學(xué)習(xí)微積分在數(shù)學(xué)文化中的價(jià)值

1、第一章 緒論1.1 課題背景和意義如今，數(shù)學(xué)已成為大學(xué)生的必修課之一，而微積分則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要的基礎(chǔ)課程，貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。隨著我國(guó)教育思想的根本轉(zhuǎn)變，如何貫徹落實(shí)素質(zhì)教育，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想在實(shí)際運(yùn)用中的作用則越來越受到社會(huì)各界的關(guān)注，對(duì)于如何通過對(duì)微積分的學(xué)習(xí)來提高我們對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)也成為教育部門積極探討的話題?？梢?，研究微積分在數(shù)學(xué)文化中的價(jià)值有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。所謂微積分，故名思義，它包括微分學(xué)和積分學(xué)。但在數(shù)學(xué)發(fā)展的長(zhǎng)河中，它們是相互獨(dú)立地發(fā)展起來的，先有積分再有微分，最后才有微積分。同時(shí)我們也應(yīng)該看到，微積分的創(chuàng)立遠(yuǎn)非幾個(gè)人的工作，它經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)而曲折的過程。早期的

2、數(shù)學(xué)家們勇于開拓并征服了眾多的科學(xué)領(lǐng)域，把微積分應(yīng)用到天文學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，為微積分的發(fā)展提供了廣闊的空間，并在此過程中形成了數(shù)學(xué)的一些重要分支，如微分方程、無窮級(jí)數(shù)、微分幾何、變分法、復(fù)變函數(shù)等等，大大擴(kuò)展了數(shù)學(xué)研究的范圍。所以，微積分的建立與發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)歷史發(fā)展有著重要的意義。數(shù)學(xué)的發(fā)展有其悠久的歷史，尤其是微積分的發(fā)展，不但是一部文明史，而且也是一部文化發(fā)展的史書。無論是公元600年以前的早期數(shù)學(xué)，還是公元前600年到300年之間的古希臘數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)都作為一門有組織的、獨(dú)立的和科學(xué)的學(xué)課而存在。但此時(shí)的數(shù)學(xué)，往往是為數(shù)不多的數(shù)學(xué)家們研究的對(duì)象，普及率很低，人們普遍使用的數(shù)學(xué)僅僅

3、停留在簡(jiǎn)單的加減乘除階段。經(jīng)過數(shù)百年的發(fā)展與演變，如今的數(shù)學(xué)已然已經(jīng)成為一門大眾化的課程，我們從小學(xué)開始就學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，從簡(jiǎn)單的加減乘除開始到復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)，可以說數(shù)學(xué)貫穿了我們整個(gè)學(xué)習(xí)生涯，對(duì)他的研究已經(jīng)不在是少數(shù)幾個(gè)數(shù)學(xué)家的專利，而 是我們普及義務(wù)教育的基礎(chǔ)的和重要的課程。微積分作為整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的重要主線，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著舉足輕重的作用。17世紀(jì)后半葉，英國(guó)的牛頓和德國(guó)的萊布尼茨以其卓越的天才首先明確地認(rèn)識(shí)到求積問題和作切線問題之間的互逆關(guān)系，建立了微積分基本定理，并且系統(tǒng)地總結(jié)出了一套強(qiáng)有力的算法，也正是因?yàn)檫@幾點(diǎn)，使他們倆成為微積分的創(chuàng)立人。微積分建立以后，分析學(xué)飛快地向前發(fā)展，18

