隨機(jī)變量的幾種收斂及其相互關(guān)系

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 論 文 專心-專注-專業(yè)摘要概率是對(duì)大量隨機(jī)現(xiàn)象的考察中顯現(xiàn)出來的，而對(duì)于大量的隨機(jī)現(xiàn)象的描述就要采用極限的方法。概率統(tǒng)計(jì)中的極限定理研究的是隨機(jī)變量序列的某種收斂性，對(duì)隨機(jī)變量收斂性不同定義將導(dǎo)致不同的極限定理，而隨機(jī)變量的收斂性的確可以有各種不同的定義。主要討論了依概率收斂與依分布收斂，r階收斂與幾乎處處收斂，幾乎處處收斂與依概率收斂之間的關(guān)系。給出了由依概率收斂推出幾乎處處收斂的條件和由依概率收斂推出r階收斂的條件，從而比較完全地說明了隨機(jī)變量序列的各種收斂性之間的關(guān)系。本論文將對(duì)隨機(jī)變量的幾種收斂作出較為簡單扼要的介紹和討論.論文結(jié)構(gòu)如下：一、隨機(jī)變量的幾種

2、收斂的概念理論；二、隨機(jī)變量的幾種收斂之間的關(guān)系；從以上幾個(gè)方面對(duì)隨機(jī)變量的幾種收斂理論簡明扼要地分析，說明隨機(jī)變量序列收斂理論在實(shí)際問題中的應(yīng)用范圍之廣，在實(shí)際生活中的重要性。關(guān)鍵詞：r階收斂；幾乎處處收斂；依概率收斂；依分布收斂。AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and sta

3、tistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and conve

4、rgence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introducti

5、on of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship. This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows: 1. Convergence of random variable

6、s the concept of theory; 2. the convergence of several random variables between; From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real l

7、ife importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目 錄引言：概率論最早產(chǎn)生于17世紀(jì)，本來是保險(xiǎn)事業(yè)的發(fā)展而產(chǎn)生的，但是來自于賭博者的請(qǐng)求，卻是數(shù)學(xué)家們思考概率論中問題的源泉。然而其體系只在20世紀(jì)的20至30年代才建立起來并得到迅速發(fā)展，在過去的半個(gè)世紀(jì)里概率論在越來越多的新興領(lǐng)域顯示了它的應(yīng)用性和實(shí)用性。概率論是根據(jù)大量同類隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)

8、某一結(jié)果的可能性作出一種客觀的科學(xué)判斷，對(duì)這種出現(xiàn)的可能性大小做出數(shù)量上的描述；比較這些可能性的大小、研究它們之間的聯(lián)系，從而形成一整套數(shù)學(xué)理論和方法。特別值得一提的是，概率論是今天的基礎(chǔ)，其結(jié)果被用做問卷調(diào)查的分析資料或者對(duì)經(jīng)濟(jì)前景進(jìn)行預(yù)測(cè)。概率論中的重要概念概率的收斂性，尋找概率收斂中的隨機(jī)變量序列收斂性的相互性質(zhì)以及收斂性之間的相互關(guān)系，弄清楚它們之間的關(guān)系在理論和應(yīng)用上都是很有意義的。1 幾種收斂性定義 定義1.1 (r階收斂)設(shè)對(duì)隨機(jī)變量,及有,其中為常數(shù),如果則稱r階收斂于,并記為. 當(dāng)是，稱均方收斂到。記為.例1.1 設(shè)相互獨(dú)立，且滿足，。則，故，即.定義1.2 (幾乎處處收斂)

9、如果則稱以概率1收斂于,又稱必乎處處收斂于X,并記為.例1.2 設(shè)，是定義在0,1上博雷爾概率空間=上的隨機(jī)變量，滿足：，。而，若=0,1上理點(diǎn)；，若=0,1上有理點(diǎn)全體。而，若；，若。則易知。；，但，故。定義1.3 （依分布收斂）設(shè)隨機(jī)變量,X的分布函數(shù)分別為及。若對(duì)的每個(gè)連續(xù)點(diǎn)x有則稱依分布函數(shù)收斂于X （弱收斂到）。記為，或者。例1.3 ，的記號(hào)同林德伯格-萊維（Lindeberg-Levy）定理，令，則，即，有。定義1.4 （依概率收斂）如果對(duì)于任意>0,則稱Xn依概率收斂于X，并記為或. 例 1.4 設(shè)獨(dú)立同分布，且，令，則由大數(shù)定律可知.2 依概率收斂與依分布收斂的關(guān)系隨機(jī)變

