高中數(shù)學雙曲線例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上例題定義類1，已知，一曲線上的動點到距離之差為6，則雙曲線的方程為 點撥：一要注意是否滿足，二要注意是一支還是兩支 ，的軌跡是雙曲線的右支.其方程為2雙曲線的漸近線為，則離心率為 點撥：當焦點在x軸上時，；當焦點在y軸上時，3 某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s. 已知各觀測點到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/ s :相關(guān)各點均在同一平面上)【解題思路】時間差即為距離差，到兩定點距離之差為定值的點的軌跡是雙曲線型的解

2、析如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）設(shè)P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB| |PA|=340×4=1360由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，ABCPOxy依題意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|>|PA|,答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心處.【名師指引】解應用題的關(guān)鍵是將實

3、際問題轉(zhuǎn)換為“數(shù)學模型”4 設(shè)P為雙曲線上的一點F1、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|：|PF2|=3：2，則PF1F2的面積為（ ）AB12CD24解析： 又由、解得直角三角形，故選B。5如圖2所示，為雙曲線的左焦點，雙曲線上的點與關(guān)于軸對稱，則的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 ，選C6. P是雙曲線左支上的一點，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點，且焦距為2c，則的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標為（ ）（A）（B）（C）（D）解析設(shè)的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標為，由圓的切線性質(zhì)知，7，若橢圓與雙曲線有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|的值是 （ ）

4、A. B. C. D. 【解析】橢圓的長半軸為雙曲線的實半軸為，故選A.求雙曲線的標準方程1已知雙曲線C與雙曲線=1有公共焦點，且過點（3，2）.求雙曲線C的方程【解題思路】運用方程思想，列關(guān)于的方程組解析 解法一：設(shè)雙曲線方程為=1.由題意易求c=2.又雙曲線過點（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求雙曲線的方程為=1.解法二：設(shè)雙曲線方程為1，將點（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為1.2.已知雙曲線的漸近線方程是，焦點在坐標軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為 ； 解析設(shè)雙曲線方程為，當時，化為，當時，化為，綜上，雙曲線方程為或3.以拋物線的焦點為右焦

5、點,且兩條漸近線是的雙曲線方程為_.解析 拋物線的焦點為，設(shè)雙曲線方程為，雙曲線方程為4.已知點，動圓與直線切于點，過、與圓相切的兩直線相交于點，則點的軌跡方程為A BC（x > 0） D解析，點的軌跡是以、為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，選B與漸近線有關(guān)的問題1若雙曲線的焦點到漸近線的距離等于實軸長，則雙曲線的離心率為 （ ）A. B. C. D.【解題思路】通過漸近線、離心率等幾何元素，溝通的關(guān)系解析 焦點到漸近線的距離等于實軸長，故，,所以【名師指引】雙曲線的漸近線與離心率存在對應關(guān)系,通過的比例關(guān)系可以求離心率,也可以求漸近線方程2. 雙曲線的漸近線方程是 ( )A. B. C

6、. D. 解析選C3.焦點為（0，6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是 （ ）A B C D解析從焦點位置和具有相同的漸近線的雙曲線系兩方面考慮，選B4，過點（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是【解析】設(shè)所求雙曲線為點（1，3）代入：.代入（1）：即為所求.【評注】在雙曲線中，令即為其漸近線.根據(jù)這一點，可以簡潔地設(shè)待求雙曲線為，而無須考慮其實、虛軸的位置.5 設(shè)CD是等軸雙曲線的平行于實軸的任一弦，求證它的兩端點與實軸任一頂點的連線成直角.【證明】如圖設(shè)等軸雙曲線方程為，直線CD：y=m.代入（1）：.故有：.取雙曲線右頂點.那么：.即CBD=90°.同理可證：CAD=90&

7、#176;.幾何1設(shè)為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（ ）A B C. D【解析】雙曲線的實、虛半軸和半焦距分別是：.設(shè)；于是，故知PF1F2是直角三角形，F(xiàn)1P F2=90°.選B.求弦1雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）A. B. C. D. 【解析】設(shè)弦的兩端分別為.則有：.弦中點為（2，1），.故直線的斜率.則所求直線方程為：，故選C.“設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過某個步驟，只要有可能，可以用虛設(shè)代替而不必真地去求它.但是，“設(shè)而不求”的手段應當慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子.請看：2