4、世紀(jì)達(dá)到了空前燦爛的程度，其內(nèi)容的豐富，使人來不及檢查和鞏固這一領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)，因而遭受到了種種非難。到了19世紀(jì)初年，許多迫切的問題已基本上得到解決，數(shù)學(xué)家便開始了基礎(chǔ)的重建與嚴(yán)格化。微積分這部無窮交響樂的演奏過程，引人注目的變化則是20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們將函數(shù)的積分概念作了推廣，提出了包羅廣泛的積分理論，既實(shí)變函數(shù)論，而現(xiàn)在國(guó)內(nèi)已有不少學(xué)者對(duì)此作出了比較深入的研究。而今，我們?cè)诳偨Y(jié)前人已有的研究的基礎(chǔ)上，更加應(yīng)該注重把它的思想方法運(yùn)用到實(shí)際中來，解決實(shí)際問題，從而使微積分的價(jià)值得以體現(xiàn)。例如：我們?cè)诮鉀Q一動(dòng)態(tài)問題時(shí)，對(duì)于學(xué)過微積分并掌握得很好的同學(xué)來說，他們可以運(yùn)用微積分的原理建立一個(gè)模型，

5、用動(dòng)態(tài)的方法輕松得解決。而對(duì)那些沒有學(xué)過微積分或者學(xué)的很少的人來說，他們對(duì)于這個(gè)問題則只能用靜態(tài)的方法來處理，顯然兩者運(yùn)算結(jié)果的差距會(huì)很大，用簡(jiǎn)單的靜態(tài)的方法比運(yùn)用微積分的原理的方法結(jié)果誤差會(huì)更大些，更不精確些。因此，學(xué)好微積分對(duì)我們解決實(shí)際問題至關(guān)重要，尤其是要很好的掌握它的思想方法，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。1.2 國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)綜述 我國(guó)于2001年頒布了義務(wù)教育階段國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，在其基本理念中明確提出：“數(shù)學(xué)是人類生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行運(yùn)算、推理和證明，數(shù)學(xué)模型可以有效的描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，數(shù)學(xué)為其他學(xué)科提供了語言、思維和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)

6、，數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨(dú)特的作用?！?現(xiàn)在國(guó)內(nèi)外已有不少學(xué)者在這方面做出了較深入的研究，比如：李渺在文獻(xiàn)中著重闡述了微積分在數(shù)學(xué)文化方面的各種價(jià)值。第一，微積分具有思維價(jià)值。如果把微積分的研究單純地看作一種技術(shù)，是談不上對(duì)學(xué)生的思維養(yǎng)成的。正如當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家苛朗曾指出的：“微積分，或數(shù)學(xué)分析，是人類思維的偉大成果之一?！保晕覀儜?yīng)著重分析微積分對(duì)人的思維方式的培養(yǎng)。例如在一種新產(chǎn)品的銷售模型上，廠家和商家總是采取各種措施，他們希望對(duì)產(chǎn)品的銷售速度與銷售數(shù)量做到心中有數(shù)，以便于組織安排。此時(shí)，如果我們運(yùn)用微積分的思維方式安排一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描繪產(chǎn)品推銷速度，

7、并由此分析出有用結(jié)果，以指導(dǎo)生產(chǎn)和銷售。這種運(yùn)用微積分的思維價(jià)值的批判的、理性的、開放的思維方式的養(yǎng)成有利于學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，開闊思路，從而能使學(xué)生形成良好的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識(shí)。第二，微積分具有美學(xué)價(jià)值。數(shù)學(xué)美一直是指引數(shù)學(xué)家前進(jìn)和奮斗不息的一盞明燈，而微積分的美，尤其具有數(shù)學(xué)美的特性。因?yàn)槲⒎e分中概念、定理、算法是一曲曲令人神往的歌曲，是一首首令人回味無窮的詩(shī)歌，在此基礎(chǔ)上構(gòu)成的微積分，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，同時(shí)也反映了數(shù)學(xué)本質(zhì)，它們都以科學(xué)、勻稱、明快的語言表達(dá)出來，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、和諧美、奇異美。其中微積分的簡(jiǎn)潔美首先表現(xiàn)在符號(hào)美。我們知道，符號(hào)可使人們擺脫一些約束，集中精力于主要環(huán)節(jié)，

