最新重點(diǎn)小學(xué)的奧數(shù)同余問題

1、同余問題（一）在平時(shí)解題中，我們經(jīng)常會(huì)遇到把著眼點(diǎn)放在余數(shù)上的問題。如：現(xiàn)在 時(shí)刻是7時(shí)30分，再過52小時(shí)是幾時(shí)幾分？我們知道一天是 24小時(shí)， 5224 = 24,也就是說52小時(shí)里包含兩個(gè)整天再加上4小時(shí)，這樣就在7 時(shí)30分的基礎(chǔ)上加上4小時(shí)，就是11時(shí)30分。很明顯這個(gè)問題的著眼點(diǎn)是放 在余數(shù)上了。1 .同余的表達(dá)式和特殊符號(hào)37和44同除以7,余數(shù)都是2,把除數(shù)7稱作“模7”，37、44對(duì)于模 7同余。記作：37 =44 （mod7“三”讀作同余。一般地，兩個(gè)整數(shù)a和b,除以大于1的自然數(shù)m所得的余數(shù)相同，就 稱a、b對(duì)于模m同余，記作：口三6（mod2 .同余的性質(zhì)（1）a三。（

2、mod制）（每個(gè)整數(shù)都與自身同余，稱為同余的反身性。）（2）若"b（mQd沖，那么（這稱作同余的對(duì)稱性）（3）若口三NmodM,方三貝口三4mod沖（這稱為同余的 傳遞性）（4）若白三b（modM,。三d（mod沖，則口±。三狂d（mod然）（這稱 為同余的可加性、可減性）口"三bxdgod/）（稱為同余的可乘性）（5）若。三b（mod,則/三始（mod耀），n為正整數(shù)，同余還有一個(gè) 非常有趣的現(xiàn)象：如果一工：.那么制。一團(tuán)(白-A的差一定能被k整除) 這是為什么呢？&a = 2>(mod t)a = +aA , 仇二弓)b = 33 +qa-b =

3、 kqx +/i T 用口 +r2)二樹i 十八一化矽一弓=孫一皿= kgqjk也就是幼、口的公約數(shù)，所以有 雄(90)H T)下面我們應(yīng)用同余的這些性質(zhì)解題。【例題分析】例1.用412、133和257除以一個(gè)相同的自然數(shù)，所得的余數(shù)相同，這個(gè)自然 數(shù)最大是幾？分析與解答：假設(shè)這個(gè)自然數(shù)是a,因?yàn)?12、133和257除以a所得的余數(shù)相同，所以0(412-電，碼412-257), 口|(257-陶,說明a是以上三個(gè)數(shù)中任意兩數(shù)差的約數(shù)，要求最大是幾，就是求這三個(gè)差的最大公約數(shù)。(155, 124, 279) = 31所以a最大是31。例2. 249x3懦*234除以19,余數(shù)是幾？分析與解答:

4、如果把三個(gè)數(shù)相乘的積求出來再除以19,就太麻煩了，利用同余思想解 決就容易了。249 = 2(mod 19)383 = 8(mod 19)234 三 6(mod 19)234x 388x249 6 x8x 2(modl9)6x8x2 = l(modl9)所以- 2-4 】二：此題應(yīng)用了同余的可乘性，同余的傳遞性。2222 .一 #例3.有一個(gè)1997位數(shù)，它的每個(gè)數(shù)位都是2, 1997個(gè)2 這個(gè)數(shù)除以13,商 的第100位是幾？最后余數(shù)是幾？分析與解答：2222 S / 1997個(gè)2這個(gè)數(shù)除以13,商是有規(guī)律的。2222訪? -1M70940170940商是170940六個(gè)數(shù)循環(huán)，那么 100

