高中數(shù)學(xué)-數(shù)列專題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)列專題第1講數(shù)列的概念及其表示知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的定義(1)按照一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)，也叫首項(xiàng)(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成：以正整數(shù)集N*或N*的有限子集1,2,3，n為定義域的函數(shù)anf(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值2數(shù)列的表示方法列表法列表格表達(dá)n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，an)畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)用公式表達(dá)的方法遞推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表達(dá)數(shù)列的方法3數(shù)

2、列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1>an其中nN*遞減數(shù)列an1<an常數(shù)列an1an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)注意點(diǎn)數(shù)列圖象是一些孤立的點(diǎn)數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，由于它的定義域?yàn)檎麛?shù)集N*或它的有限子集，所以它的圖象是一系列孤立的點(diǎn). 入門測(cè)1思維辨析(1)數(shù)列an和集合a1，a2，a3，an表達(dá)的意義相同()(2)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)()(3)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)()(4)數(shù)列：1,0,1,0,1,0，通項(xiàng)公式只能是an.()答

3、案(1)×(2)×(3)(4)×2數(shù)列，的一個(gè)通項(xiàng)公式為()Aan BanCan Dan答案C解析觀察知an.3若數(shù)列an中，a13，anan14(n2)，則a2015的值為()A1 B2C3 D4答案C解析因?yàn)閍13，anan14(n2)，所以a13，a21，a33，a41，顯然當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，an3，所以a20153.解題法考法綜述利用歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，或給出遞推關(guān)系式求數(shù)列中的項(xiàng)，并研究數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)命題法數(shù)列的概念和表示方法及單調(diào)性的判斷典例(1)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann22n(nN*)，則“<1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的()A充分不必要

4、條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件(2)寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：3,5,7,9，；1,3,6,10,15，；1，；3,33,333,3333，.解析(1)若數(shù)列an為遞增數(shù)列，則有an1an>0，即2n1>2對(duì)任意的nN*都成立，于是有3>2，<.由<1可得<，但反過來，由<不能得到<1，因此“<1”是“數(shù)列an為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.(2)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an2n1.將數(shù)列改寫為，因而有an，也可逐差法a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式累加得an.奇數(shù)項(xiàng)為

5、負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子(1)n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為21，偶數(shù)項(xiàng)為21，所以an(1)n·.將數(shù)列各項(xiàng)改寫為，分母都是3，而分子分別是101,1021,1031,1041，所以an(10n1)答案(1)A(2)見解析【解題法】歸納法求通項(xiàng)公式及數(shù)列單調(diào)性的判斷(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是尋找數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系，常用技巧有：借助于(1)n或(1)n1來解決項(xiàng)的符號(hào)問題項(xiàng)為分?jǐn)?shù)的數(shù)列，可進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，尋找分子、分母各自的?guī)律以及分子、分母間的關(guān)系對(duì)較復(fù)雜的數(shù)列的通項(xiàng)公式的探

6、求，可采用添項(xiàng)、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為熟知的數(shù)列，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等來解決根據(jù)圖形特征寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，首先，要觀察圖形，尋找相鄰的兩個(gè)圖形之間的變化；其次，要把這些變化同圖形的序號(hào)聯(lián)系起來，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律；最后，歸納猜想出通項(xiàng)公式(2)數(shù)列單調(diào)性的判斷方法作差比較法：an1an>0數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；an1an<0數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列；an1an0數(shù)列an是常數(shù)列作商比較法：當(dāng)an>0時(shí)，則>1數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；<1數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列；1數(shù)列an是常數(shù)列當(dāng)an<0時(shí)，則>1數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列；<1數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)

7、列；1數(shù)列an是常數(shù)列結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷數(shù)列的單調(diào)性對(duì)點(diǎn)練1設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，若數(shù)列2a1an為遞減數(shù)列，則()Ad<0 Bd>0Ca1d<0 Da1d>0答案C解析數(shù)列2a1an為遞減數(shù)列，2 a1an >2 a1an1，nN*，a1an>a1an1，a1(an1an)<0.an為公差為d的等差數(shù)列，a1d<0.故選C.2下列可以作為數(shù)列an：1,2,1,2,1,2，的通項(xiàng)公式的是()Aan1 BanCan2 Dan答案C解析A項(xiàng)顯然不成立；n1時(shí)，a10，故B項(xiàng)不正確；n2時(shí)，a21，故D項(xiàng)不正確由an2可得a11，a22，a

