電磁波的輻射

1、第五章 電磁波的輻射1. 若把麥克斯韋方程組的所有矢量都分解為無旋的(縱場)和無散的(橫場)兩部分,寫出E和B這兩部分在真空所滿足的方程式,并證明電場的無旋部分對應(yīng)與庫侖場. 解: 首先將電磁場分成兩部分:其中L為縱場T為橫場.所以有: 將 （1）（3） 代入電荷守恒定律有: （10）由（9）得:將（1）（2）（3）代入真空中的麥?zhǔn)戏匠探M得 由(11) 及(7)式得: (15) 由(13)及(8)式得: (16)將(16)及(4)式代入(12)得 (17) 將(5)式代入(10)式得: (18)由（8）式及（4）式得 (19)由（18）（19）式得 （20）將（5）式及（20）式代入（14）式

2、得 (21)若空間有電流為常失,則必產(chǎn)生磁場，所以常失應(yīng)歸入.只有 (22) (23)以上（15）（16）（17）（22）式及（23）式為和的橫場和縱場，所滿足的方程式，由最后說明為由空間全部電荷所激發(fā)的場，所以為庫侖場，而是由全部磁場所激發(fā)的，為有旋場。2. 證明在線性各向同性均勻非導(dǎo)電介質(zhì)中，若P=0,則可完全有失勢決定。 若取，這時滿足哪兩個方程？解：在各項同性均勻介質(zhì)中，常數(shù)，常數(shù)，達(dá)朗貝爾方程為： 若則方程中只含有和，若定，則可由方程求出。在和全定后，由可求出和。若由（1）（2）可得3. 證明沿Z軸方向傳播的平面電磁波可用失勢表示，其中，垂直于Z軸方向.解：平面電磁波在沒有電荷電流分

3、布的空間傳播，因而勢方程1.9變?yōu)椴ǚ匠?：其平面波解為由得 只要給定，則平面波完全可用失勢表示，若平面波沿Z方向，則：=由垂直于Z軸。4. 設(shè)真空中失勢可用復(fù)數(shù)傅立葉展開為其中是的復(fù)共軛。（1）證明滿足諧振子方程（2）當(dāng)選取規(guī)范(3) 把和用和表示出來. 解：（1）可改寫為若采用洛侖茲規(guī)范 則A=0所以（2）若 時所以(3) 電磁波在真空中傳播有A=0, . 由 , 5. 設(shè)和是滿足洛侖茲規(guī)范的失勢和標(biāo)勢（1） 引入一矢量函數(shù)赫茲矢量），若令,證明（2）若令 證明Z滿足方程,寫出在真空中的推遲（3）證明和可通過用下列公式表出 , 解：(1) 由洛侖茲規(guī)范： . 由代入得 所以 由必須滿足協(xié)變

4、性，即規(guī)范不變性，所以 由必須滿足方程 所以后面不能有只有（2）由達(dá)朗貝爾方程 將 代入得： 所以 由后面 ，所以后面不能隨意加常失兩邊不能隨意加梯度場.所以只有所以 由于此方程與相似可由書P或做如下代換 ，得解為 （v為場源）(3) 由將（2）（3）代入（1）得: （5） 將（4）代入（5）式得 由 得： （6）由 得：6. 兩個質(zhì)量，電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞，證明電偶極輻射和磁偶極輻射都不會發(fā)生解： 設(shè)兩粒子運行得方向為軸方向，由題意有由 ， 所以由書式得 則 由牛頓的三定律得 所以 B=0同理( 所以電偶極輻射為零. 由磁矩的定義有 又由 ，由題意所以磁偶極輻射為0.7. 設(shè)有一

5、球?qū)ΨQ的電荷分布，以頻率w沿徑向作簡諧振動，求輻射場，并對結(jié)果給以物理解釋.解：本題為球?qū)ΨQ問題，所以用球坐標(biāo). 由題意：電荷分布為球?qū)ΨQ性， 所以有： 取微元，在某時刻（）處有 = + 由 所以 所以不會發(fā)生輻射8. 一飛輪半徑為R，并有電荷均勻分布在其邊緣上，總電量為Q，設(shè)此分輪以恒定角度旋轉(zhuǎn)，求輻射場。解：使用柱坐標(biāo)：由題意 所以 0所以沒有電偶極輻射 所以， 所以沒有磁偶極輻射飛輪沒有輻射9用電荷守恒定律，驗證A和的推遲勢滿足洛倫茲條件解： (c=)第一項化為面積分，由于積分區(qū)域V包括所有電流在內(nèi)，沒有電流通過區(qū)域的界面S，因而這面積分為零。第二項由于所以恒為0。所以10半徑為的均勻永磁體，磁化強(qiáng)度為，球以恒定角速度繞通過球心而垂直于的軸旋轉(zhuǎn)，設(shè)，求輻射場和能流。解：坐標(biāo)原點取在球心，Z軸為小球的轉(zhuǎn)動軸。因為以角速度垂直于Z軸轉(zhuǎn)動，因此，它可以分解為x方向和y方向兩個相位差為的線振動：小球的總磁矩為于是我們得到這旋轉(zhuǎn)磁化球的輻射場 平均輻射能流為11. 帶電粒子e作半徑為a的非相對論醒圓周運動，回旋頻率為，求遠(yuǎn)處的輻射電磁場和輻射能流。解：所以 利用 12. 設(shè)有一電矩振幅為，頻率為的電偶極子距理想導(dǎo)體平面為a/2處, 平行于導(dǎo)體平面，設(shè)，求處電磁場和輻射能流。解： 產(chǎn)生的輻射場為：因故r2r1 ,于是得 13 設(shè)有線偏振平面波照射到一個絕緣介