10、量序列依概率收斂和依分布收斂是概率論中兩種較重要的收斂形式,弄清楚它們之間的關(guān)系是本節(jié)要討論的.本節(jié)約定所涉及定義1.3，定義1.4。定理2.1 若隨機(jī)變量序列依概率收斂于某隨機(jī)變量,則依分布收斂于X.但定理2.1的逆不成立。證明 設(shè)，則=,從而設(shè)，則因而有同理可證，對(duì)，有所以對(duì)，有如果x是的連續(xù)點(diǎn)，則令，趨于x，得即.反之不然，例如，若樣本空間，定義隨機(jī)變量如下：，則的分布律為，,1,如果對(duì)一切n，令，則顯然。但是對(duì)于任意的，所以不依概率收斂于。但是在特殊場(chǎng)合有下面結(jié)果：對(duì)于常數(shù)C，則與等價(jià)。事實(shí)上，若，則， 從而。反之，若，則由定理2.1得。例2.1 設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,公共的分布列

11、為顯然:與X的分布函數(shù)相同,故依分布收斂X.但對(duì)于任意0<E<1和0<R<12,對(duì)一切n,有 可見不依概率收斂于.同此可知,一般說來,并不能從隨機(jī)變量序列依分布收斂肯定其依概率收斂,但在特殊情形下,它卻是成立的,那就是下述定理.定理 2.2 隨機(jī)變量序列依概率收斂于XC(C為常數(shù))的充要條件是依分布收斂于XC. 那么,在一般情形,能不能適當(dāng)?shù)卦黾訔l件,使隨機(jī)變量序列依分布收斂能保證其依概率收斂呢?考察一下上述反例知,當(dāng)極限分布函數(shù)不連續(xù)時(shí)無法保證,但如果極限分布函數(shù)連續(xù)呢?回答是肯定的,這就是本文的主要結(jié)果.定理2.3 設(shè)分布函數(shù)列弱收斂于連續(xù)的分布函數(shù),則存在隨機(jī)變量

12、序列和隨機(jī)變量X,它們分別以和為其對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)列和分布函數(shù),且依概率收斂于X.定理的證明需用到下述引理.取,再取F為0,1)中Borel點(diǎn)集全體,而P取直線上的Lebesgue測(cè)度,則構(gòu)成一概率空間.引理2.1 在上定義, ,則是服從0,1)上均勻分布的隨機(jī)變量,且對(duì)任意,有.證明 顯然是上的隨機(jī)變量.又當(dāng)時(shí),有;當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有,故服從0,1)上均勻分布.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,若,則若,因,故,于是.總之,有.引理2.2設(shè)為一分布函數(shù),對(duì)任意,定義,則有(i)對(duì)任意和實(shí)數(shù)b, 當(dāng)且僅當(dāng);(ii)對(duì)任意和實(shí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng).證 (i)必要性.設(shè),由下確界定義知,存在,使.因?yàn)閱握{(diào)不減,故.充分性 設(shè),

13、由于單調(diào)不減,且在點(diǎn)b處左連續(xù),故存在,使,從而有.(ii)是(i)的直接推論.引理2.3 設(shè)為一分布函數(shù),則存在上的隨機(jī)變量,使的分布函數(shù)正好是.證明 在上定義，設(shè), (2.1)由引理2.1知, 是服從0,1)上均勻分布的隨機(jī)變量.因?yàn)閱握{(diào)不減,對(duì)任意,定義. (2.2)顯然也是單調(diào)不減函數(shù),從而是Borel函數(shù).令, , (2.3)則是上的隨機(jī)變量,且由引理2.2(i)可知.因此, 還是以為分布函數(shù)的隨機(jī)變量.引理2.4 若分布函數(shù)列弱收斂于連續(xù)的分布函數(shù),則這時(shí)收斂關(guān)于x是一致的.證明 對(duì)應(yīng)于和是同一概率空間上,類似于引理2.3中的(2.1),(2.2)和(2.3)式,定義函數(shù), 以及隨