8、31，a42，故選C.3.下列關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是()Aann2n1 BanCan Dan答案C解析解法一：令n1,2,3,4，驗(yàn)證選項(xiàng)知選C.解法二：a11，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n.(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)n(n1)32.因此an123n.知識(shí)點(diǎn)1an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則an2已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)一般用代數(shù)的變形技巧整理變形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、構(gòu)造法或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列(等差數(shù)列或等比數(shù)列)等方法求得通項(xiàng)公式注意點(diǎn)已知Sn求an時(shí)應(yīng)注意的問題(1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用，分

9、n1和n2兩種情況討論，特別注意anSnSn1中需n2.(2)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時(shí)，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫”(3)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時(shí)，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an入門測(cè)1思維辨析(1)如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)nN*，都有an1Sn1Sn.()(2)在數(shù)列an中，對(duì)于任意正整數(shù)m，n，amnamn1，若a11，則a22.()(3)若已知數(shù)列an的遞推公式為an1，且a21，則可以寫出數(shù)列an的任何一項(xiàng)()答案(1)(2)(3)2數(shù)列an中，a11，an1，則a4等于()A. B.C1 D.答案A解析由a

10、11，an1得，a212，a311，a411.故選A.3在正項(xiàng)數(shù)列an中，若a11，且對(duì)所有nN*滿足nan1(n1)an0，則a2015()A1011 B1012C2014 D2015答案D解析由a11，nan1(n1)an0可得，得到，上述式子兩邊分別相乘得××××an1××××n1，故ann，所以a20152015，故選D.解題法考法綜述高考以考查an與Sn的關(guān)系為主要目標(biāo)以求通項(xiàng)公式an為問題形式，特別是給出遞推公式如何構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)公式作為一個(gè)重難點(diǎn)和命題熱點(diǎn)命題法由Sn求an或由遞推關(guān)系式求an典例(1

11、)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n23n，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an_.(2)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn滿足an2SnSn10(n2，nN*)，a1，求Sn.解析(1)當(dāng)n1時(shí)， a1S12×123×15；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1.當(dāng)n1時(shí)，4×115a1，an4n1.(2)當(dāng)n2，nN*時(shí)，anSnSn1，SnSn12SnSn10，即2，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，又S1a1，2，2(n1)·22n，Sn.答案(1)4n1(2)見解析【解題法】求通項(xiàng)公式的方法(1)由Sn求an的步驟先利用a1S1求出a1.用n1替換

12、Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式對(duì)n1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n1與n2兩段來寫(2)由遞推公式求通項(xiàng)公式的常見類型與方法形如an1anf(n)，常用累加法即利用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)求通項(xiàng)公式形如an1anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式ana1····求通項(xiàng)公式形如an1band(其中b，d為常數(shù)，b0,1)的數(shù)列，常用構(gòu)造法其基本思路是：構(gòu)造an1xb(anx)，則anx是公比為b的等比

13、數(shù)列，利用它即可求出an.形如an1(p，q，r是常數(shù))的數(shù)列，將其變形為·.若pr，則是等差數(shù)列，且公差為，可用公式求通項(xiàng)；若pr，則采用的辦法來求形如an2pan1qan(p，q是常數(shù)，且pq1)的數(shù)列，構(gòu)造等比數(shù)列將其變形為an2an1(q)·(an1an)，則anan1(n2，nN*)是等比數(shù)列，且公比為q，可以求得anan1f(n)，然后用累加法求得通項(xiàng)形如a12a23a3nanf(n)的式子，由a12a23a3nanf(n)，得a12a23a3(n1)an1f(n1)，再由可得an.對(duì)點(diǎn)練1設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為_

14、答案解析由a11，且an1ann1(nN*)得，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n，則2，故數(shù)列前10項(xiàng)的和S1022.2已知數(shù)列an滿足a11，an13an2，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_答案an2·3n11解析an13an2，an113(an1)3，數(shù)列an1是等比數(shù)列，公比q3.又a112，an12·3n1，an2·3n11.3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n3，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_答案an解析當(dāng)n1時(shí)，a1S11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1，an4.Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知an>0，a2an4Sn3.(1)求an的通項(xiàng)公

