx20d)cos(dd解：解： D: 0 y , 0 x x2xxzzxyyx20020d)cos(dd2116

3、2yxz2xz0 xy D02yx.y=y1(x, z)z0y=y2(x, z)Dxzyzyxzyxfddd),(),(),(21d),(ddzxyzxyDyzyxfzxxzx.x=x2(y, z)z0 x=x1(y, z)Dyzyxzyxzyxfddd),(),(),(21d),(ddzyxzyxDxzyxfzyyz.例例3 3. 將zyxzyxfddd),(化為三次定積分，其中 是由 z= x2+y2 和 z=1所圍的閉區(qū)域.解：解：先對 z 積分，將 向 xy 平面投影.z= x2+y2 x2+y2=1 D: x2+y21z=1z=1xyz01Dxyz=1z= x2+y2 .zyxzyx

4、fddd),(111112222d),(ddyxxxzzyxfyxxyz01Dxyz=1z= x2+y2 .解解2 2：先對 y 積分，將 向 xz 平面投影：z= x2+y2 Dxy: x2 z 1,z=1 1 x1z= x2+y2 2xzy222d),(ddddd),(111xzxzxyzyxfzxzyxzyxfxyz0Dxz112xzy2xzy.(2) 化為一個二重積分和一個定積分化為一個二重積分和一個定積分zyxzyxfddd),(zyxzyxfzDzzddd),()(21)(dd),(d21zDzzyxzyxfz :(x, y)D(z), z1zz20 xzyz2zz2D(z).例例

5、4.4. 計算,ddyxz其中 是由 z=x2+y2 和 z=1所圍成的閉區(qū)域.xyz01D(z)1解解：D(z): x2+y2zz0, 110ddddzzzyxz)(ddzDyx10dzzz1033z3zz2)(.例例5 5. 計算解：解： D(x): 0 y 1x, 0 z 1xyzxy0111x : 0 x 1 10ddddxxzyxx102)d(121xxx241)(ddxDzy2)1 (21x,dddzyxx其中 是由平面 x+y+z=1與三個坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.D(x)z=1xy xy01x1x.2. 利用柱面坐標(biāo)計算三重積分利用柱面坐標(biāo)計算三重積分M (r, , z)x=rcosy

6、=rsinz = z(0r+, 02, z+)rzM0 xzyyx.柱面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)面分別為柱面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)面分別為 r=常數(shù)常數(shù) =常數(shù)常數(shù)z=常數(shù)常數(shù)xyzo.),(),(zrzyxrxryrzxyzzxzyzz= r 1000cossin0sincos rr故 dxdydz=rdrddzzrrzrrfzyxzyxfddd),sin,cos(ddd),(*.例例1.1. 計算,ddd22zyxyxz其中 由22yxz與 z=1 所圍閉區(qū)域.解解： D: x2+y2122yxzz =122yxz z =r122 yxz =0 xyz0Dz=rz=1.zrzrzyxyxzdddddd*22

7、2110220dddrzzrrrrrd2)1 (2102215212dddrDzzrrxyz0z=rz=11D.例例2 2. 計算,dddzyxz =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解：解：D: x2+y21221yxz21rzzrzrzyxzdddddd*2101020dddrzzrrrrrd2)1 (21024210ddrDzzrdrxyz0121rz.例例3.3. 再解例1,ddd22zyxyxz其中是 由22yxz與 z=1 所圍閉區(qū)域.解解：用 = 截 得 D()而 0 2 故原積分=*2dddzrzr)(220dddDzrzrxyz.110220drzdzrr

8、dxz)(220dddDrzry152D( )z1r0z= r1.例例4 4. 再解例2,dddzyxz其中 =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解解：用 = 截 得 D()而 0 2 故原積分 =*dddzrzr)(20dddDzrzrxyz0.2101020dddrzzrr.4xyz021rz011rz)(20dddDrzr.3. 利用球面坐標(biāo)計算三重積分利用球面坐標(biāo)計算三重積分M (r, ,)x=OPcos z= r cos(0r+, 0, 02)y= OPsin M0zxyrPxyz= r sin cos= rsin sin.球面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)面：球面坐標(biāo)的三組坐標(biāo)

9、面： r =常數(shù) =常數(shù) =常數(shù)dxdydz= r2sin drddsin),(),(2rrzyxdddsin)cos,sinsin,cossin(ddd),(*2rrrrrfzyxzyxfzxy.例例5 5. 計算,dddzyxz其中 =(x, y, z) | x2+y2+z21, z0. 解解：x2+y2+z2=1 r=1而 0 2 故用 = 截 得 D()原積分*2dddsincosrrr230()dcos sin d dDrrxyz0.xyz0z)(320ddsincosdDrr1032020ddsincosdrr10420242sin2r4011r=1.例例6.6.,ddd)(222zyxzyx22yxz是由其中和 x2+y2+z2=a2 所圍成閉區(qū)域.解解： x2+y2+z2=a2 r=a22yxz.4原積分*22dddsinrrr)(420ddsindDrrzyxa.zyxa)(420ddsindDrrarr044020ddsind)22(515ar=a4z.例例7 7. 計算,dd)d,(zyxz