14、機(jī)變量X和,存在性即得證.下證依概率收斂于X.因,對(duì)于任意給定的和,存在充分大的M>0,使有.對(duì)于取定的M,可選取正整數(shù)k和m,使有對(duì)于取定的m,存在,使有對(duì)于取定的r,由引理2.4, 關(guān)于x是一致的,因而存在正整數(shù)N,使當(dāng)時(shí),有 (2.4)對(duì)一切成立,從而當(dāng)時(shí),有=.由的任意性知依概率收斂于X,定理得證.對(duì)給定的分布函數(shù),由于可以在不同的概率空間上定義隨機(jī)變量X ,使X 的分布函數(shù)為,故無法討論X的唯一性.但我們猜測(cè)下述結(jié)論成立.3 r階收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系在一般情況下,不能由幾乎處處收斂推出r階收斂。那么,在何種場(chǎng)合下,以上的r階收斂與幾乎處處收斂中一種收斂性能導(dǎo)致另一種收斂性呢

15、?這就是本文要討論的問題,本文在一定條件下得到了這兩種收斂性的等價(jià)關(guān)系, 本節(jié)約定所涉及定義1.1 ，定義1.2。具體結(jié)果表述為如下定理:定理3.1 1)設(shè)存在使,且 (3.1)則 (3.2)2)如(3.2)式成立,且?guī)缀跆幪幱薪?即存在正數(shù) c ,使得 (3.3)則對(duì)任 , (3.4)證明:1)設(shè)(3.1)式成立,往證 (3.5)用反證法:若(3.5)式不成立,則必有 (3.6)定義事件 (3.7)其中為給定的數(shù)。易見,單調(diào)非降,因此 (3.8)于是由概率的連續(xù)性和單調(diào)性知 (3.9)從而由此得，即， (3.10)上式中令,此與(3.1)式矛盾。這樣,我們證明了(3.5)式成立。由數(shù)字分析知

16、,收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零,因此由(3.5)式得出從而有2)由(3.2)、(3.3)式容易推出 (3.11)于是由不等式得,a.s. (3.12)其中 (3.13)因此由Lebegue控制收斂定理知，證畢。由定理3.1 可得到下面的推論:推論3.1 設(shè)存在 使,c為常數(shù),且,則;反之,若且?guī)缀跆幪幱薪?則。4 依概率收斂與r階收斂的關(guān)系設(shè)依概率收斂于，眾所周知，此時(shí)未必r階收斂于;如果給附加一些另外條件，則可r階收斂于，本文證明了幾個(gè)這樣的定理，它們推廣了有關(guān)文獻(xiàn)中的類似定理。設(shè)是概率空間.的元素記為.隨機(jī)變量,常簡記成,.,()，有時(shí)簡記為.引理4.1 (不等式)設(shè),是R.V則，其中注 關(guān)于數(shù)

17、列的不等式為 ，其中與引理2.3.1中的相同.當(dāng)然，它可看作是引理4.1的特殊情形。 推論4.1如果，則(此推論使我們?cè)谝恍┣樾蚊獬C明)。 引理4.2 設(shè)，g(x)為實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則.特別地，若，則對(duì)r>0,有。引理4.3 (控制收斂定理)若隨機(jī)變量序列滿足(1),是可積隨機(jī)變量(從而存在);(2) 以概率1(或依概率)收斂于隨機(jī)變量，則.引理4.4設(shè)，g(x)為有界實(shí)值連續(xù)函數(shù)，則 (1) ,(2) 證 由引理4.2,.再由有界控制收斂定理，就有(1)式成立.又由，有.由不等式可知有界，再由有界控制收斂定理，.引理4.5設(shè),，又，則.引理4.6若,，則 (i) ; (ii).證明 只