15、式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an>0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tnb1b2bn.5已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2kn，kN*，且Sn的最大值為8.試確定常數(shù)k，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解因?yàn)镾nn2kn(nk)2k2，其中k是常數(shù)，且kN*，所以當(dāng)nk時(shí)，Sn取最大值k2，故k28

16、，k216，因此k4，從而Snn24n.當(dāng)n1時(shí)，a1S14；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n.當(dāng)n1時(shí)，1a1，所以ann.創(chuàng)新考向以數(shù)列為背景的新定義問題是高考命題創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn)，考查頻次較高命題形式：常見的有新定義、新規(guī)則等創(chuàng)新例題把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖)則第7個(gè)三角形數(shù)是()A27 B28C29 D30答案B解析由圖可知，第7個(gè)三角形數(shù)是123456728.創(chuàng)新練習(xí)1將石子擺成如圖所示的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，為“梯形數(shù)”根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2014項(xiàng)與5的差，即a20145()A2018&

17、#215;2012 B2020×2013C1009×2012 D1010×2013答案D解析觀察圖中的“梯形數(shù)”可得：a2a14，a3a25，a4a36a2014a20132016，累加得：a2014a145620162013×1010，即a201452013×1010.2在一個(gè)數(shù)列中，如果nN*，都有anan1an2k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積已知數(shù)列an是等積數(shù)列，且a11，a22，公積為8，則a1a2a3a12_.答案28解析依題意得數(shù)列an是周期為3的數(shù)列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a1

18、24(a1a2a3)4×(124)28.3對(duì)于Ea1，a2，a100的子集Xai1，ai2，aik，定義X的“特征數(shù)列”為x1，x2，x100，其中xi1xi2xik1，其余項(xiàng)均為0，例如：子集a2，a3的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0，0.(1)子集a1，a3，a5的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于_(2)若E的子集P的“特征數(shù)列”為p1，p2，p100滿足p11，pipi11,1i99.E的子集Q的“特征數(shù)列”為q1，q2，q100滿足q11，qjqj1qj21,1j98，則PQ的元素個(gè)數(shù)為_答案(1)2(2)17解析(1)據(jù)“特征數(shù)列”定義知子集a1，a3，a5的特征數(shù)列為1,0,

19、1,0,1,0，0，故其前三項(xiàng)和為2.(2)由定義知p11，p20，p31，p40故集合Pa1，a3，a5，a99ai|i2k1，kN 且k49，又q11，q2q30，q41，q5q60，q71，集合Qa1，a4，a7，a10ai|i3k1，kN且k33若akPQ，則k2k113k21，k1，k2N，k149，k233.即2k13k2，不妨設(shè)6k32k13k2，所以k13k3，k22k3,03k349,02k333，k3N，得k30,1,2,3，16，k6k31，共有17個(gè)，PQ中元素個(gè)數(shù)為17.創(chuàng)新指導(dǎo)1準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決數(shù)列新定義問題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，將題目所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求

20、的形式，切忌同已有概念或定義相混淆2方法選?。簩?duì)于數(shù)列新定義問題，搞清定義是關(guān)鍵，仔細(xì)認(rèn)真地從前幾項(xiàng)(特殊處、簡(jiǎn)單處)體會(huì)題意，從而找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法已知數(shù)列an中，ann2kn(nN*)，且an單調(diào)遞增，則k的取值范圍是_錯(cuò)解錯(cuò)因分析在解答的過程中雖然注意了數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集，但是不能用二次函數(shù)對(duì)稱軸法來判斷數(shù)列的單調(diào)性因?yàn)閿?shù)列的圖象不是連續(xù)的，而是離散的點(diǎn)正解由題意得an1an2n1k，又an單調(diào)遞增，故2n1k>0恒成立，即k<2n1(nN*)恒成立，解得k<3.答案k<3心得體會(huì)課時(shí)練基礎(chǔ)組1.數(shù)列an的通項(xiàng)an，則數(shù)列an中的最大值是()A3 B19C.

