(空間幾何體的表面積及體積)

1、強(qiáng)雙基得基礎(chǔ)分I 環(huán)程度知識(shí)能否憶起i.（教材習(xí)題改編）側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐,3 + *3 2 A. a4底面邊長(zhǎng)為a時(shí)，該三棱錐的全面積是 （畤2柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S 側(cè)=2 nrlV = Sh= n 2h圓錐S 側(cè)=nlV= Sh= 3 n2h = g n剤 I2 r2圓臺(tái)S 側(cè)=n1 + r 2衛(wèi)V=3（S 上+ S下+pS上 S）h12 2 =3 “+ r2+12）h直棱柱S 側(cè)=ChV = Sh正棱錐1S 側(cè)=qCh1V=護(hù)正棱臺(tái)1S側(cè)=2（C+ C ）hV=g（S 上+ S下+ US上 S）h球2S球面=4 tR43V= 3小題能否全取D.j4解析：選

2、A ：側(cè)面都是直角三角形，故側(cè)棱長(zhǎng)等于2 a，二 S 全=43a2+ 3 x3 +2ha2 已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長(zhǎng)都為3 2，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為（）C 72 nB 36 nA 12 nD 108 n解析：選B 依題意得，該正四棱錐的底面對(duì)角線長(zhǎng)為3,2 X ：2= 6，高為因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該四棱錐的外接球的球心為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3，所以其外接球的表面積等于4 nX 32= 36 n.何體的體積為8,高為5的等3某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6，高為5的等腰三角形，則該幾B . 8

3、0C. 64D . 240解析：選B結(jié)合題意知該幾何體是四棱錐，棱錐底面是長(zhǎng)和寬分別為8和6的矩形,棱錐的高是 5,1可由錐體的體積公式得V= 1X 8 X 6X 5 = 80.3則該圓錐的底面直徑為4.（教材習(xí)題改編）表面積為3 n的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓,解析：設(shè)圓錐的母線為I,圓錐底面半徑為r,r r2則 nl + n = 3 n n = 2 n.解得r = 1,即直徑為2.答案：25某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，側(cè)視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的表面積是解析：由三視圖可知此幾何體的表面積分為兩部分：底面積面積，為2 3;側(cè)面積為一個(gè)完整的圓錐的側(cè)

4、面積，且圓錐的母面半徑為1,所以側(cè)面積為 2 n兩部分加起來(lái)即為幾何體的表面積，為惻視圖即俯視圖的線長(zhǎng)為2,底答案：2( n+ ,3)1幾何體的側(cè)面積和全面積:對(duì)側(cè)面積公式的記憶,幾何體側(cè)面積是指（各個(gè)）側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和.最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖來(lái)進(jìn)行.2 .求體積時(shí)應(yīng)注意的幾點(diǎn):（1）求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.（2）與三視圖有關(guān)的體積問(wèn)題注意幾何體還原的準(zhǔn)確性及數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性.3 .求組合體的表面積時(shí)注意幾何體的銜接部分的處理.關(guān)幾何體的表面積典題導(dǎo)入學(xué)技法得境亮分例1（2012安徽高考）某幾何體的三視圖如圖所示，

5、該幾何體的表面積是側(cè)視閹（如圖所示）自主解答由幾何體的三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱在四邊形 ABCD中，作 DE丄AB,垂足為 E,貝U DE = 4, AE = 3，貝U AD = 5.所以其表面積為 2 X 1 X (2 + 5) X 4+ 2X 4 + 4 X 5+ 4X 5 + 4 X 4= 92.答案92-由題悟法1 以三視圖為載體的幾何體的表面積問(wèn)題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系 及數(shù)量.2 多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.3 旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用.EJ以題試法視圖、側(cè)視圖物的表面積為止視

6、圖 側(cè)視圖帽視圖1 . （2012河南模擬）如圖是某寶石飾物的三視圖，已知該飾物的正 x/3都是面積為，且一個(gè)內(nèi)角為60的菱形，俯視圖為正方形，那么該飾（ ）A. 3B. 2,3C. 4 3D. 4解析：選D 依題意得，該飾物是由兩個(gè)完全相同的正四棱錐對(duì)接而成，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)面上的高均等于菱形的邊長(zhǎng)，因此該飾物的表面積為8 X 1X 1 X 1 = 4.1 1幾何體的體積由典題導(dǎo)入例2（1）（2012廣東高考）某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為（）惻視麗B. 48 nA . 72 nC . 30 nD . 24 n(2)(2012山東高考)如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1的棱

