第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用_第1頁
第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用_第2頁
第3章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用_第3頁
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1、第3章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1 微分中值定理一、 選擇題1. 函數(shù)在內(nèi) ( C )(A) 有1個零點; (B) 有2個零點;(C) 有個零點; (D) 有個零點.2.設(shè)是個實數(shù), 且, 則函數(shù)在內(nèi) ( A )(A) 至少有一個零點; (B) 至少有2個零點;(C) 至少有個零點; (D) 至少有個零點.二、 填空1. 對于函數(shù), 在區(qū)間上使Lagrange定理結(jié)論成立的點2. 函數(shù)與在區(qū)間上使Cauchy定理結(jié)論成立的點3. 設(shè)函數(shù)，則有 個零點, 它們分別位于區(qū)間 (1, 2), (2, 3), (3, 4) 內(nèi).三. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且, , 證明在內(nèi)存在一點, 使得

2、.證 考慮函數(shù), 則在上連續(xù), 且, 由零點定理知有, 使得, 又, 對于在上應(yīng)用Rolle定理有使得, 即.四. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 且, 證明存在使得.證. 令, 則與在上滿足Cauchy定理的條件, 故由Cauchy定理, 存在, 使得, 即. 又在上滿足Lagrange定理的條件, 故由Lagrange定理, 存在, 使得, 由題設(shè), 知, 從而.五. 設(shè), 證明不等式證. 設(shè), 在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo), 由Lagrange定理得, 即, 因, 所以, 故有, 即.六. 證明方程 只有一個實根.證. 設(shè), 顯然在內(nèi)連續(xù), 且 , 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知在內(nèi)至少有一個零點, 即方程 至少有一個實根.若方程至少有兩不同實根, 即. 不妨設(shè), 對在閉區(qū)間上利用羅爾定理, 至少存在，使，然而, 即在內(nèi)沒有零點, 從而矛盾, 所以方程只有一個實根.七. 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且, 證明在內(nèi)至少存在一點, 使.證. 由Maclaurin公式得, 其中, , 分別令和, 得 兩式相減得, 由的連續(xù)性, 在上有最大值和最小值

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