21、D.答案C解析因?yàn)閍n，運(yùn)用基本不等式得，由于nN*，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n9或10時(shí)，an最大，故選C.2數(shù)列an的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n2時(shí)，an的通項(xiàng)公式為()Aan2n1 Bann2Can Dan答案D解析設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，則Tnn2，當(dāng)n2時(shí)，an.3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：SnSmSnm，且a11，那么a10等于()A1 B9C10 D55答案A解析SnSmSnm，a11，S11.可令m1，得Sn1Sn1，Sn1Sn1.即當(dāng)n1時(shí)，an11，a101.4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2an1(nN*)，則a5等于()A16 B16C31 D32答案B解析當(dāng)n1時(shí)，S

22、12a11，a11.當(dāng)n2時(shí)，Sn12an11，an2an2an1，an2an1.an是等比數(shù)列且a11，q2，故a5a1×q42416.5已知數(shù)列an滿足a01，ana0a1an1(n1)，則當(dāng)n1時(shí)，an等于()A2n B.n(n1)C2n1 D2n1答案C解析由題設(shè)可知a1a01，a2a0a12.代入四個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)可知an2n1.故選C.6. 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(n2)n，則當(dāng)an取得最大值時(shí)，n等于()A5 B6C5或6 D7答案C解析由題意知n5或6.7在數(shù)列an中，a11，an1an2n1，則數(shù)列的通項(xiàng)an_.答案n2解析an1an2n1.an(anan1)(an

23、1an2)(a3a2)(a2a1)a1(2n1)(2n3)531n2(n2)當(dāng)n1時(shí)，也適用ann2.8已知數(shù)列an的首項(xiàng)a12，其前n項(xiàng)和為Sn.若Sn12Sn1，則an_.答案解析由Sn12Sn1，則有Sn2Sn11(n2)，兩式相減得an12an，又S2a1a22a11，a23，所以數(shù)列an從第二項(xiàng)開始成等比數(shù)列，an9已知數(shù)列an中，a11，a22，設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n>1，nN*，Sn1Sn12(Sn1)都成立，則S10_.答案91解析兩式相減得an2an2an1(n2)，數(shù)列an從第二項(xiàng)開始為等差數(shù)列，當(dāng)n2時(shí)，S3S12S22，a3a224，S10124

24、618191.10. 如圖所示的圖形由小正方形組成，請(qǐng)觀察圖至圖的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是_答案解析由已知，有a11，a23，a36，a410，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，各式相加，得ana123n，即an12n，故第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是.11已知數(shù)列an滿足：a11,2n1anan1(nN*，n2)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)開始及以后各項(xiàng)均小于？解(1)n2時(shí)，n1，故an····a1n1·n2··2·112(n1)，當(dāng)n1時(shí)，a101

25、，即n1時(shí)也成立an.(2)y(n1)n在1，)上單調(diào)遞增，y在1，)上單調(diào)遞減當(dāng)n5時(shí)，10，an .從第5項(xiàng)開始及以后各項(xiàng)均小于.12已知數(shù)列an滿足an1且a1，求a2015.解a1，a22a11.a2，a32a21.a3，a42a3a1，an是周期數(shù)列，T3，a2015a3×6712a2.能力組13.已知數(shù)列an滿足條件a1a2a3an2n5，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為()Aan2n1 BanCan2n Dan2n2答案B解析由題意可知，數(shù)列an滿足條件a1a2a3an2n5，則a1a2a3an12(n1)5，n>1，兩式相減可得：2n52(n1)52，an2n1，n>

26、;1，nN*.當(dāng)n1時(shí)，7，a114，綜上可知，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：an故選B.14在如圖所示的數(shù)陣中，第9行的第2個(gè)數(shù)為_答案66解析每行的第二個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an，由題意知a23，a36，a411，a518，則a3a23，a4a35，a5a47，anan12(n1)12n3，各式兩邊同時(shí)相加，得ana2n22n，即ann22na2n22n3(n2)，故a9922×9366.15已知數(shù)列an滿足前n項(xiàng)和Snn21，數(shù)列bn滿足bn，且前n項(xiàng)和為Tn，設(shè)cnT2n1Tn.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列cn的增減性解(1)a12，anSnSn12n1(n2)bn.(2)c

27、nbn1bn2b2n1，cn1cn<0，cn是遞減數(shù)列16已知數(shù)列an中，a1，an1.(1)求an；(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且bn·1，求證：Sn<1.解(1)由已知得an0則由an1，得，即，而2，是以2為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列2(n1)，an.(2)證明：bn·1，由(1)知an，bn，Snb1b2bn1，又n1，n12，0<.Sn<1.第2講等差數(shù)列及前n項(xiàng)和知識(shí)點(diǎn)1等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，定義