8、增加了人們的思維能力，極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。如前所述，牛頓和萊布尼茲各自獨(dú)立地發(fā)展了微積分，由于兩個(gè)人研究的出發(fā)點(diǎn)不同，兩人使用的符號(hào)也不一致。盡管如此，這些符號(hào)卻被沿用至今?？梢钥吹剑⒎e分符號(hào)的產(chǎn)生與數(shù)學(xué)發(fā)展的背景有著密切的聯(lián)系，同一概念開始運(yùn)用不同的符號(hào)，人們?cè)谑褂眠^程中不斷對(duì)其進(jìn)行鑒別，以確定優(yōu)劣性，其中蘊(yùn)涵著一個(gè)審美過程。其次表現(xiàn)在統(tǒng)一美。如多元微積分中的三個(gè)公式：格林公式、高斯公式、斯托克司公式都是牛頓萊布尼茲公式的推廣，同時(shí)又可用高維空間的斯托克公式的推廣，給人一種清新的感覺。而統(tǒng)一美的另外表現(xiàn)形式是把微積分應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一，同時(shí)提高了中學(xué)數(shù)學(xué)的品位。對(duì)以上微積分的分析，使

9、人們認(rèn)識(shí)到，看待事物不能用簡(jiǎn)單的“二分法”，看待紛繁復(fù)雜的世界要抓住事物的本質(zhì)，從多方面、多角度去考察，讓人們以動(dòng)態(tài)的、辨證的、全面的、系統(tǒng)的觀點(diǎn)看待問題。年仁德在文獻(xiàn)中15中研究了微積分在數(shù)學(xué)文化中的價(jià)值。第一，微積分的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)人的創(chuàng)新精神。微積分是一門創(chuàng)新的科學(xué)，可以說創(chuàng)新是沒有止境的，而且每一步的創(chuàng)新都是前人的豐富和完善。正如H.漢克指出：“在大多數(shù)科學(xué)里，一代人推倒另一代人所修筑的東西，一個(gè)人所建立的另一個(gè)人要加以摧毀。只有數(shù)學(xué)，每一代人都能在舊建筑上增添一層樓?！睌?shù)學(xué)文化幾千年的發(fā)展實(shí)踐，已經(jīng)充分證明了這一點(diǎn)。第二，微積分的學(xué)習(xí)可以感受到數(shù)學(xué)文化的藝術(shù)魅力。把文學(xué)語言與數(shù)學(xué)語言相

10、結(jié)合，可以發(fā)現(xiàn)美學(xué)價(jià)值另具神韻。張敬書在文獻(xiàn)中著重指出微積分在數(shù)學(xué)文化中的重要價(jià)值。他認(rèn)為，首先，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)尤其是學(xué)習(xí)微積分，應(yīng)該把它看成是我們思維的工具。(a)數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?、高度抽象性、豐富的直覺和想象性，這就決定了數(shù)學(xué)是一種思維工具。(b)數(shù)學(xué)是人們分析問題和解決問題的思想工具，其研究方法是抽象的。人們總是通過科學(xué)抽象，建立模型，在數(shù)學(xué)模型上展開數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計(jì)算，形成對(duì)問題的認(rèn)識(shí)，把握現(xiàn)實(shí)力量。(c)數(shù)學(xué)賦予知識(shí)以邏輯的嚴(yán)密性和結(jié)論的可靠性，是使認(rèn)識(shí)從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的階段，并使理性認(rèn)識(shí)進(jìn)一步深化的重要手段。(d)數(shù)學(xué)是辨證的輔助工具和表現(xiàn)方式，即用數(shù)學(xué)符號(hào)語言、公式等表示各

11、種辨證的關(guān)系和轉(zhuǎn)化，是一個(gè)運(yùn)用數(shù)學(xué)進(jìn)行思維的過程。其次，數(shù)學(xué)是一種思想方法。數(shù)學(xué)是研究量的科學(xué)，在提煉量的規(guī)律性的基礎(chǔ)上形成各種量的推導(dǎo)和演算的方法，為解決問題提供數(shù)量分析和計(jì)算工具，提供推理工具和建立模型，具有一般方法論的性質(zhì)和特征。1.3 本文的研究?jī)?nèi)容第一部分：認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)微積分思想在解決實(shí)際問題中的必要性、重要性，在緒論中已有較詳細(xì)的闡述。第二部分：如何體現(xiàn)微積分在實(shí)際運(yùn)用中的重要價(jià)值，進(jìn)一步運(yùn)用例子加以說明。第二章 學(xué)習(xí)微積分在實(shí)際應(yīng)用中的價(jià)值2.1 學(xué)習(xí)微積分在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的價(jià)值眾所周知，當(dāng)今數(shù)學(xué)的應(yīng)用幾乎遍及所有的科技領(lǐng)域，它不僅為自然科學(xué)、工程技術(shù)以及社會(huì)科學(xué)提供了有力的工具，而且隨著