5、+6 = 164 ,即 1QQ 三4(mod6), 我們從左向右數(shù)“ 170940”的第4個(gè)數(shù)就是我們找的那個(gè)數(shù)“ 9”，所以商的第 100位是9。余數(shù)是幾呢？2222w 9972 方=170940170940皿1996-6 = 332.4則11:-二：,”所以商的個(gè)位數(shù)字應(yīng)是“ 170940”中白第4個(gè)，商應(yīng)是9,相應(yīng)的余數(shù) 是5。【模擬試題】(答題時(shí)間：20分鐘)1.求下列算式中的余數(shù)。1111222,2X-¥、1/(1) 1997個(gè) 1 r(2) 1997個(gè) 2 門3333S /(3) 1997個(gè) 3 M3(4)44441997個(gè)4 M32 . 6254與37的積除以7,余數(shù)是

6、幾？3 .如果某數(shù)除482, 992, 1094都余74,這個(gè)數(shù)是幾？同余問題(二)【例題分析】例1. 1997.除以7,余數(shù)是幾？分析與解答：01997+7= 2852A 1997= 2(mod7)1997100 = 2m(mod7)性質(zhì) 521 = 2(mod7)2a - 4(mod7)23 三 l(mod7)1997100 = 23 x23 x23 xx23x21s 1 x 1 x 1 x * *- x 2=2 (mod 7).1997UB=2(mod7)例2. 一個(gè)自然數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余1,這個(gè)自然數(shù)最小是幾？分析：假設(shè)這個(gè)自然數(shù)為a那么 ，； "a 三 3(

7、mod5)a£l(mod7)這道題考慮的困難是它們的余數(shù)不相同。如果把這道題改一下，使它們的余數(shù)相同，利用整除的知識(shí)，便容易考慮了, 先看下面一道題：一個(gè)自然數(shù)除以3余2,除以5余2,除以7余2,那么，這個(gè)自然數(shù)若減去2,便同時(shí)是3, 5, 7的倍數(shù)，這樣的自然數(shù)有：105, 210, 315,分別被3, 5, 7除余2的數(shù)是2, 107, 212, 317,最小的自然數(shù)是2。回過頭來看剛才的題，能不能把它也變?yōu)橛鄶?shù)相同的數(shù)呢？稍加變式，可以寫成：a = 5 8(mod3)a = 8(mod5)aE3(mod7)這樣同時(shí)是3, 5, 7倍數(shù)的數(shù)有105, 210, 315,那么同時(shí)被

8、3, 5, 7余8的數(shù)有：8, 113, 218, 323,其中最小的自然數(shù)為8。例3.在求51173526被7除的余數(shù)時(shí)，小明這樣做：511 乃526T51126 今 2126 T5所以余數(shù)是5劉老師說，小明的算法不僅正確，而且巧妙迅速，你知道其中的道理嗎?分析與解答：看了下面的算式，你就會(huì)明白的。51173526= 51100026 + 70000 + 3500=49000000 + 2100026+70000 + 3500=49000000 + 2100000 +70000 + 3500 + 21+5=7的倍數(shù)+5小明用的這種方法，有比較廣泛的應(yīng)用，常稱之為“拼湊法”在解關(guān)于 用幾除的余

9、數(shù)的問題時(shí)，常常“拼湊”出顯然是幾的倍數(shù)的部分，對(duì)于這部分， 簡直可以“置之不理”，這樣可以使解答過程簡化。例4. 1 + 22 +33+寸+53 +7'+直+承除以3的余數(shù)是幾?為什么？分析與解答：在上式的加項(xiàng)中，3% 6、產(chǎn)顯然可以被3整除，因此只須計(jì)算1 +于+4* + 5$ +7 +即被3除余數(shù)是幾。由于 二口卜5三 8三 2(mod3)因此/=1* = l(mod3)7,三三l(mod3)5$ 三 23mod3)83 = 2® (mod 3)由此可知，只須計(jì)算1 + 2°+1 + 25+1+28被3除的余數(shù)，它又等于23。(1+2?+2")被3除