28、的表達(dá)式為an1and，d為常數(shù)2等差中項(xiàng)如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且A.3等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其變形通項(xiàng)公式：ana1(n1)d，其中a1是首項(xiàng)，d是公差通項(xiàng)公式的變形：anam(nm)d，m，nN*.4等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Snna1d.5等差數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列an為遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，數(shù)列an為遞減數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，數(shù)列an為常數(shù)列注意點(diǎn)定義法證明等差數(shù)列時(shí)的注意事項(xiàng)(1)證明等差數(shù)列時(shí)，切忌只通過計(jì)算數(shù)列的a2a1，a3a2，a4a3等有限的幾個(gè)項(xiàng)的差后，發(fā)現(xiàn)它們都等于同一個(gè)常數(shù)，就斷言數(shù)列an為等差數(shù)列(2)用定義

29、法證明等差數(shù)列時(shí)，常采用an1and，若采用anan1d，則n2，否則n1時(shí)無意義. 入門測(cè)1思維辨析(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意nN*，都有2an1anan2.()(3)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)()(5)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)()答案(1)×(2)(3)(4)×(5)×2等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S36，a34，則公差d等于()A1 B.C2 D3答案C解析因?yàn)镾3

30、6，而a34.所以a10，所以d2.3等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a12，S312，則a6等于()A8 B10C12 D14答案C解析S33a212，a24.a12，da2a1422.a6a15d12.故選C.考法綜述等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式是高考中?？純?nèi)容，用定義判斷或證明等差數(shù)列，由n，an，Sn，a1，d五個(gè)量之間的關(guān)系考查基本運(yùn)算能力命題法1等差數(shù)列的基本運(yùn)算典例1等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn.已知a1030，a2050.(1)求通項(xiàng)an；(2)若Sn242，求n.解(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程組解得a112，d2.所以an2n10；(

31、2)由Snna1d，Sn242，得方程12n×2242，解得n11或n22(舍去)【解題法】等差數(shù)列計(jì)算中的兩個(gè)技巧(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法命題法2等差數(shù)列的判定與證明典例2數(shù)列an滿足a11，a22，an22an1an2.(1)設(shè)bnan1an，證明bn是等差數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式解(1)證明：an22an1an2，bn1bnan2an1(an1an

32、)2an1an22an1an2.bn是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列(2)由(1)得bn12(n1)，即an1an2n1，a2a11，a3a23，a4a35，anan12n3，累加法可得ana1135(2n3)(n1)2，ann22n2.【解題法】等差數(shù)列的判定方法(1)定義法：對(duì)于n2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證anan1為同一常數(shù)(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an1anan2(n3，nN*)成立(3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證anpnq.(4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證SnAn2Bn.1在等差數(shù)列an中，若a24，a42，則a6()A1 B0C1 D6答案B解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a4a22d，a24，a42，得24

33、2d，d1，a6a42d0.故選B.2.已知an是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是Sn.若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則()Aa1d>0，dS4>0Ba1d<0，dS4<0Ca1d>0，dS4<0Da1d<0，dS4>0答案B解析由aa3a8，得(a12d)(a17d)(a13d)2，整理得d(5d3a1)0，又d0，a1d，則a1dd2<0，又S44a16dd，dS4d2<0，故選B.3設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值為_答案解析由已知得S1a1，S2a1a22a11

34、，S44a1×(1)4a16，而S1，S2，S4成等比數(shù)列，所以(2a11)2a1(4a16)，整理得2a110，解得a1.4.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由解(1)證明：由題設(shè)，anan1Sn1，an1an2Sn11.兩式相減得an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)由題設(shè)，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項(xiàng)

35、為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和的性質(zhì)已知an為等差數(shù)列，d為公差，Sn為該數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)有窮等差數(shù)列中與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和相等，即a1ana2an1a3an2akank1.(2)等差數(shù)列an中，當(dāng)mnpq時(shí)，amanapaq(m，n，p，qN*)特別地，若mn2p，則2apaman(m，n，pN*)(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，即ak，akm，ak2m，仍是等差數(shù)列，公差為md(k，mN*)(4)Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差數(shù)列，公差為n2d.(5)也成等差數(shù)