12、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和社會(huì)的發(fā)展，不斷產(chǎn)生新的高科技，成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)技術(shù)的關(guān)鍵部分。微積分作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理科學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)及其它高科技的普及和發(fā)展，它在經(jīng)濟(jì)及管理中的重要作用性日漸突出，并且越來越多的滲透到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。2.1.1 微積分中的極限理論在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用學(xué)過微積分的人肯定都知道在我們剛開始學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候就會(huì)首先學(xué)習(xí)極限的定義，即給定數(shù)列Xn.如果當(dāng)n無限增大時(shí)，Xn無限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)a，我們就說數(shù)列Xn當(dāng)n（讀作n趨向無窮大）時(shí)以a為極限，記為Xn =a 或 Xna.這樣一個(gè)基本的定義在我們的經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域卻有著廣泛的應(yīng)用。例如，貨幣理論中的連續(xù)復(fù)利

13、問題：設(shè)一筆貸款A(yù)0(本金)年利率為r，則k年后的本利和為Ak=Ao(l+r)k氣若一年分n期計(jì)息，年利率仍為r,每期利率為，一年后的本利和為A1=A0(1+)n而k年后的本利和為Ak=A0(1+)nk，讓n，則k年后的本利和為Ak=A0(1+ )nk=A0enk，即有連續(xù)復(fù)利公式:Ak=A0enk。2.1.2 微積分中的導(dǎo)數(shù)理論在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用例如：經(jīng)濟(jì)學(xué)的邊際成本C二定義為:增加一個(gè)單位產(chǎn)品引起總成本CT的變化。邊際收益定義為:附加銷售一個(gè)商品引起總收益RT的變化。總成本和總收益都是產(chǎn)量Q的函數(shù)。所以，邊際成本和邊際收益在數(shù)學(xué)上可以表達(dá)為各自總函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。也就是:若:Cr=Cr(Q),Rr=

14、Rr(Q),則Cm=,Rm=。邊際概念的實(shí)質(zhì)就是經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例2. 設(shè)某企業(yè)總成本函數(shù)Cr=0.001Q3-0.3Q2+20Q+500(元)，求:邊際成本函數(shù)和產(chǎn)量Q=30件時(shí)的邊際成本，并解釋后者的經(jīng)濟(jì)意義。解：邊際成本函數(shù)：Cm=0.003Q2-0.6Q+20Q=30單位時(shí)的邊際成本：Cm|Q=30=(0.003Q2-0.6Q+20)|Q=30=4.7(元/件)經(jīng)濟(jì)意義:表示生產(chǎn)第30件產(chǎn)品時(shí)所花費(fèi)的成本為4.7元。2.1.3 微積分中的極值理論在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 例5. 設(shè)某廠成本C關(guān)于產(chǎn)量Q的函數(shù)為:C(Q)=5Q+200(元)，收人函數(shù)為:R(Q)=325Q-Q2(元)。間每批生產(chǎn)多

15、少件產(chǎn)品才能使利潤(rùn)L(Q)最大?要解決此類經(jīng)濟(jì)中的極值問題，則必須用到微積分中的極值理論。解：L(Q)=R(Q)-C(Q)=320Q-Q2=-200L'(Q)=320-2Q令L'(Q)=0，得Q=160(件) L"( Q )=-2<0 , L(160 )=25400(元)為極大值，也就是最大值。即每批生產(chǎn)160件產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)最大。2.1.4 微積分中的積分理論在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用在應(yīng)用這個(gè)理論之前我們先來明確幾個(gè)概念即： 消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余:消費(fèi)者以高于均衡價(jià)格購(gòu)買的部分，叫消費(fèi)者剩余;生產(chǎn)者以低于均衡價(jià)格所供應(yīng)的部分，叫生產(chǎn)者剩余。 例1：設(shè)需求函數(shù)P=45-O

