Banach空間二階非線(xiàn)性常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性及其迭代求法

1、2010年2月第1期吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)JournalofJilinNormalUniversity(NaturalScienceEdition)󰀁.1Feb.2010Banach空間二階非線(xiàn)性常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性及其迭代求法陸海霞(宿遷學(xué)院教育系,江蘇宿遷223800)摘󰀂要:在Banach空間中利用增算子不動(dòng)點(diǎn)的迭代求法定理,研究了含間斷項(xiàng)的二階非線(xiàn)性常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性及其迭代求法.關(guān)鍵詞:增算子;不動(dòng)點(diǎn);上下解;單調(diào)迭代方法中圖分類(lèi)號(hào):O177󰀂91󰀂󰀂文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

2、83042;󰀂文章編號(hào):1674󰀁3873󰀁(2010)01󰀁0030󰀁040󰀂引言近年來(lái),非線(xiàn)性常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性、唯一性、多解性一直是微分方程中人們非常關(guān)注的問(wèn)題,如文1󰀁4.本文將在抽象Banach空間中,就非線(xiàn)性項(xiàng)f(t,u)在較弱的連續(xù)性條件(按u0范數(shù)幾乎逐點(diǎn)連續(xù))下,采用上下解方法與增算子不動(dòng)點(diǎn)定理,討論二階非線(xiàn)性常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題中的一個(gè)特殊的重要情況.令Lu=-(p(t)u (t) +q(t)u(t)󰀂0!t!1其中p(t)C1I,

3、E,p(t)>0,q(t)CI,E,q(t)#0,I=0,1.以下將研究?jī)牲c(diǎn)邊值問(wèn)題Lu=f(t,u)󰀁0u(0)-󰀂0u (0)=0,󰀁1u(1)+󰀂1u (1)=02222的解的存在性及其迭代求法,其中󰀁0#0,󰀂0#0,󰀁1#0,󰀂1#0,󰀁0+󰀂0>0,󰀁1+󰀂1>0(1)(2)(3)f:JE%E(不假設(shè)處處連續(xù)),E為實(shí)Banach是空間.1󰀂預(yù)備知識(shí)為了討論問(wèn)

4、題的方便,以下總假定(E,&&)是實(shí)Banach空間,I=0,1.對(duì)p#1,令LpI,E=u:I%E|u強(qiáng)可測(cè)5,且一Banach空間.令CI,E=u:I%E|u連續(xù),則CI,E在范數(shù)&u&c=max&u(t)&下也是tIBanach空間.令C2I,E=u:I%E|u(t)在I上二階連續(xù)可微.設(shè)P是E中的錐,E中半序由P導(dǎo)出.設(shè)u0P,u0 ,令Eu0=x|xE,且存在!>0,使-!u0!x!u0.若xEu0,令&x&u0=inf!|!>0,-!u0!x!u0,則易知Eu0為實(shí)數(shù)域R上的線(xiàn)性賦范空間,稱(chēng)&x&a

5、mp;u0為x的u0󰀁范數(shù).顯然,Pu0=P+Eu0是Eu0中的一個(gè)錐,且Pu0是Eu0中的正規(guī)錐(5).對(duì)p#1,則LpI,E0=u:I%E0|u強(qiáng)可測(cè),且(I&u(t)&pdt<+),則LpI,E在范數(shù)&u&p=(I&u(t)&pdt)下為(I&u(t)&pudt<+0)在范數(shù)&u&pu=(Ip&u(t)&udt)0下為一線(xiàn)性賦范空間.收稿日期:2009󰀁11󰀁08󰀂󰀂基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(

6、10671167),宿遷學(xué)院科研基金資助項(xiàng)目(2008KY07)作者簡(jiǎn)介:陸海霞(1976󰀁),女,江蘇鹽城人,講師,碩士.研究方向:非線(xiàn)性泛函分析.稱(chēng)P為P的共軛錐,如果P=fE|f(x)#0, xP,其中E為E的共軛空間稱(chēng)v0(t)C2I,E是問(wèn)題(2)(3)的下解,如果Lv0!f(t,v0(t),tI󰀁0v0(0)-󰀂0v 0(0)!0,󰀁1v0(1)+󰀂1v 0(1)!0稱(chēng)w0(t)C2I,E是問(wèn)題(2)(3)的上解,如果Lv0#f(t,v0(t),tI󰀁0v0(0)-󰀂0v

