高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問題熱點(diǎn)一定點(diǎn)問題解決圓錐曲線中的定點(diǎn)問題應(yīng)注意(1)分清問題中哪些是定的，哪些是變動的；(2)注意“設(shè)而不求”思想的應(yīng)用，引入?yún)⒆兞浚詈罂茨芊癜炎兞肯ィ?3)“先猜后證”，也就是先利用特殊情況確定定點(diǎn)，然后驗(yàn)證，這樣在整理式子時(shí)就有了明確的方向.例1(2019·汕尾質(zhì)檢)已知P(0,2)是橢圓C：1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C的離心率e.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)P的兩條直線l1，l2分別與C相交于不同于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，若l1與l2的斜率之和為4，則直線AB是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請

2、說明理由.解(1)由題意可得解得a，b2，c，橢圓的方程為1.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y并整理，可得(3k22)x26ktx3t2120，36(kt)24×(3k22)(3t212)>0，即24(6k2t24)>0，則x1x2，x1x2，由l1與l2的斜率之和為4，可得4，又y1kx1t，y2kx2t，2k2k4，化簡可得tk2，ykxk2k(x1)2，直線AB經(jīng)過定點(diǎn)(1，2).當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為xm，A(m，y1)，B(m，y2)，又點(diǎn)A，B均在橢圓上，A，B關(guān)于x

3、軸對稱，y1y20，m1，故直線AB方程為x1，也過點(diǎn)(1，2)，綜上直線AB經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)為(1，2).跟蹤演練1(2019·攀枝花模擬)已知拋物線C：y22px(p>0)上一點(diǎn)P(4，t)(t>0)到焦點(diǎn)F的距離等于5.(1)求拋物線C的方程和實(shí)數(shù)t的值；(2)若過F的直線交拋物線C于不同的兩點(diǎn)A，B(均與P不重合)，直線PA，PB分別交拋物線的準(zhǔn)線l于點(diǎn)M，N.試判斷以MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由.解(1)由拋物線定義可知|PF|45，解得p2，故拋物線C的方程為y24x，將P(4，t)(t>0)代入拋物線方程解得t4.(2)以MN為直徑的圓一定過點(diǎn)F

4、，理由如下：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，設(shè)直線AB的方程為xmy1(mR)，代入拋物線C：y24x，化簡整理得y24my40，則由(1)知P(4,4)，所以直線PA的方程為y4(x4)(x4)，令x1得y，即M，同理可得N，kMF·kNF·1，MFNF，故以MN為直徑的圓過點(diǎn)F.(也可用·0).熱點(diǎn)二定值問題求定值問題常見的方法有兩種(1)從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無關(guān)；(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.例2(2019·閩粵贛三省十校聯(lián)考)已知橢圓C：1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0，)

5、，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0).(1)求橢圓C的方程；(2)P，N是C上異于M的兩點(diǎn)，若直線PM與直線PN的斜率之積為，證明：M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).(1)解因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)(0，)，所以b，又因?yàn)閑，所以，又c2a2b2，解得a2，b，所以橢圓C的方程為1.(2)證明設(shè)P，M，N三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(xP，yP)，(xM，yM)，(xN，yN)，設(shè)直線PM，PN斜率分別為k1，k2，則直線PM方程為yyPk1(xxP)，由方程組消去y，得(34k)x28k1(k1xPyP)x4kx8k1xPyP4y120，由根與系數(shù)的關(guān)系可得xMxP，故xMxP，同理可得xNxP，

6、又k1·k2，故xNxP，則xNxPxM，從而xNxM0，即M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù)0.跟蹤演練2(2019·揭陽模擬)已知點(diǎn)P在橢圓C：1(a>b>0)上，橢圓C的焦距為2.(1)求橢圓C的方程；(2)斜率為定值k的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足|OA|2|OB|2的值為常數(shù)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).求k的值以及這個(gè)常數(shù)；寫出一般性結(jié)論(不用證明)：斜率為定值k的直線l與橢圓1(a>b>0)交于A，B兩點(diǎn)，且滿足|OA|2|OB|2的值為常數(shù)，則k的值以及這個(gè)常數(shù)是多少？解(1)由點(diǎn)P在橢圓上得1,2c2，3b22a22a2b2，c1，又a2

7、b2c2，3b22(b21)2(b21)b2，2b43b220，解得b22，得a23，橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為ykxt，聯(lián)立1，得(3k22)x26ktx3t260，24(3k2t22)>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2，又y2，y2，|OA|2|OB|2(xy)(xy)(xx)4(x1x2)22x1x244×4，要使|OA|2|OB|2為常數(shù)，只需18k2120，得k2，|OA|2|OB|2×45，k±±，這個(gè)常數(shù)為5；k±，這個(gè)常數(shù)為a2b2.熱點(diǎn)三存在性問題存在性問題的求解策略(1)若給出