7、長(zhǎng)為1, E的一點(diǎn)，則三棱錐 A DED1的體積為 .自主解答(1)為線段B1C上圓錐的底面半由三視圖知，該幾何體是由圓錐和半球組合而成的，直觀圖如圖所示, 徑為3，高為4,半球的半徑為3.1v=v半球+ v圓錐=21 33.兀4_32Tt 43= 30 n.正觀圖h6 H側(cè)觀圖1 111VA DED1= VE ADD1 = 3 X SMDD 1 X CD = 3X 3 X 丄由題悟法 計(jì)算柱、錐、臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的 截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解. =-1答案(1)C(2) 6一題多變r(jià)本例(1)中幾何體的三視圖若變?yōu)?/p>

8、：T俯視圖2V= V圓柱一V圓錐=nX 3 X 4其體積為解析：由三視圖還原幾何體知，該幾何體為圓柱與圓錐的組合體，其體積一 1nX 32X 4 = 24n.答案：24 n2 注意求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì) 算常用的方法，應(yīng)熟練掌握.可選擇容易計(jì)算的方式等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面.求體積時(shí),來(lái)計(jì)算;利用“等積法”可求“點(diǎn)到面的距離”.以題試法PD垂直于底面 ABCD , N為PB（1）（2012長(zhǎng)春調(diào)研）四棱錐P ABCD的底面ABCD為正方形，且中點(diǎn)，則三棱錐 P ANC與四棱錐P ABCD的體積比為（）解析：選C

9、 設(shè)正方形ABCD面積為S, PD = h，則體積比為1 1 1 1 1 1“1Sh 1SP-3丹 11= 4.1Sh（2012浙江模擬）如圖，是某幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積是B. 24A . 3232解析：選B 此幾何體是高為2的棱柱，底面四邊形可切割成為一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形和2個(gè)直角邊1分別為3,1的直角三角形，其底面積S= 9+ 2 X步X 3X 1 = 12,所以幾何體體積 V = 12X 2 = 24.與球有關(guān)的幾何體的表面積與體積問(wèn)題典題導(dǎo)入例3（2012新課標(biāo)全國(guó)卷）已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球 O的球面上， ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,A.6SC為球O的直徑，且

10、 SC= 2,B普則此棱錐的體積為（）C.D.自主解答由于三棱錐 S ABC與三棱錐 0 ABC底面都是厶的中點(diǎn)，因此三棱錐S ABC的高是三棱錐 O ABC高的2倍,所以三棱錐S ABC的體積也是三棱錐O ABC體積的2倍.ABC , 0 是 SC在三棱錐O ABC中，其棱長(zhǎng)都是1,如圖所示,S如c= X AB乞乎，4 4咼0D =Vs ABC= 2Vo ABC= 2 X答案A-由題悟法1解決與球有關(guān)的“切”、“接”問(wèn)題，一般要過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或過(guò)線作截面，把空間 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系.2 記住幾個(gè)常用的結(jié)論：正方體的棱長(zhǎng)為 a,球的半徑為R, 正方體的

11、外接球，則 2R= 3a； 正方體的內(nèi)切球，則 2R= a; 球與正方體的各棱相切，則2R= 2a.長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a, b, c,外接球的半徑為 R,貝U 2R= .a2 + b2 + c2.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為1 : 3.占以題試法3. （1）（2012瓊州模擬）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為（）I*正視圏 測(cè)觀圖俯視圖A . 2 ,3n16 n6 / 16fj（2）（2012濰坊模擬）如圖所示，已知球 O的面上有四點(diǎn) A、B、C、D , DA丄平面ABC, AB丄 BC, DA=AB = BC =2，則

12、球O的體積等于解析：（1）由三視圖可知幾何體的直觀圖如圖所示.其中側(cè)面 DBC丄底面ABC,取BC的中點(diǎn)O1,連接AO1ABC 且 D01= . 3, AO1= 1 , BO1 = O1C = 1.在 Rt ABO1 和 RtAACO1 中，AB = AC= 2,又 BC = 2,.Z BAC= 90知DOi丄底面 BC為底面ABC外接圓的直徑，O1為圓心,又 DO1底面 ABC,：球心在 DO1上,即厶BCD的外接圓為球大圓，設(shè)球半徑為R,則(3 R)2 + 12= R2 , R=S 球=4tR2= 4nX 13=如圖，以DA , AB, BC為棱長(zhǎng)構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球?yàn)镽,則正方體