16、.5Q , PQ=32.5 ,QQ=25，求消費(fèi)者剩余CS 解: CS=-32.5·25 =156.25 例11.設(shè)供給函數(shù)P=(Q+3)2·P0=81,Q0=6，求生產(chǎn)者剩余PS 解:Ps=81·6-=252 例12. 已知凈投資率為I(t)=180t，原始成本(即t=0時(shí)的成本)為200，求資本K作為時(shí)間的函數(shù)K(t).解： K(t)=·180t+C=100t+CK(0)=200,C=200所以K(t)=100t+2002.1.5 微積分中的微分方程理論在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 例16某市工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值y隨時(shí)間t的變化率為:-0.002y+0.00203 ,假定

17、y(0)=0，求該市工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。解:由題意，有=-0.002y+0.00203對(duì)應(yīng)的齊次方程為:=-0.002y,分離變量得dy=-0.002dt，積分得lny=-0.002t+C1 y=ce-0.002t用常數(shù)變易法，令y=c(t)e-0.002t有=c'(t)e-0.002t-c(t)·0.002e-0.002t代人得。c'(t)=0.00203·e0.002t積分得c(t)= 0.002t方程的通解為y=+ce-0.002t=1.015+ce-0.002t y(0)=0,c=-1.015-0.002t 2.2 學(xué)習(xí)微積分在日常生活

18、中的價(jià)值一般人們一提起數(shù)學(xué)，都會(huì)用抽象、精確等等詞來形容，仿佛它是一座不可逾越的高山。然而，隨著社會(huì)的進(jìn)步，科技的發(fā)展，數(shù)學(xué)方法比任何一種科學(xué)方法的應(yīng)用范圍都更為廣泛，或者說，任何一門學(xué)科的發(fā)展都必須引進(jìn)和應(yīng)用數(shù)學(xué)方法?？梢哉f，目前只存在尚未運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的領(lǐng)域，而不存在不能運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的領(lǐng)域。許多相同形式的數(shù)學(xué)模型可用于不同的實(shí)際問題，并且具有重要的類比和借鑒意義。在人們的日常生活中，經(jīng)常接觸到的是具體的極限、連續(xù)與間斷問題。例如在購(gòu)買商品時(shí)，當(dāng)某種商品的價(jià)格不變時(shí)，購(gòu)買的商品數(shù)量X，就決定了應(yīng)該支付的貨幣Y，即Y=f(x)。如果某種商品的單價(jià)為P，則無論要購(gòu)買多少商品，對(duì)應(yīng)于某商品數(shù)量x的每

19、個(gè)變動(dòng)x，就會(huì)有相應(yīng)的支出額y的變動(dòng)y。這些在我們平時(shí)都習(xí)以為常的買賣過程中，其實(shí)就蘊(yùn)涵了很多的數(shù)學(xué)知識(shí)在里面。再如，公路運(yùn)輸中，當(dāng)運(yùn)距在10公里以內(nèi)時(shí)，運(yùn)價(jià)要高一些，10公里至100公里則要低一些，100公里以上的長(zhǎng)途運(yùn)輸運(yùn)價(jià)就更低一些。假設(shè)10公里以內(nèi)的運(yùn)價(jià)為5元/噸公里，10公里至100公里為3元/噸公里，100公里以上為2.5元/噸公里、并設(shè)運(yùn)輸工具的載重量都是1噸。則此時(shí)，作為一個(gè)公司的老板，就必須考慮如何分配貨物的運(yùn)輸，才能使得總收益減去總成本后的總利潤(rùn)最大。這些問題的解決，無不體現(xiàn)微積分在實(shí)際應(yīng)用中的價(jià)值。在經(jīng)濟(jì)日益發(fā)展的今天，微積分的地位也與口俱增，貸款、養(yǎng)老金、醫(yī)保等金融問題