8、問題的一些特殊關(guān)系，要探索一般規(guī)律，并證明所得規(guī)律的正確性，通常要對已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括一般規(guī)律；(2)若只給出條件，求“不存在”“是否存在”等語句表述問題時(shí)，一般先對結(jié)論給出肯定存在的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理，從而得出結(jié)論.例3已知橢圓C：1(a>b>0)的上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上焦點(diǎn)F1到直線4x3y120的距離為3，橢圓C的離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓E：1，設(shè)過點(diǎn)M(0,1)，斜率存在且不為0的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，試問y軸上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解(1)由已知橢圓C的方程

9、為1(a>b>0)，設(shè)橢圓的上焦點(diǎn)F1(0，c)，由F1到直線4x3y120的距離為3，得3，所以c1，又橢圓C的離心率e，所以，又a2b2c2，求得a24，b23.橢圓C的方程為1.(2)存在.理由如下：由(1)得橢圓E：1，設(shè)直線AB的方程為ykx1(k0)，聯(lián)立消去y并整理得(4k21)x28kx120，(8k)24(4k21)×12256k248>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.假設(shè)存在點(diǎn)P(0，t)滿足條件，由于，所以PM平分APB.所以直線PA與直線PB的傾斜角互補(bǔ)，所以kPAkPB0.即0，即x2(y1t)x1(y2t)

10、0.將y1kx11，y2kx21代入上式，整理得2kx1x2(1t)(x1x2)0，所以2k·0，整理得3kk(1t)0，即k(4t)0，因?yàn)閗0，所以t4.所以存在點(diǎn)P(0,4)，使得.跟蹤演練3(2019·涼山模擬)橢圓長軸右端點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為M，O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且·1，離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，判斷是否存在直線l，使點(diǎn)F恰為PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.解(1)設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)，半焦距為c.則A(a,0)，M(0，b)，F(xiàn)(c,0)，(c，b)，

11、(ac,0)，由·1，即acc21，又，a2b2c2，解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)F為MPQ的垂心，MFPQ，又M(0,1)，F(xiàn)(1,0)，kMF1，kPQ1，設(shè)直線PQ：yxm(m1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線方程代入y21，得3x24mx2m220，令(4m)212(2m22)>0，解得<m<，則x1x2，x1x2，又，(1x1，y1)，(x2，y21)，x2x1x2y1y2y10，即(1m)·(x1x2)2x1x2mm20，(1m)·2·mm20，即3m2m40，解得m或m1(舍去)，存在直線l：yx使F為

12、MPQ的垂心.真題體驗(yàn)(2019 ·全國，理，21)已知曲線C：y，D為直線y上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.(1)證明設(shè)D，A(x1，y1)，則x2y1.由yx，所以切線DA的斜率為x1，故x1.整理得2tx12y110.設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直線AB的方程為2tx2y10.所以直線AB過定點(diǎn).(2)解由(1)得直線AB的方程為ytx.由可得x22tx10，4t24>0，于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2

13、)12t21，|AB|x1x2|·2(t21).設(shè)d1，d2分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則d1，d2，因此，四邊形ADBE的面積S|AB|(d1d2)(t23).設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M.由于，而(t，t22)，與坐標(biāo)為(1，t)的向量平行，所以t(t22)t0.解得t0或t±1.當(dāng)t0時(shí)，S3；當(dāng)t±1時(shí)，S4.因此，四邊形ADBE的面積為3或4.押題預(yù)測已知拋物線E：y24x，圓C：(x3)2y21.(1)若過拋物線E的焦點(diǎn)F的直線l與圓C相切，求直線l方程；(2)在(1)的條件下，若直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，x軸上是否存在點(diǎn)M(t,0)使AMOBM

14、O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解(1)由題知拋物線E的焦點(diǎn)為F(1,0)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)F(1,0)的直線不可能與圓C相切；所以過拋物線焦點(diǎn)與圓相切的直線的斜率存在，設(shè)直線斜率為k，則所求的直線方程為yk(x1)，即kxyk0，所以圓心到直線l的距離為d，當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，有d1，即1，解得k±，所以所求的切線方程為y(x1)或y(x1).(2)由(1)知，不妨設(shè)直線l：y(x1)，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組得x214x10，顯然>0，所以x1x214，x1·x21，假設(shè)存在點(diǎn)M(t,