7、 0(0)#0,󰀁1v0(1)+󰀂1v 0(1)#0設(shè)v0,w0CI,E,v0!w0,D=uCI,E|v0!u!w0,F:D%LpI,ED1=uLpI,E|Fv0!u!Fw0,K:D1%CI,E引理1算子;ii)對(duì)v0,w0來(lái)說(shuō),v0!Av0,Aw0!w0成立;iii)F(D)是LpI,E中的有界集;則A=KF在D中必有最小不動(dòng)點(diǎn)v*(t)和最大不動(dòng)點(diǎn)w*(t),并且對(duì)迭代序列vn=Avn-1,wn=Awn-1,n=1,2,3,來(lái)說(shuō),vn(t)和wn(t)分別在I上一致收斂于u*(t)和v*(t).注1󰀂引理1是將文6定理1中的算子A=i=1*(

8、4)(5)6󰀂設(shè)P是自反的Banach空間E中的錐,且在Eu0中,范數(shù)&&強(qiáng)于&&u0.再設(shè)i)F:D%LpI,E是按u0󰀁范數(shù)幾乎逐點(diǎn)連續(xù)的增算子;K:D1%CI,E為按u0󰀁范數(shù)逐點(diǎn)連續(xù)的增KiFi中的n取1,由文6n中定理1的證明過(guò)程可以看出,引理1顯然成立.引理27󰀂兩點(diǎn)邊值問(wèn)題(2)(3)等價(jià)于Hammerstein型積分方程u(t)=72(k(t,s)f(s,u(s)ds10(6)其中k(t,s):II%R1是Lu=0在邊值條件(3)下的Green函數(shù),k(t,s)非負(fù),連續(xù).引理3&#

9、983042;如果v0(t)CI,E是兩點(diǎn)邊值問(wèn)題(2)(3)的下解,即(4)式成立,則有v0(t)!(k(t,s)f(s,u(s)ds01(7)如果w0(t)C2I,E是兩點(diǎn)邊值問(wèn)題(2)(3)的上解,即(5)式成立,則有w0(t)#(k(t,s)f(s,u(s)ds01(8)2󰀂主要結(jié)果及證明為方便起見(jiàn),首先列出本節(jié)要使用到的假設(shè):(H1)P是E中的錐,存在u0P,u0 ,使對(duì)一切tI=0,1,都有D(t)=v0(t),w0(t)!Eu0,對(duì)幾乎一切tI,f(t,u(t)|uD!Eu0.(H2)存在v0,w0C2I,E,v0<w0, tI,且v0,w0分別是問(wèn)題(2)

10、(3)的上下解,即(4)、(5)式成立.(H3)存在M>0,對(duì)任意u1,u2v0,w0,u1!u2,都有f(t,u2)-f(t,u1)#-M(u2-u1)(H4)f(t,x):IE%E,使由f確定的Nemytskii算子f:(fu)(t)=f(t,u(t)映D入LpI,E,f(D)是LpI,E中的有界集;對(duì)幾乎一切tI,f(t,u)關(guān)于u是按u0󰀁范數(shù)逐點(diǎn)連續(xù)的.定理1󰀂設(shè)是自反的Banach空間,P是E中的錐,假設(shè)(H1)(H4)成立,且在Eu0中,范數(shù)&&強(qiáng)于&&u0,則存在單調(diào)迭代序列vn(t)和wn(t)分別在I上依

11、u0󰀁范數(shù)一致收斂于二階常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題(2)(3)在D=v0,w0中的最小解v*和最大解w*.證明󰀂令L1u=Lu+Mu,f1(t,u)=f(t,u)+Mu顯然,方程(2)等價(jià)于L1u=f1(t,u)由引理2知,兩點(diǎn)邊值問(wèn)題(2)(3)等價(jià)于積分方程u(t)=1(9)(k(t,s)f(s,u(s)+Mu(s)ds10(10)其中k(t,s):II%R是L1u=0在邊值條件(3)下的Green函數(shù).對(duì)任給hCI,E,先考察Banach空間中的線(xiàn)性Hammerstein型積分方程u(t)=h(t)-M(k(t,s)u(s)ds,t1I(11)利用常規(guī)證法(如

12、壓縮映射原理)可知對(duì) hCI,E,方程(11)都有唯一解,uhCI,E,定義:Hh=uh.下證H:CI,E%CI,E是增算子.設(shè)h1,h2CI,E,h1!h2.對(duì)任給P*,令󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂m(t)=(Hh2)(t)-(Hh1)(t)󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂&#