20、越來越多地進(jìn)入普通人的生活。隨著住房的私有化，個(gè)人住房抵押貸款成了人們生活中的重要一項(xiàng)，所以，各種各樣的貸款方式鋪天蓋地，如何選擇一種既經(jīng)濟(jì)實(shí)惠又符合自己經(jīng)濟(jì)能力的貸款方式，成為想貸款買房的人首先應(yīng)該考慮的事情。例如：設(shè)貸款額為S0，月還款為m，貸款后第k個(gè)月時(shí)欠款余額為BK，則由第k個(gè)月到第K+1個(gè)月中，除月還款m外還有什么因素參與?無疑是月息，設(shè)月利率為r,則BK+1=(1+r)BK-m k=0,1,2 (1)即BK=(1+r)BK-1-m k=0,1,2 (2)由(1)式減去(2)式，得遞推公式：BK+1- BK=(1+r)( BK-BK-1) k=0,1,2 (3)令A(yù)K-1= BK-

21、 BK-1 k=0,1,2 (4)則(3)式變?yōu)?AK=(1+r) AK-1 k=0,1,2 (5)于是有AK=(1+r)k-1 A1 k=0,1,2 (6)由(4)式和(6)式可知：Bk-B0=A0+A1+A2+AK-1= A01+(1+r)+(1+r)k=( B1-B0)=(rB0-m) = B0(1+r)k+1- B0-(1+r)k+1-1 k=0,1,2 從而得到Bk=B0(1+r)k+1-(1+r)k+1-1 k=0,1,2 （7）設(shè)第n個(gè)月已還清貸款，則Bn=0,代入(7)式得m=rB0(1+r)k+1/(1+r)k+1-1 (8)因此，若某人掌握微積分的知識(shí)，如他貸款B0，月利率

22、為r,共貸款n個(gè)月，則每月需還貸款公式馬上可用(8)式來代。上式同樣也適用于購(gòu)車貸款等的按月還款，使用非常方便快捷，給我們的生活帶來了很大的幫助。 2.3 學(xué)習(xí)微積分對(duì)培養(yǎng)人的能力上的價(jià)值在微積分的學(xué)習(xí)中，我們主要是運(yùn)用“具體抽象具體”、“聯(lián)想變換聯(lián)想”、“觀察思考?xì)w納”、“概念升華應(yīng)用”等方法，經(jīng)過這樣長(zhǎng)時(shí)間的訓(xùn)練，可以提高學(xué)生的自學(xué)能力、運(yùn)算能力、推理能力和綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力，并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)為后續(xù)課程和工作中進(jìn)行必要數(shù)學(xué)模型的建立做好工作。2.3.1 自學(xué)能力的培養(yǎng)我們知道，微積分中最基本的概念就是極限的概念，要求一個(gè)極限或者證明一個(gè)極限問題時(shí)，有時(shí)候方法會(huì)很巧妙。例如

23、：(1+)n= e是重要極限之一。在我們要證明它成立時(shí)，可以令v=則(1+)n=e 再把v換成V(x),就抽象成公式：=e ,有了這一抽象公式，我們就知道許多“1”型極限問題皆可用此公式加以解決。這種問題的長(zhǎng)時(shí)間的訓(xùn)練，能使我們?cè)诮鉀Q問題時(shí)養(yǎng)成舉一反三的思維能力，有利于自學(xué)能力的提高。 推理能力的培養(yǎng)1.在求極限的過程中，我們往往會(huì)聯(lián)想到初等函數(shù)的連續(xù)性，通過簡(jiǎn)單的變量替換，再聯(lián)想到已知的簡(jiǎn)單的極限式不難計(jì)算出較復(fù)雜的極限式的值。例如： 當(dāng)f(u)為連續(xù)時(shí)， 則 2.在級(jí)數(shù)求和的論證和推導(dǎo)中，我們從簡(jiǎn)單的等比級(jí)數(shù)的和函數(shù)出發(fā)，通過變換可得出另一種冪級(jí)數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)聯(lián)，再聯(lián)想到級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間

