2017年浙江省寧波市十校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）（解析版）

1、2017年浙江省寧波市十校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1已知集合P=x|1x3，Q=x|x24，則P（RQ）=（）A2，3B（2，3C1，2）D（，21，+）2已知復(fù)數(shù)z滿足z（1i）=2i，其中i為虛數(shù)單位，則|z|=（）A1BC2D43已知a，bR，則“|a|+|b|1”是“b1”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4將函數(shù)y=sin（2x）的圖象向左平移個單位長度，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸方程是（）Ax=Bx=Cx=Dx=5（x21）（2）5的展開式的常數(shù)項為（）A112B48C112D486等差數(shù)列

2、an的公差d0，且a=a，則數(shù)列an的前n項和Sn取得最大時的項數(shù)n是（）A8或9B9或10C10或11D11或127甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（）A150種B180種C300種D345種8已知直線（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在點（x，y）滿足，則實數(shù)m的取值范圍是（）A1，B，C，+）D（，9已知函數(shù)f（x）=則方程f（x+2）=1的實根個數(shù)為（）A8B7C6D510如圖，平面PAB平面，AB，且PAB為正三角形，點D是平面內(nèi)的動點，ABCD是菱形，點O為AB中點，AC與OD交

3、于點Q，I，且lAB，則PQ與I所成角的正切值的最小值為（）ABCD3二、填空題（共7小題，多空題每題6分，單空每題4分，滿分36分）11若sin=，tan0，則cos= ，tan2= 12已知拋物線 C：x2=2py（p0）上一點A（m，4）到其焦點的距離為，求p與m的值13定義：函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上的最大值與最小值之差為函數(shù)f（x）的極差，若定義在區(qū)間2b，3b1上的函數(shù)f（x）=x3ax2（b+2）x是奇函數(shù)，則a+b= ，函數(shù)f（x）的極差為 14如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 cm3，表面積為 cm215將3個小球隨機地投入編號為1，2，3，4的4個小盒中（每個盒

4、子容納的小球的個數(shù)沒有限制），則1號盒子中小球的個數(shù)的期望為 16兩非零向量，滿足：|=|，且對任意的xR，都有|+x|，若|=2|，01，則的取值范圍是 17已知a，b均為正數(shù)，且a+b=1，c1，則（1）c+的最小值為 三、解答題（共5小題，滿分74分）18設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且滿足（ab）（sinA+sinB）=（ac）sinC（1）求角B的大??；（2）若b=3，求AC邊上高h的最大值19如圖，在四棱錐PABCD中，BAD=120°，AB=AD=2，BCD是等邊三角形，E是BP中點，AC與BD交于點O，且OP平面ABCD（1）求證：PD平面ACE；

5、（2）當OP=1時，求直線PA與平面ACE所成角的正弦值20已知函數(shù)f（x）=+xlnx（m0），g（x）=lnx2（1）當m=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（2）若對任意的x11，e，總存在x21，e，使=1，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)求實數(shù)m的取值范圍21已知直線l與橢圓C： +=1（ab0）交于A、B兩點，M為線段AB的中點，延長OM交橢圓C于P（1）若直線l與直線OM的斜率之積為，且橢圓的長軸為4，求橢圓C的方程；（2）若四邊形OAPB為平行四邊形，求四邊形OAPB的面積22已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=，nN*（1）求證：an1；（2）求證：|a2nan|2017年浙江省寧波市

6、十校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷（5月份）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1已知集合P=x|1x3，Q=x|x24，則P（RQ）=（）A2，3B（2，3C1，2）D（，21，+）【考點】1H：交、并、補集的混合運算【分析】化簡集合Q，根據(jù)交集和補集的定義寫出運算結(jié)果即可【解答】解：集合P=x|1x3，Q=x|x24=x|x2或x2，則RQ=x|2x2，P（RQ）=x|1x2=1，2）故選：C2已知復(fù)數(shù)z滿足z（1i）=2i，其中i為虛數(shù)單位，則|z|=（）A1BC2D4【考點】A8：復(fù)數(shù)求?！痉治觥坷脧?fù)數(shù)的運算法則和模的計算公式即可得出【解答】解：，|z|=，故選：

7、B3已知a，bR，則“|a|+|b|1”是“b1”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【解答】解：當a=2，b=0時，滿足|a|+|b|1，但b1不成立，即充分性不成立，若b1，則|b|1，則|a|+|b|1恒成立，即必要性成立，則“|a|+|b|1”是“b1”的必要不充分條件，故選：B4將函數(shù)y=sin（2x）的圖象向左平移個單位長度，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸方程是（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考點】HJ：函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換【