8、在雙曲線上，是否存在被點M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.如果不問情由地利用“設(shè)而不求”的手段，會有如下解法：【正解】在上述解法的基礎(chǔ)上應當加以驗證.由這里，故方程（2）無實根，也就是所求直線不合條件.此外，上述解法還疏忽了一點：只有當時才可能求出k=2.若.說明這時直線與雙曲線只有一個公共點，仍不符合題設(shè)條件.結(jié)論；不存在符合題設(shè)條件的直線.換遠（壓軸題）1如圖，點為雙曲線的左焦點，左準線交軸于點，點P是上的一點，已知，且線段PF的中點在雙曲線的左支上.（）求雙曲線的標準方程；（）若過點的直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點，設(shè)，當時，求直線的斜率的取

9、值范圍. 【分析】第（）問中，線段PF的中點M的坐標是主要變量，其它都是輔助變量.注意到點M是直角三角形斜邊的中點，所以利用中點公式是設(shè)參消參的主攻方向 第（）中，直線的斜率是主要變量，其它包括都是輔助變量. 斜率的幾何意義是有關(guān)直線傾斜角的正切，所以設(shè)置直線的參數(shù)方程，而后將參數(shù)用的三角式表示，是一個不錯的選擇.【解析】（）設(shè)所求雙曲線為：.其左焦點為F（-c。0）；左準線：.由，得P（，1）；由FP的中點為.代入雙曲線方程： 根據(jù)（1）與（2）.所求雙曲線方程為. （）設(shè)直線的參數(shù)方程為：.代入得：當，方程（3）總有相異二實根，設(shè)為. 已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點，.于是：.注

10、意到在上是增函數(shù)，（4）代入（5）： 雙曲線的漸近線斜率為，故直線與雙曲線的左右兩支分別交必須.綜合得直線的斜率的取值范圍是.練習題1已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動直線l經(jīng)過A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 解 (1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求雙曲線方程為=1 (2)P、A1、A2的坐標依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐標為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y

11、1)，N(x2,y2) 則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0 =164×280,所求直線l不存在 2已知雙曲線,問過點A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。 錯解 設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、 則 （1）得 因為A（1，1）為線段PQ的中點， 所以 將(4)、(5)代入（3）得 若，則直線的斜率 所以符合題設(shè)條件的直線存在。 其方程為 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應對所求直線進行檢驗，上

12、述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的。 應在上述解題的基礎(chǔ)上，再由 得 根據(jù),說明所求直線不存在。3已知點N（1，2），過點N的直線交雙曲線于A、B兩點，且（1）求直線AB的方程；（2）若過N的直線l交雙曲線于C、D兩點，且，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？解：（1）設(shè)直線AB：代入得 （） 令A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是方程的兩根 且 N是AB的中點 k = 1 AB方程為：y = x + 1 （2）將k = 1代入方程（）得 或 由得， ， CD垂直平分AB CD所在直線方程為 即代入雙曲線方程整理得 令，及CD中點則， ， |CD| =， ，即A、B、C、D到M

13、距離相等 A、B、C、D四點共圓4. 已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，（1）求雙曲線的漸近線方程（2）直線過焦點且垂直于x軸，若直線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為，求雙曲線的方程 解析（1）依題意，有，即，即雙曲線方程為，故雙曲線的漸近線方程是，即，（2）設(shè)漸近線與直線交于A、B，則，解得即，又，雙曲線的方程為5.已知是雙曲線的左，右焦點,點是雙曲線右支上的一個動點,且的最小值為,雙曲線的一條漸近線方程為. 求雙曲線的方程;解析,.的一條漸進線方程為 ，又 由得6.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為，右頂點為.（）求雙曲線C的方程（）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B且（其中為原點），