36、列，其首項(xiàng)與an首項(xiàng)相同，公差是an的公差的.(6)在等差數(shù)列an中，若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n，則S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd；.若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1，則S2n1(2n1)an；S奇S偶an；.(7)若數(shù)列an與bn均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn，則.(8)若數(shù)列an，bn是公差分別為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列pan，anp，panqbn都是等差數(shù)列(p，q都是常數(shù))，且公差分別為pd1，d1，pd1qd2.注意點(diǎn)前n項(xiàng)和性質(zhì)的理解等差數(shù)列an中，設(shè)前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n，S3n的關(guān)系為2(S2nSn)Sn(S3nS2n)不要理解為2S2nSnS3n. 入門測(cè)

37、1思維辨析(1)等差數(shù)列an中，有a1a7a2a6.()(2)若已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這四個(gè)數(shù)可設(shè)為a2d，ad，ad，a2d.()(3)若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這三個(gè)數(shù)可設(shè)為：ad，a，ad.()(4)求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值時(shí)，只需將它的前n項(xiàng)和進(jìn)行配方，即得頂點(diǎn)為其最值處()答案(1)(2)×(3)(4)×2若Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a2a104，則S11的值為()A12 B18C22 D44答案C解析由題可知S1122，故選C.3在等差數(shù)列an中，若a4a6a8a10a1290，則a10a14的值為()A12 B14C16 D18答案A解析由題意知5a890

38、，a818，a10a14a19d(a113d)a812，選A項(xiàng)考法綜述等差數(shù)列的性質(zhì)是高考中的?？純?nèi)容，靈活應(yīng)用由概念推導(dǎo)出的重要性質(zhì)，在解題過程中可以達(dá)到避繁就簡(jiǎn)的目的命題法1等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用典例1等差數(shù)列an中，如果a1a4a739，a3a6a927，則數(shù)列an前9項(xiàng)的和為()A297 B144C99 D66解析由a1a4a739，得3a439，a413.由a3a6a927，得3a627，a69.所以S99×1199，故選C.答案C【解題法】應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)應(yīng)注意(1)要注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如anam(nm)d，d，S2n1(2n1)an，Sn(n，m

39、N*)等(2)如果an為等差數(shù)列，mnpq，則amanapaq( m，n，p，qN*)一般地，amanamn，必須是兩項(xiàng)相加，當(dāng)然也可以是amnamn2am.因此，若出現(xiàn)amn，am，amn等項(xiàng)時(shí)，可以利用此性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與am(或其他項(xiàng))有關(guān)的條件命題法2與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的最值問題典例2等差數(shù)列an中，設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，且a1>0，S3S11，則當(dāng)n為多少時(shí)，Sn最大？解解法一：由S3S11得3a1d11a1d，則da1.從而Snn2n(n7)2a1，又a1>0，所以<0.故當(dāng)n7時(shí)，Sn最大解法二：由于Snan2bn是關(guān)于n的二次函數(shù)，由S3S11，可知Sn

40、an2bn的圖象關(guān)于n7對(duì)稱由解法一可知a<0，故當(dāng)n7時(shí)，Sn最大解法三：由解法一可知，da1.要使Sn最大，則有即解得6.5n7.5，故當(dāng)n7時(shí)，Sn最大解法四：由S3S11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故a7a80，又由a1>0，S3S11可知d<0，所以a7>0，a8<0，所以當(dāng)n7時(shí)，Sn最大【解題法】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的方法(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)最值的方法(配方法)求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意nN*.(2)圖象法：利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來確定n的值，使Sn取得最值(3)項(xiàng)的符號(hào)法：當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，

41、滿足的項(xiàng)數(shù)n，使Sn取最大值；當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)n，使Sn取最小值，即正項(xiàng)變負(fù)項(xiàng)處最大，負(fù)項(xiàng)變正項(xiàng)處最小，若有零項(xiàng)，則使Sn取最值的n有兩個(gè)1設(shè)an是等差數(shù)列下列結(jié)論中正確的是()A若a1a2>0，則a2a3>0B若a1a3<0，則a1a2<0C若0<a1<a2，則a2>D若a1<0，則(a2a1)(a2a3)>0答案C解析若an是遞減的等差數(shù)列，則選項(xiàng)A、B都不一定正確若an為公差為0的等差數(shù)列，則選項(xiàng)D不正確對(duì)于C選項(xiàng)，由條件可知an為公差不為0的正項(xiàng)數(shù)列，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得a2，由基本不等式得>，所以C