8、分析】根據(jù)函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得所得函數(shù)圖象的一條對稱軸方程【解答】解：將函數(shù)y=sin（2x）的圖象向左平移個單位長度，可得y=sin（2x+）=sin（2x+）的圖象，令2x+=k+，求得x=+，kZ，可得所得函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=+，kZ，令k=1，可得所得函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為x=，故選：A5（x21）（2）5的展開式的常數(shù)項為（）A112B48C112D48【考點】DC：二項式定理的應(yīng)用【分析】利用通項公式即可得出【解答】解：（2）5的展開式的通項公式為：Tr+1=（2）5r=（2）5rxr令r=2，r=0，分別解得r=2，r=0

9、（x21）（2）5的展開式的常數(shù)項=1×1×（2）5=48故選：D6等差數(shù)列an的公差d0，且a=a，則數(shù)列an的前n項和Sn取得最大時的項數(shù)n是（）A8或9B9或10C10或11D11或12【考點】85：等差數(shù)列的前n項和【分析】由a12=a172，得到a1和a17相等或互為相反數(shù)，因為公差d小于0，所以得到a1和a17互為相反數(shù)即兩項相加等于0，又根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a9和a9的和等于a1和a17的和等于0，得到數(shù)列an的前n項和Sn取得最大值時的項數(shù)為8或9【解答】解：等差數(shù)列an的公差d0，且a=a，a1+a17=2a9=0a9=0，所以此數(shù)列從第9項開始，以后每

10、項都小于0，故Sn取得最大值時的項數(shù)n=8或n=9故選：A7甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué)若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（）A150種B180種C300種D345種【考點】D1：分類加法計數(shù)原理；D2：分步乘法計數(shù)原理【分析】選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法，1名女同學(xué)來自甲組和乙組兩類型【解答】解：分兩類（1）甲組中選出一名女生有C51C31C62=225種選法；（2）乙組中選出一名女生有C52C61C21=120種選法故共有345種選法故選D8已知直線（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在點（x，y）滿足，則實數(shù)

11、m的取值范圍是（）A1，B，C，+）D（，【考點】7C：簡單線性規(guī)劃【分析】作出平面區(qū)域，可得直線過定點D（1，1），斜率為1，結(jié)合圖象可得m的不等式，解不等式可得m的范圍【解答】解：作出，所對應(yīng)的區(qū)域（如圖ABC即內(nèi)部），直線（m+2）x+（m+1）y+1=0可化為2x+y+1+m（x+y）=0，過定點D（1，1），斜率為1，要使直線（m+2）x+（m+1）y+1=0上存在點（x，y）滿足，則直線需與區(qū)域有公共點，KCD=，KAD=1，1，解得m，故選：D9已知函數(shù)f（x）=則方程f（x+2）=1的實根個數(shù)為（）A8B7C6D5【考點】54：根的存在性及根的個數(shù)判斷【分析】令g（x）=x+2

12、，則g（x）=1或3或1或，再根據(jù)g（x）的圖象判斷各個方程的根的個數(shù)即可【解答】解：令f（x）=1得x=3或x=1或x=或x=1，f（x+2）=1，x+2=3或x+2=1或x+2=或x+2=1令g（x）=x+2，則當x0時，g（x）22=0，當x0時，g（x）22=4，作出g（x）的函數(shù)圖象如圖所示：方程x+2=3，x+2=1，x+2=均有兩解，方程x+2=1無解方程f（x+2）=1有6解故選C10如圖，平面PAB平面，AB，且PAB為正三角形，點D是平面內(nèi)的動點，ABCD是菱形，點O為AB中點，AC與OD交于點Q，I，且lAB，則PQ與I所成角的正切值的最小值為（）ABCD3【考點】LM：

13、異面直線及其所成的角【分析】由題意畫出圖形，建立空間直角坐標系，設(shè)AB=2，OAD=（0），把異面直線所成角的余弦值化為含有的三角函數(shù)式，換元后利用導(dǎo)數(shù)求最值【解答】解：如圖，不妨以CD在AB前側(cè)為例以O(shè)為原點，分別以O(shè)B、OP所在直線為y、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)AB=2，OAD=（0），則P（0，0，），D（2sin，1+2cos，0），Q（，0），設(shè)與AB垂直的向量，則PQ與l所成角為則|cos|=|=|=令t=cos（1t1），則s=，s=，令s=0，得t=8，當t=8時，s有最大值為166則cos有最大值為，此時最小值最小為正切值的最小值為=故選：B二、填空題（共7小題，多空題每題