10、的余數(shù)。由于2、如眼,所以22x3+23 + 2%lx(l+2+l)l(mod3J所以余數(shù)是1【模擬試題】1 .今天是星期日，再過365涮天又是星期幾？2 .求2002抽除以3所得的余數(shù)。3 .某數(shù)除680, 970和1521,余數(shù)相同，這個(gè)數(shù)最大是幾？4 .有一列數(shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是 3,第二個(gè)數(shù)是7,從第三個(gè)數(shù)開始，每 個(gè)數(shù)恰好是前兩個(gè)數(shù)的和，那么，第 1997個(gè)數(shù)被3除，余數(shù)是幾？5 .若將一批貨物共3承千克裝入紙箱，每箱裝10千克，最后余多少千克？若每 箱裝17千克，最后還余多少千克？6、1309被一個(gè)質(zhì)數(shù)相除，余數(shù)是 21,求這個(gè)質(zhì)數(shù)。7、1796被一個(gè)質(zhì)數(shù)相除，余數(shù)是 24,

11、求這個(gè)質(zhì)數(shù)。8、求2001 X 2000除以7的余數(shù)。9、求 123X 345+234X456 除以 11 的余數(shù)。10、有一個(gè)大于1的整數(shù)，它除1000、1975、2001者B得到相同的余數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)是多 少？11、有三個(gè)數(shù)1989、901和306被同一個(gè)自然數(shù)除，得到相同的余數(shù)，求這個(gè)自然數(shù)。12、兩個(gè)自然數(shù)相除，商 15,余3,被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的和是853,求被除數(shù)。8、兩數(shù)相除商40余7,被除數(shù)、除數(shù)、余數(shù)和商的和是710,求被除數(shù)。13、有一個(gè)數(shù)除以 3余1,除以4余2,問這個(gè)數(shù)除以12,余數(shù)是幾?14、一個(gè)數(shù)除以5余1,除以6余3,除以7余4,這個(gè)數(shù)最小是幾?15、386

12、7X4253= 1644D351,求口里的數(shù)。4937 X 6845= 3379口 765,求口里的數(shù)。16、兩個(gè)自然數(shù)相除，商 8余16,被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和為265,求除數(shù)是多少?17、寫出除以8所得的商和余數(shù)（不為 0）相同的所有的數(shù)。18、2002X2002-2001除以9的余數(shù)是多少?19、當(dāng)2002和1781除以某一個(gè)自然數(shù)，余數(shù)分別是2和1,那么這個(gè)數(shù)最大是多少?20、一個(gè)數(shù)除以17的余數(shù)是5,被除數(shù)擴(kuò)大2倍，余數(shù)是多少?21、有一個(gè)數(shù)，除以 3余數(shù)是1,除以4余數(shù)是3 。這個(gè)數(shù)除以12,余數(shù)是多少。22、570被一個(gè)兩位數(shù)除，余數(shù)是 15,這個(gè)兩位數(shù)是多少?23、有一個(gè)數(shù)

13、加上 22的和被9除余3,這個(gè)數(shù)加上35的和被9被余幾？B組24、有一個(gè)整數(shù)，用它去除 45, 53, 143得到的3個(gè)傷痕的和是20,這個(gè)數(shù)是多少?25、有一個(gè)數(shù)用它去除 100,余數(shù)是1,用它去除50,余數(shù)是6,求這個(gè)數(shù)。26、把幾十個(gè)蘋果平均分成若干份，每份9個(gè)余8個(gè)，每份8個(gè)余7個(gè)每份4個(gè)余3個(gè)。這堆蘋果共有多少個(gè)？27、有一個(gè)數(shù)被5和11整除均余4,被3正好整除，這個(gè)數(shù)最小是幾?28、求被4除余2,被6除余2,被9除余5的兩位數(shù)。29、一個(gè)數(shù)能被3、5、7整除，若用11去除則余7,這個(gè)數(shù)最小是幾?30、小紅收數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組買奧數(shù)練習(xí)本的錢，她只記下四組各交的錢， 第一組6.3元，第二組