42、正確2在等差數(shù)列an中，a1>0，a2012a2013>0，a2012·a2013<0，則使Sn>0成立的最大自然數(shù)n是()A4025 B4024C4023 D4022答案B解析等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1>0，a2012a2013>0，a2012·a2013<0，假設(shè)a2012<0<a2013，則d>0，而a1>0，可得a2012a12011d>0，矛盾，故不可能a2012>0，a2013<0.再根據(jù)S40242012(a2012a2013)>0，而S40254025a2013<0，

43、因此使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大自然數(shù)n為4024.3.已知等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若，則()A. B.C. D.答案B解析.故選B.4在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a725，則a2a8_.答案10解析由a3a4a5a6a725，得5a525，所以a55，故a2a82a510.5中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為_答案5解析設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，a120152×1010，解得a15.6在等差數(shù)列an中，a17，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為_答案

44、解析由題意知d<0且即解得1<d<.7.若等差數(shù)列an滿足a7a8a9>0，a7a10<0，則當(dāng)n_時(shí)，an的前n項(xiàng)和最大答案8解析根據(jù)題意知a7a8a93a8>0，即a8>0.又a8a9a7a10<0，a9<0，當(dāng)n8時(shí)，an的前n項(xiàng)和最大8已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a3·a4117，a2a522.(1)求通項(xiàng)an；(2)求Sn的最小值；(3)若數(shù)列bn是等差數(shù)列，且bn，求非零常數(shù)c.解(1)因?yàn)閿?shù)列an為等差數(shù)列，所以a3a4a2a522.又a3·a4117，所以a3，a4是方程x222x

45、1170的兩實(shí)根，又公差d>0，所以a3<a4，所以a39，a413，所以所以所以通項(xiàng)an4n3.(2)由(1)知a11，d4.所以Snna1×d2n2n22.所以當(dāng)n1時(shí)，Sn最小，最小值為S1a11.(3)由(2)知Sn2n2n，所以bn，所以b1，b2，b3.因?yàn)閿?shù)列bn是等差數(shù)列，所以2b2b1b3，即×2，所以2c2c0，所以c或c0(舍去)，故c.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a59，S515，則使其前n項(xiàng)和Sn取得最小值時(shí)的n_.錯(cuò)解錯(cuò)因分析等差數(shù)列的前n項(xiàng)和最值問題，可以通過找對(duì)稱軸來確定，本題只關(guān)注到nN*，并未關(guān)注到n1與n2時(shí)，S1S

46、2，導(dǎo)致錯(cuò)誤正解a59，S515，a13，d3.an3n6，Snn2n.把Sn看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為n.當(dāng)n1或n2時(shí)，S1S2且最小心得體會(huì)課時(shí)練基礎(chǔ)組1.已知等差數(shù)列an中，a7a916，S11，則a12的值是()A15 B30C31 D64答案A解析由題意可知2a8a7a916a88，S1111a6，a6，則d，所以a12a84d15，故選A.2已知Sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的nN*滿足an1ana2，且a32，則S2014()A1006×2013 B1006×2014C1007×2013 D1007×2014答案C解析在an

47、1ana2中，令n1，則a2a1a2，a10，令n2，則a322a2，a21，于是an1an1，故數(shù)列an是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，S20141007×2013.故選C.3在數(shù)列an中，若a11，a2，(nN*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)為()Aan BanCan Dan答案A解析由已知式可得，知是首項(xiàng)為1，公差為211的等差數(shù)列，所以n，即an.4設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9()A63 B45C36 D27答案B解析S39，S6S336927，根據(jù)S3，S6S3，S9S6成等差數(shù)列，S9S645，S9S6a7a8a945，故選B.5已知等差數(shù)列an中，前四項(xiàng)和為60，最后四項(xiàng)和為260，且Sn520，則a7()A20 B40C60 D80答案B解析前四項(xiàng)的和是60，后四項(xiàng)的和是260，若有偶數(shù)項(xiàng)，則中間兩項(xiàng)的和是(60260)÷48