14、求k的取值范圍解（1）設(shè)雙曲線方程為由已知得，再由，得故雙曲線的方程為.（2）將代入得 由直線與雙曲線交與不同的兩點得 即且. 設(shè)，則，由得，而.于是，即解此不等式得 由+得故的取值范圍為7 已知雙曲線C：的兩個焦點為，點P是雙曲線C上的一點，且（1）求雙曲線的離心率；（2）過點P作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于兩點，若，求雙曲線C的方程（1）設(shè)，則，（2）由（1）知，故，從而雙曲線的漸近線方程為，依題意，可設(shè)，由，得 由，得，解得點在雙曲線上，又，上式化簡得 由，得，從而得故雙曲線C的方程為XOY5-52·8已知動圓與圓C1:(x+5)2+y2=49和圓C2：(x-5)2+y2=

15、1都外切， （1）求動圓圓心P的軌跡方程。 解：（1）從已知條件可以確定圓C1、C2的圓心與半徑。 兩圓外切可得：兩圓半徑和圓心距 動圓半徑r,依題意有 7r|PC1|,1r|PC2|，兩式相減得：|PC1|PC2|6 |C1C2|。 由雙曲線定義得：點P的軌跡是以C1、C2為焦點的雙曲線的右支。（x3） （2）若動圓P與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切，則動圓圓心P的軌跡是 （雙曲線右支） 若動圓P與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切，則動圓圓心P的軌跡是 （雙曲線左支） 若把圓C1的半徑改為1，那么動圓P的軌跡是 。（兩定圓連心線的垂直平分線）18已知直線與雙曲線交于、點。（1）求的取值范圍；（2）若以為直

16、徑的圓過坐標原點，求實數(shù)的值；（3）是否存在這樣的實數(shù)，使、兩點關(guān)于直線對稱？若存在，請求出的值；若不存在，說明理由。解：（1）由消去，得（1）依題意即且（2）（2）設(shè)，則 以AB為直徑的圓過原點 但 由（3）（4）， 解得且滿足（2）（3）假設(shè)存在實數(shù)，使A、B關(guān)于對稱，則直線與垂直 ，即 直線的方程為將代入（3）得 AB中點的橫坐標為2 縱坐標為 但AB中點不在直線上，即不存在實數(shù)，使A、B關(guān)于直線對稱。9(1)橢圓C:(ab0)上的點A(1,)到兩焦點的距離之和為4,求橢圓的方程; (2)設(shè)K是(1)中橢圓上的動點, F1是左焦點, 求線段F1K的中點的軌跡方程;(3)已知橢圓具有性質(zhì):

17、若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點, 當直線PM、PN的斜率都存在并記為kPM、kPN時，那么是與點P位置無關(guān)的定值。試對雙曲線 寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。解：(1) (2)設(shè)中點為(x,y), F1(-1,0) K(-2-x,-y)在上 Þ (3)設(shè)M(x1,y1), N(-x1,-y1), P(xo,yo), xox1 則 為定值.10. 已知雙曲線方程為與點P(1,2),（1）求過點P（1，2）的直線的斜率的取值范圍，使直線與雙曲線有一個交點，兩個交點，沒有交點。 (2) 過點P（1，2）的直線交雙曲線于A、B兩點，若P為弦AB的中點，求直線AB

18、的方程；（3）是否存在直線，使Q（1，1）為被雙曲線所截弦的中點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由。解：(1)當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()當2k2=0,即k=±時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點()當2k20,即k±時=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當=0,即32k=0,k=時，方程(*)有一個實根，l與C有一個交點.當0,即k,又k±,故當k或k或k

19、時，方程(*)有兩不等實根，l與C有兩個交點.當0，即k時，方程(*)無解，l與C無交點.綜上知：當k=±,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；當k,或k,或k時，l與C有兩個交點；當k時，l與C沒有交點.（2）假設(shè)以P為中點的弦為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=4 2(x1x2)=y1y1 即kAB=1但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與有交點，所以以P為中點的弦為：.(3)假設(shè)以Q為中點的弦存在，設(shè)為AB，且A(x

20、1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=2 2(x1x2)=y1y1 即kAB=2但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點的弦不存在.11已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動直線l經(jīng)過A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 解 (1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求雙曲線方程為=1 (2)P、A1、A2的坐標依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐標為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2) 則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0 =164×280,所求直線l不存在 12已知雙曲線,問過點A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點