14、6分，單空每題4分，滿分36分）11若sin=，tan0，則cos=，tan2=【考點】GI：三角函數(shù)的化簡求值【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式和二倍角公式計算即可【解答】解：sin=0，tan0，可得：在第三象限則cos=tan=那么：tan2=故答案為：，12已知拋物線 C：x2=2py（p0）上一點A（m，4）到其焦點的距離為，求p與m的值【考點】K8：拋物線的簡單性質(zhì)【分析】由拋物線方程得其準線方程，進而根據(jù)拋物線定義可知點A（m，4）到焦點的距離等于它到準線的距離，求得p，則拋物線方程可得，把點A代入拋物線方程即可求得m【解答】解：由拋物線方程得其準線方程：y=根據(jù)拋物線定義點A（m，

15、4）到焦點的距離等于它到準線的距離，即4+=，解得p=，拋物線方程為：x2=y，將A（m，4）代入拋物線方程，解得m=±213定義：函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上的最大值與最小值之差為函數(shù)f（x）的極差，若定義在區(qū)間2b，3b1上的函數(shù)f（x）=x3ax2（b+2）x是奇函數(shù)，則a+b=1，函數(shù)f（x）的極差為4【考點】BC：極差、方差與標準差【分析】由定義在區(qū)間2b，3b1上的函數(shù)f（x）=x3ax2（b+2）x是奇函數(shù)，列出方程組，能求出a=0，b=1，從而a+b=1，f（x）=x33x，由此利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的極差【解答】解：定義在區(qū)間2b，3b1上的函數(shù)f（x）=

16、x3ax2（b+2）x是奇函數(shù)，解得a=0，b=1，a+b=1，f（x）=x33x，區(qū)間2b，3b1即為2，2f（x）=3x23，由f（x）=0，得x=±1，f（2）=（2）33×（2）=2，f（1）=（1）33×（1）=2，f（1）=133×1=2，f（2）=233×2=2，f（x）max=2，f（x）min=2，函數(shù)f（x）的極差為：2（2）=4故答案為：1，414如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為24cm3，表面積為59+cm2【考點】L!：由三視圖求面積、體積【分析】由已知三視圖得到幾何體是一個三棱柱割去一個三棱錐，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)

17、計算體積和表面積【解答】解：由已知三視圖得到幾何體是一個底面直角邊分別為3，4 的直角三角形，高為5的三棱柱，割去一個底面與三棱柱底面相同，高為3的三棱錐，所以該幾何體的體積為： =24cm3；表面積為：2×+5×5=59+cm2；故答案為：24；59+15將3個小球隨機地投入編號為1，2，3，4的4個小盒中（每個盒子容納的小球的個數(shù)沒有限制），則1號盒子中小球的個數(shù)的期望為【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差【分析】將3個小球隨機地投入編號為1，2，3，4的4個小盒中，每個小球有4種不同的放法，共有43種；1號盒子中小球的個數(shù)的可能取值為0，1，2，3；求出對應(yīng)的概率

18、值，寫出隨機變量的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值【解答】解：將3個小球隨機地投入編號為1，2，3，4的4個小盒中，每個小球有4種不同的放法，共有43=64種；則1號盒子中小球的個數(shù)的可能取值為0，1，2，3；且P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=；則隨機變量的分布列為：0123P數(shù)學(xué)期望為E（）=0×+1×+2×+3×=16兩非零向量，滿足：|=|，且對任意的xR，都有|+x|，若|=2|，01，則的取值范圍是（1），（+1）【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算【分析】由向量的平方即為模的平方，化簡整理可得x22+2x+20恒成立，可得4（）24

19、2（2）0，（為，的夾角），即有（cos）20，可得cos=，sin=，可設(shè)|=|=2，|=1，設(shè)=（2，0），=（1，），=，C在單位圓上運動，由=+（1）可得P在線段AB上運動（不含端點），求出AB的方程，運用點到直線的距離公式可得O到AB的距離，即可得到所求最值和范圍【解答】解：對任意的xR，都有|+x|，即有（+x）2（）2，即為2+2x+x222+2，由|=|，可得x22+2x+20恒成立，可得4（）242（2）0，（為，的夾角），即為|4cos2|4cos+|40，即有（cos）20，（cos）20，可得cos=，sin=，可設(shè)|=|=2，|=1，設(shè)=（2，0），=（1，），=，C

20、在單位圓上運動，由=+（1）可得P在線段AB上運動（不含端點），直線AB的方程為y0=（x2），即為x+y2=0由原點到直線AB的距離為=，即有單位圓上的點到線段AB的距離的最小值為1，最大值為+1，則=的范圍是（1），（+1）故答案為：（1），（+1）17已知a，b均為正數(shù)，且a+b=1，c1，則（1）c+的最小值為3【考點】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義【分析】通過置換1可知1，進而再次利用基本不等式可得結(jié)論【解答】解：因為a+b=1，所以1=+2=，當且僅當=即a=1、b=2時取等號，所以（1）c+c+=（c1+1）3，當且僅當c=2時取等號，故答案為：3三、解答題（共5小題，滿分74分）