14、7.7元，第三組6.3元，第四組9.1元，又知道每本練習(xí)本價(jià)格都超過 1角，求數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 小組共有多少人？（提示：練習(xí)本單價(jià)是總價(jià)的公約數(shù)。）31、五年級(jí)兩個(gè)班的學(xué)生一起排隊(duì)出操， 如果8人排一行，多出一個(gè)人；如果 11人排一行， 同樣多出一個(gè)人。這兩個(gè)班最小共有多少人？（提示：如果減去一人那么人數(shù)就能被8和11整除了。）32、一個(gè)數(shù)被4除余3,被5除余4,被6除余5,這樣的數(shù)中最小的是幾？（提示：余數(shù) 與除數(shù)有什么關(guān)系？）33、一筐蘋果，如果按 5個(gè)一堆放，最后多出 3個(gè)；如果按6個(gè)一堆放，最后多出 4個(gè)；如 果按7個(gè)一堆放，還多出1個(gè)；這筐蘋果至少有多少個(gè)？（提示：先滿足被 7除余1,再從

15、中找出被6除余4）競賽題精選1、若2836, 4582, 5164, 6522四個(gè)自然數(shù)都被同一個(gè)自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為（）。（2001小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題決賽B卷）2、一個(gè)自然數(shù)除以 3余2,除以5余2,除以7余5,除以9余5,除以11余4,則滿足這些條件的最小自然數(shù)是（）。（1996年我愛數(shù)學(xué)少年冬令營試題）3、某數(shù)除以11余8,除以13余10,除以17余12,那么這個(gè)數(shù)的最小可能值是（1998年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題預(yù)賽A卷）。（1998 年小4、一個(gè)小于200的數(shù)，它除以11余8,除以13余10,那么這個(gè)數(shù)是（學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克試題預(yù)賽B卷）5、在一道有余數(shù)的除

16、法算式中，被除數(shù)、除數(shù)，商和余數(shù)的和是599,已知商是15,余數(shù)是12,請(qǐng)問，題目中的除數(shù)是多少？（廈門實(shí)小2000-2001學(xué)年第二學(xué)期數(shù)學(xué)科競賽卷 B組）提高訓(xùn)練同余問題-1、求437X309X1993被7除的余數(shù)。2、求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位數(shù).3、分別求滿足下列條件的最小自然數(shù)(1)用3除余1,用5除余1,用7除余1(2)用3除余2,用5除余1,用7除余1(3)用3除余1,用5除余2,用7除余24、有一個(gè)整數(shù)，除300、262、205得到相同的余數(shù).這個(gè)整數(shù)是幾？5、今天是星期四，過14389天后是星期幾?6 .試一試：糧庫有771千克大米，用每袋50千克的袋子裝

17、，最后余下多少千克?n.7、數(shù)2001, 2232除以整數(shù)n,得到相同的余數(shù)，而且這個(gè)余數(shù)是合數(shù)，求8、用一個(gè)自然數(shù)去除715和903所得余數(shù)相同，且商相差4.求這個(gè)數(shù).9、若2836, 4582, 5146, 6522四個(gè)自然數(shù)被一個(gè)自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且 為兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為多少？10、有三個(gè)不同的三位數(shù)，它們分別除以 a ,得到的余數(shù)相同而且是最大二位 偶數(shù)，當(dāng)a為兩位數(shù)時(shí)，這三個(gè)數(shù)最小的和是多少？11、某年級(jí)有將近400名學(xué)生。有一次演出節(jié)目排隊(duì)時(shí)出現(xiàn)：如果每8人站成一 列則多余1人；如果改為每9人站成一列則仍多余1人；結(jié)果發(fā)現(xiàn)現(xiàn)成每10人 結(jié)成一列，結(jié)果還是多余1人；聰名的你知道該年級(jí)共有學(xué)生多少名嗎？12、希望小學(xué)六年級(jí)和五年級(jí)去春游， 每輛車可乘36人.六年級(jí)先坐滿幾車，剩 下的16人與五年級(jí)坐滿一車，五年級(jí)又坐滿若干車.到達(dá)目的地后，每一個(gè)五年 級(jí)的學(xué)生和每一個(gè)六年級(jí)學(xué)生合影一張，每個(gè)膠卷可拍 36張.全部學(xué)生照相完 畢，最后一個(gè)膠卷還剩幾張未拍？13、甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)校分別有 69人