24、范圍內(nèi)可逐項(xiàng)求積和求導(dǎo)的特征，不難推證某些級(jí)數(shù)和式。 例如：證明級(jí)數(shù) 1-(-1)n +收斂于解：先回顧等比級(jí)數(shù)1+q+q2+qn+當(dāng)|q|<1時(shí)是收斂的，其和函數(shù)為 ，即= ，把式中的q換成(-x2)則式子變?yōu)?(-1)kx2k+兩邊積分+(-1)k 即arctgx=x-(-1)k 令x=1代入則得 1-(-1)n +=arctg1= 各種運(yùn)算能力、運(yùn)算過程的培養(yǎng)當(dāng)我們利用微積分中的分部積分公式uv'dx = uv一vu' dx求原函數(shù)時(shí)，很多人往往選錯(cuò)u,v而解不下去。這時(shí)候我們可以先讓學(xué)生觀察一些實(shí)例，提出思考問題，并從中得到啟發(fā)，得出規(guī)律。當(dāng)解x21n(x十1)d

25、x或arctgxdx時(shí),顯然只能x2做v'這時(shí)v=，如果選反三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)做v'，就很難想出v是什么函數(shù)，故對(duì)數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)只能選做u，而當(dāng)解 或時(shí)，則應(yīng)選冪函數(shù)為u,而以三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)為v'。這樣我們就可以歸納出如下的順序:對(duì)數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)，幕函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)。如果是上述兩種函數(shù)乘積的積分，則按上面排序的左側(cè)選為u而右側(cè)選做v'。當(dāng)然不是所有的函數(shù)都可用初等函數(shù)表示其原函數(shù)的。例如與都不能用初等函數(shù)給予表達(dá)。此時(shí)再反過來解決原來的問題肯定會(huì)容易得多。通過這種方法的訓(xùn)練，能培養(yǎng)學(xué)生在解決問題前會(huì)自然而然尋找問題的規(guī)律，以求用簡(jiǎn)便的方法得到

26、解決。 綜合能力的培養(yǎng) 1.導(dǎo)數(shù)概念，我們將之升華有關(guān)聯(lián)的兩變量(它們之間可建立起連續(xù)性的函數(shù)關(guān)系)之增量比。于是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的邊際問題，化學(xué)中變化率，物理中的速率，生物學(xué)中的增殖率都和導(dǎo)數(shù)掛上鉤，從而還可通過建立各領(lǐng)域中的微分方程模型，去處理相應(yīng)問題。 2.定積分中分割求和取極限思想升華為一般積分微元思想，并插入各領(lǐng)域中去建立相應(yīng)的積分微元思想。 3.把利用導(dǎo)數(shù)求極值的思想方法加以擴(kuò)充則可以解決經(jīng)濟(jì)分析中的最大利潤(rùn)，最少庫(kù)存費(fèi)用等問題，網(wǎng)絡(luò)中的最佳路線選擇，配料中的最低耗費(fèi)，電子原器件的最優(yōu)配置等。 4.綜合利用所學(xué)微積分知識(shí)及其它數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行理論，再配合電腦中多媒體與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)配合，會(huì)使學(xué)生有

27、更強(qiáng)更全面的知識(shí)和能力去迎接各方面和挑戰(zhàn)。 2.4 學(xué)習(xí)微積分對(duì)培養(yǎng)人的思維上的價(jià)值當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家柯朗曾指出：“微積分，或數(shù)學(xué)分析，是人類思維的偉大成果之一?！边@讓我們知道，微積分的學(xué)習(xí)不僅包括其知識(shí)價(jià)值，更重要的是它對(duì)人的思維方式的養(yǎng)成具有重要的作用。 例如：1+，其項(xiàng)數(shù)取得越多，精確度就越高。再如，當(dāng)變化很小時(shí)，用dy代替,即是以直代曲的思想。對(duì)它們的深入分析，使人們認(rèn)識(shí)到，看待事物不能用簡(jiǎn)單的“二分法”，看待紛繁復(fù)雜的世界要抓住事物的本質(zhì)，從多方面、多角度去考察，讓人們以動(dòng)態(tài)的、辨證的、全面的、系統(tǒng)的觀點(diǎn)看問題。又如：極限，如果按照一般的做法，很困難，但采取化簡(jiǎn)為繁的方法，把它寫成的形式