21、18設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且滿足（ab）（sinA+sinB）=（ac）sinC（1）求角B的大小；（2）若b=3，求AC邊上高h的最大值【考點】HP：正弦定理【分析】（1）由已知及正弦定理可得：a2+c2b2=ac，利用余弦定理可求cosB=，結(jié)合范圍B（0，），可求B的值（2）由余弦定理，基本不等式可求9ac，利用三角形的面積公式可求高h的最大值【解答】（本題滿分為14分）解：（1）（ab）（sinA+sinB）=（ac）sinC，由正弦定理可得：（ab）（a+b）=（ac）c，可得：a2+c2b2=ac，2分cosB=，4分B（0，），B=7分（2）9=a2+

22、c22accosB=a2+c2acac，當且僅當a=c時等號成立，10分acsinB=bh，12分h=，即高h的最大值為14分19如圖，在四棱錐PABCD中，BAD=120°，AB=AD=2，BCD是等邊三角形，E是BP中點，AC與BD交于點O，且OP平面ABCD（1）求證：PD平面ACE；（2）當OP=1時，求直線PA與平面ACE所成角的正弦值【考點】MI：直線與平面所成的角；LS：直線與平面平行的判定【分析】（1）推導(dǎo)出ABCACD，O是BD中點，連結(jié)OE，則OEPD，由此能證明PD面ACE（2）由BDAC，PO面ABCD，以O(shè)為原點，OB，OC，OP為坐標軸建立空間直角坐標系，

23、利用向量法能求出直線PA與平面ACE所成角的正弦值【解答】證明：（1）在四棱錐PABCD中，BAD=120°，AB=AD=2，BCD是等邊三角形，ABCACD，E是BP中點，AC與BD交于點O，O是BD中點，連結(jié)OE，則OEPD，PD面ACE，OE面ACE，PD面ACE解：（2）BDAC，PO面ABCD，以O(shè)為原點，OB，OC，OP為坐標軸建立空間直角坐標系，則P（0，0，1），A（0，1，0），B（，0，0），C（0，3，0），E（，0，），=（，1，），=（，3，），=（0，1，1），設(shè)平面ACE的一個法向量=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，0，），設(shè)直線PA與平面ACE

24、所成角為，則sin=，直線PA與平面ACE所成角的正弦值為20已知函數(shù)f（x）=+xlnx（m0），g（x）=lnx2（1）當m=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（2）若對任意的x11，e，總存在x21，e，使=1，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)求實數(shù)m的取值范圍【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）當m=1時，求得f（x）的解析式，求導(dǎo)，由f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，且f（1）=0，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（2）由題意構(gòu)造輔助函數(shù)，h（x）=+lnx，（x）=，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得（x）2，則h（x），e，即x2lnxmx2（elnx），在1，e上恒成立，分別構(gòu)造函數(shù)，

25、求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別求得x2lnx最大值及x2（elnx）的最小值，即可求得實數(shù)m的取值范圍【解答】解：（1）當m=1時，數(shù)f（x）=+xlnx，求導(dǎo)f（x）=+lnx+1，由f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，且f（1）=0，當x1時，f（x）0，當0x1時，f（x）0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間（1，+）；（2）由題意設(shè)h（x）=+lnx，（x）=，（x）=0，在1，e恒成立（x）=在1，e上單調(diào)遞增，（x）2，h（x），e，即+lnxe，在1，e上恒成立，即x2lnxmx2（elnx），在1，e上恒成立，設(shè)p（x）=x2lnx，則p（x）=2xlnx0，在1，e上恒成立，p（x）在1，e

26、上單調(diào)遞減，則mp（1）=，設(shè)q（x）=x2（elnx），q（x）=x（2x12lnx）x（2e12lnx）0在1，e上恒成立，q（x）在1，e上單調(diào)遞增，則mq（1）=e，綜上所述，m的取值范圍，e21已知直線l與橢圓C： +=1（ab0）交于A、B兩點，M為線段AB的中點，延長OM交橢圓C于P（1）若直線l與直線OM的斜率之積為，且橢圓的長軸為4，求橢圓C的方程；（2）若四邊形OAPB為平行四邊形，求四邊形OAPB的面積【考點】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系【分析】（1）將A，B代橢圓方程，作差，求得值A(chǔ)B斜率，由直線OM的斜率kOM=，則即可求得=，a=2，則b=1，即可求得橢圓方程；（2）分類討論，當直線l的斜率不存在時，當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，由題意可知P（x1+x2，y1+y2），根據(jù)韋達定理，即可求得P點坐標，代入橢圓方程，4m2=