13、983042;󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂󰀂=(uh2(t)-uh1(t)=(h2(t)-M(10k(t,s)uh2(s)ds)-(h1(t)-M(h2(t)-h1(t)-M解該積分不等式,得m(t)#0.這表明對(duì)任給的P*,有(Hh2-Hh1)#0,故Hh2#Hh1,即H是增算子.令Fu=f(t,u)+Mu, uCI,EGv=10(k(t,s)uh21h1(s)ds)#(k(t,s)(u10(s)-uh1(s)ds#-M(k(t,s)m(s)ds1(k(t,s)v(s)dsK=HG由假設(shè)(H3)知

14、,對(duì)任意的u1,u2v0,w0,u1!u2,都有f(t,u2)+Mu2#f(t,u1)+Mu1則F是映D入LpI,E的增算子.由G的定義及k(t,s)的非負(fù)連續(xù)性知G:LpI,E%CI,E是增算子,注意到H是增算子,故K:LpI,E%CI,E是增算子.令A(yù)=KF下證v0!Av0,Aw0!w0.任給P*,令r(t)=(Av0)(t)-v0(t),則由A的定義及引理2可得r(t)=(HGFv0)(t)-v0(t)=(k(t,s)f(t,v(s)+Mv(s)ds-M(k(t,s)(Av)(s)ds-M(k(t,s)(Av)(s)-v(s)ds=-M(k(t,s)r(s)ds101011v0(t)#解

15、該積分不等式,得r(t)#0( tI).這表明對(duì)任給的P*,有(Av0(t)-v0(t)#0,從而v0!Av0.同理可證Aw0!w0.由(H4)知F是按u0󰀁范數(shù)幾乎逐點(diǎn)連續(xù)的.6下證K是按u0󰀁范數(shù)逐點(diǎn)連續(xù)的.對(duì)于任意h1,h2F(D)=#LpI,E|Fv0<#<Fw0且&h2-h1&pu%0,由K的定義及Holder不等式&(Kh2)(t)-(Kh1)(t)&u0=&k(t,s)h2(s)ds-0102(k(t,s)h(s)ds&=&(k(t,s)(h(s)-h(s)ds&!(k(t

16、,s)&h(s)-h(s)&ds11011uu1021u0!又k(t,s)是連續(xù)函數(shù),故存在常數(shù)(0101(k(t,s)dsq1(01(&h2(s)-h1(s)&)pds1k0=0max!t!1使(k(t,s)dsq,&Kh2-Kh1&Cu=0sup&(Kh2)(t)-(Kh1)(t)&u0!k0&h2-h1&pu%0!t!100再由(H4)知,f(D)是LpI,E中的有界集.綜上,引理1的條件全部滿(mǎn)足,所以A在D中有最小不動(dòng)點(diǎn)v*和最大不動(dòng)點(diǎn)w*.再注意到A的不動(dòng)點(diǎn)與積分方程(10)的解等價(jià),從而與二階常微分方程

17、兩點(diǎn)邊值問(wèn)題(2)(3)的解是等價(jià)的,故問(wèn)題(2)(3)有最小解v和最大解w,其中v(t),w(t)是迭代序列vn=Avn-1,wn=Awn-1,n=1,2,3,的極限.證畢.參󰀂考󰀂文󰀂獻(xiàn)1郭大鈞,孫經(jīng)先,劉兆理.非線(xiàn)性常微分方程泛函方法M.濟(jì)南:山東科技出版社,1995.2姚慶六.關(guān)于一類(lèi)二階兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解存在性J.中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,42(4):1820.3杜增吉,葛渭高.二階兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的多解存在性J.數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,2006,26(2):406412.4韓󰀂瀅.二階微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性J.

18、吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008(2):4244.5郭大鈞.非線(xiàn)性泛函分析M.濟(jì)南:山東科技出版社,1985.6陸海霞.增算子不動(dòng)點(diǎn)的迭代方法及其應(yīng)用J.徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,24(2):4145.7郭大均,孫經(jīng)先.抽象空間常微分方程M.濟(jì)南:山東科技出版社,2002.*TheExistenceofSolutionsandIterativeTechniqueofTwo󰀁pointBoundaryValueProblemforSecond󰀁orderNonlinearOrdinaryDifferentialEquationinBanachSpacesLUHai󰀁xia(EducationDepartment,SuqianCollege,Suqian223800,China)Abstract:Byatheoremoffixedpointanditerativetechniqueforincreasingope