15、0)使AMOBMO，則kAMkBM0.而kAM，kBM，所以kAMkBM0y1x2y2x1(y1y2)t02x1x2(x2x1)(x1x22)t0，即214(142)t0t1，故存在點(diǎn)M(1,0)符合條件.當(dāng)直線l：y(x1)時(shí)，由對稱性易知點(diǎn)M(1,0)也符合條件.綜上可知在(1)的條件下，存在點(diǎn)M(1,0)，使AMOBMO.A組專題通關(guān)1.已知點(diǎn)(1，)，都在橢圓C：1(a>b>0)上.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)M(0,1)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q(異于頂點(diǎn))，記橢圓C與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A1，A2，若直線A1P與A2Q交于點(diǎn)S，證明：點(diǎn)S恒在直線y4上.(

16、1)解由題意得得故橢圓C的方程為1.(2)證明由題意可設(shè)直線l的方程為ykx1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(y1，y2±2).聯(lián)立整理得(k22)x22kx30.所以x1x2，x1x2，則2kx1x23(x1x2).由題意不妨設(shè)A1(0,2)，A2(0，2)，則直線A1P的方程為x(y2)，直線A2Q的方程為x(y2).聯(lián)立整理得(y22)x1(y2)(y12)x2(y2)，所以(3x1x2)y4kx1x26x12x2.把代入上式，得(3x1x2)y4kx1x26x12x26(x1x2)6x12x212x14x2，當(dāng)x23x1時(shí)，可得y4，當(dāng)x23x1時(shí)，即A1PA2Q不符合

17、題意.綜上，故點(diǎn)S恒在直線y4上.2.(2019·臨川九校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，長軸長為8，橢圓在x軸上的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)M(1,3)的直線與橢圓E交于不同的A，B兩點(diǎn)，交直線yx于點(diǎn)N，若m，n，求證：mn為定值，并求出此定值.解(1)因?yàn)殚L軸長為8，所以2a8，a4，又因?yàn)閮蓚€(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，所以ba2，由于橢圓焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，N，由m，得m(1x1，3y1)，所以x1，y1，所以A，因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓1

18、上，所以得到1，得到9m296m48x0；同理，由n，可得9n296n48x0，所以m，n可看作是關(guān)于x的方程9x296x48x0的兩個(gè)根，所以mn，為定值.3.(2019·上饒模擬)已知圓C1的方程為(x2)2y232，點(diǎn)C2(2,0)，點(diǎn)M為圓C1上的任意一點(diǎn)，線段MC2的垂直平分線與線段MC1相交于點(diǎn)N.(1)求點(diǎn)N的軌跡C的方程；(2)已知點(diǎn)A(0,2)，過點(diǎn)A且斜率為k的直線l交軌跡C于P，Q兩點(diǎn)，以O(shè)P，OQ為鄰邊作平行四邊形OPBQ，是否存在常數(shù)k，使得點(diǎn)B在軌跡C上？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由.解(1)|NC2|NM|，|NC1|NC2|NC1|NM|C1

19、M|4>|C1C2|，知點(diǎn)N的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，則a2，c2，b24，點(diǎn)N的軌跡C的方程為1，(2)設(shè)直線l：ykx2，與橢圓聯(lián)立消去y，得(2k21)x28kx80，128k232(2k21)>0，k2>，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，y1y2k(x1x2)4，(x1x2，y1y2)，點(diǎn)B，代入橢圓方程2228，得k2(舍負(fù))，又k2滿足>0，k±，存在常數(shù)k±，使得平行四邊形OPBQ的頂點(diǎn)B在橢圓上.B組能力提高4.(2019·瀘州質(zhì)檢)已知橢圓C：1(a>b>0)，點(diǎn)P1(1,1)，P2(

20、0，)，P3(，)，P4(，)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)R(x0，y0)是橢圓C上的動點(diǎn)，由原點(diǎn)O向圓(xx0)2(yy0)22引兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，試問OPQ的面積是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.解(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，故由題設(shè)可知C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn)，<1，則圖象不經(jīng)過點(diǎn)P1，故P2在橢圓上，b，1，解得a26，b23，故橢圓C的方程為1.(2)直線OP：yk1x，與圓R相切，即有(x2)k2x0y0k1y20，同理直線OQ：yk2x與圓R相切，可得(x2)k2x0y0k2y20，即k1，k2為關(guān)于k的方程(x2)k22x0y0ky20的兩個(gè)不等的實(shí)根，可得k1k2，點(diǎn)R(x0，y0)在橢圓C上，1，k1k2，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，|OP|·|x1|，點(diǎn)Q到直線OP的距離d，|x1|，|x2|，OPQ的面積S|OP|·d|x1x2|·|k1k