13、的體對(duì)角線長(zhǎng)即為球O的直徑，所以|CD| =所以r=26.故球O的體積V =坪=6 n.3錯(cuò)誤！ = 2R,球O的半徑答案：(1)D(2) ,6n高分瞳礙襄4 xy= 8 2,當(dāng)且僅當(dāng)x= y= 2 2時(shí)，周長(zhǎng)此時(shí)正方形ABCD沿AC折起，/ OA = OB = OC = OD ,三棱錐D ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在以 0BC有最小值.為球心，以2為半徑的球上,此球表面積為 4 nX 22= i6 n.2. （20i2 蘇高考）如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD AiBiCiDi中，ABAAi= 2 cm,則四棱錐 A BBiDiD的體積為cm3.解析：由題意得22 iVA BBiDiD = 3VABD Ai

14、BiDi = 3x 2x 3X 3X 2 = 6.=AD = 3 cm,答案：63. (20i3深圳模擬)如圖，平行四邊形ABCD 中，AB 丄 BD ,AB= 2, BD = 2,沿 BD 將厶 BCD 折起,使二面角A BD C是大小為銳角 a的二面角，設(shè)C在平面ABD上的射影為0.(i)當(dāng)a為何值時(shí)，三棱錐 C OAD的體積最大？最大值為多少?當(dāng)AD丄BC時(shí)，求a的大小.解：由題知CO丄平面 ABD ,.CO丄BD, 又 BD 丄 CD , COn CD = C,.BD 丄平面 COD.BD _L OD.zODC = aVcAOD = Szaod OC = 1X 2 OD BD OC=-

15、6 OD oc=CD cos a CD sinsin 2 a當(dāng)且僅當(dāng)sin 2a= 1,即卩a= 45時(shí)取等號(hào). 當(dāng)a= 45時(shí)，三棱錐C OAD的體積最大，最大值為2連接OB,CABVCO丄平面 ABD , .CO 丄 AD ,又AD丄BC,AD丄平面 BOC.AD 丄 OB.dOBD + ZADB = 90 故ZOBD = ZDAB，又/ABD = ZBDO = 90；Rt KBD sRt 伯DO.OD = BDBD = AB. OD血一皤1QD = AB =2= 1，,OD 1在 RtZCOD 中，cos a= cd = 2，得 a= 60 1.兩球Oi和。2在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD

16、AiBiCiDi的內(nèi)部，且互相外切，若球 Oi與過(guò)點(diǎn)A的正方體的三個(gè)面相切， 球O2與過(guò)點(diǎn)C1的正方體的三個(gè)面相切， 則球O1和O2的表面積之和的最小值為 ()A . (6 3 ,3)nB . (8 4 .3) nC . (6 + 3 .3) nD . (8 + 4 .3) n解析：選A 設(shè)球O1、球。2的半徑分別為1、2,則，3+ r 1 + 3r2+ 匕=3,1 +2 = T,從而 41+務(wù)4 n 2 2 = (6 3 3) n.2 .已知某球半徑為 R,則該球內(nèi)接長(zhǎng)方體的表面積的最大值是（）22A . 8RB. 6R22C . 4RD . 2R解析：選A 設(shè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為

17、a、b、c,貝U a2 + b2 + c2= （2R）2，所以S表=2（ab +bc+ ac）w 2（a2+ b2 + c2）= 8R2,當(dāng)且僅當(dāng) a= b = c= 233R 時(shí)，等號(hào)成立.3一個(gè)半圓柱的的表面積是3右圖是一個(gè)幾何體的三視圖（側(cè)視圖中的弧線是半圓），則該幾何體（ ）A . 20+ 3 nB . 24 + 3 nC . 20+ 4 nD . 24 + 4 n解析：選A 根據(jù)幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)正方體和組合體，其中，正方體的棱長(zhǎng)為2，半圓4柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2.故該幾何體的表面積為 4 X 5 + 2Xn+ 2 X *n= 20 + 3 n.4. （2012

18、湖北高考）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開(kāi)立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開(kāi)立方除之，即立圓徑.“開(kāi)立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個(gè)近似3 /i6公式d-V.人們還用過(guò)一些類似的近似公式，根據(jù)n= 3.141 59判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是（）解析：選D-V= 3 nR，2R=d=通過(guò)計(jì)算得$0.132 08, n 96 20.090 1 , 60.001 0, 6 0.000 8，因此最接近的為 D 選項(xiàng).nn 157n 115. （2012上海高考）如圖，AD與BC是四面體 ABCD中互相垂直的棱，AD = 2c,且 AB+ BD= AC + CD = 2a，其中a, c為常數(shù)，則四面體 ABCD的值是.BC = 2.若體積的最大解析：如圖過(guò)點(diǎn)B在平面BAD中作BE丄AD，垂足為