28、，此題立即得出結(jié)果。體味這些數(shù)學(xué)思維方式，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力。在聯(lián)系到我們的實(shí)際生活，有個(gè)新產(chǎn)品銷售模型：一種新產(chǎn)品面市，廠家和商家總是采取各種措施，包括大做廣告等，促進(jìn)銷售。他們希望對(duì)產(chǎn)品的銷售速度與銷售數(shù)量做到心中有數(shù)，以便于組織生產(chǎn)、安排進(jìn)貨。我們運(yùn)用微積分的知識(shí)就可以建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描繪產(chǎn)品推銷速度，并由此分析出有用的結(jié)果，以指導(dǎo)生產(chǎn)和銷售。假設(shè)需求量有一個(gè)上界M，用x(t)表示時(shí)間t內(nèi)已售出的產(chǎn)品數(shù)量，則尚未購(gòu)置的數(shù)量大約為M-x(t),社會(huì)調(diào)查表明，與x(t)和M-x(t)的乘積成正比，記比例系數(shù)為k，則=kx(M-x),從而可分析出在某t0時(shí)刻銷售量可達(dá)到最大值，從而

29、表明銷售量小于最大銷售量的一半時(shí)，銷售速度是不斷增大的，銷售量大于最大銷售量的一半時(shí)，產(chǎn)品最為暢銷，其后銷售速度開始下降。 這種批判的、理性的、開放的思維方式的養(yǎng)成有利于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，開闊思路，從而能使學(xué)生形成良好的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識(shí)。結(jié)論在這篇畢業(yè)論文中，我們討論了如何說明學(xué)習(xí)微積分在實(shí)際運(yùn)用中的價(jià)值問題。 論文從兩個(gè)部分對(duì)微積分在實(shí)際運(yùn)用中的價(jià)值問題進(jìn)行了歸納和總結(jié)。第一部分緒論介紹了課題背景和意義，國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)綜述，本文主要研究?jī)?nèi)容；第二部分介紹了學(xué)習(xí)微積分在我們實(shí)際應(yīng)用中的價(jià)值，包括微積分的學(xué)習(xí)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的價(jià)值，其中有極限理論在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)理論在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用、極值理論在經(jīng)

30、濟(jì)中的應(yīng)用、積分理論在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用、微分方程理論在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用，還包括微積分的學(xué)習(xí)在培養(yǎng)人的思維上的價(jià)值、微積分的學(xué)習(xí)在培養(yǎng)人的能力上的價(jià)值和微積分的學(xué)習(xí)在日常生活中的價(jià)值，其中包括自學(xué)能力的培養(yǎng)、推理能力的培養(yǎng)、各種運(yùn)算能力、運(yùn)算過程的培養(yǎng)和綜合能力的培養(yǎng)。 致 謝 從2007年1月份開始，經(jīng)過多次的補(bǔ)充和改進(jìn)，本篇畢業(yè)論文終于完稿。在撰寫論文的過程中，我得到了許多老師和同學(xué)的熱情幫助，在此謹(jǐn)表示深深的感謝。 我要感謝我的導(dǎo)師嘉興學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院的副教授柴惠文老師對(duì)我的辛勤指導(dǎo)。在論文的選題、資料的查找、初稿的擬訂、對(duì)論文的反復(fù)修改，直至定稿，都得到了柴老師悉心的指導(dǎo)和無微不至的關(guān)懷，在此向柴老師表示深深的感謝。 同時(shí)，我要也