18、證(i)，令.對(duì)自然數(shù)K，令，因，故有,當(dāng)時(shí)，就取，則=.于是，引理4.7 若X為R.V且，則對(duì)任何實(shí)值函數(shù)好g(x)都有.下面的定理4.1說明:對(duì)有公共界的隨機(jī)變量序列，依概率收斂與任何r>0階收斂是等價(jià)的。 定理4.1 設(shè)對(duì)某常數(shù)c有，則對(duì)任何實(shí)數(shù)而言，的充要條件是.證明 只須證充分性。取則g(x)為有界實(shí)值連續(xù)函數(shù)，對(duì)如此的g及利用引理4.4的(1)就有.由引理4.6及4.7, .從而有 . 再由引理4.6及4.7有.從而，亦即.證畢若受控于，而為次可積，則r階平均收斂等價(jià)于依概率收斂.定理4.2 設(shè)其中隨機(jī)變量滿足 (其中r>0為一實(shí)數(shù))，則對(duì)這個(gè)r而言的充要條件是.證明

19、只須證充分性.因?yàn)?，由引?.2有.因?yàn)?由引理5就有.于是,.又.故.總之: 以概率1成立且可積，還有.所以由控制收斂定理.定義4.1 設(shè)是概率空間，是R.V序列，若則稱的積分一致可積.若對(duì)任給，存在，使得所有滿足的事件A，都有，則稱的積分一致絕對(duì)連續(xù)。若 ，即若 ，則稱的積分一致有界.若，則稱依概率有界. 引理4.8 (i)的積分一致可積的充要條件是的積分一致絕對(duì)連續(xù)且一致有界。 （ii）若依分布收斂，則依概率有界。 引理4.9 若依概率有界，且 (r>0)的積分一致絕對(duì)連續(xù)，則一致可積. 證明 對(duì)于，由于的積分一致絕對(duì)連續(xù)，有存在，使當(dāng)時(shí)就有.因?yàn)橐栏怕视薪?，?duì)于上述的有B>

20、0使當(dāng)>B時(shí)就有 .這樣一來，當(dāng)>B時(shí)就有 證畢定理 4.3 設(shè)對(duì)某, 一致可積，則的充要條件是.證明 充分性.由Riesz定理，存在的子列，使以概率1收斂于.由Fatou定理,有,可見可積.由于的積分一致絕對(duì)連續(xù)及可積,對(duì)任給，存在，當(dāng)且時(shí)就有.又因，故存在N，當(dāng)時(shí).這樣一來，當(dāng)時(shí)就總有.這便證明了.由引理4.9及定理4.3，立即得到:若對(duì)某, 的積分一致絕對(duì)連續(xù)，則對(duì)這個(gè)r而言的充要條件是.這條結(jié)論也可由定理4.3的證明看出, 因那里僅用到及的積分的一致絕對(duì)連續(xù)性。5 幾乎處處收斂與依概率收斂和依分布收斂的關(guān)系在一般情況下，由隨機(jī)變量序列幾乎處處收斂可推出其依概率收斂 ,進(jìn)而可

21、推出其依分布收斂,可見判別幾乎處處收斂的重要性.給出了它的幾個(gè)等價(jià)命題,同時(shí)還證明了獨(dú)立隨機(jī)變量和序列幾乎處處收斂等價(jià)于依概率收斂,亦等價(jià)于依分布收斂。若存在集,使當(dāng)時(shí)，有，則稱隨機(jī)變量序列是 a.s.收斂的。定理5.1 a.s.收斂的.證明：必要性 設(shè)則存在集當(dāng)時(shí)，有進(jìn)而有充分性 設(shè)是則存在集使當(dāng)時(shí)，有，對(duì)任意的，由于是一實(shí)值序列，因此，從而對(duì)，有即.定理5.2 定理5.3 證明：對(duì)因?yàn)?，所以，于是，推?.1 ，證明：由及定理5.3可得推論5.2 若對(duì)證明： 由定理5.3，即得.定理5.4 設(shè)獨(dú)立，為常數(shù)列，則0 定理5.5 設(shè)獨(dú)立，記則定理5.6 設(shè)獨(dú)立，記則總結(jié)四種收斂性 隨機(jī)變量序列

22、的收斂性，（1）當(dāng)用測(cè)度描繪時(shí)，可定義幾乎必然收斂,依概率收斂；（2）用數(shù)學(xué)期望描繪時(shí),可定義r階收斂；（3）用隨機(jī)變量分布函數(shù)的弱收斂描繪時(shí),可定義依分布收斂。四種收斂蘊(yùn)涵關(guān)系隨機(jī)變量序列從不同角度定義的收斂,它們內(nèi)部有一定的蘊(yùn)涵關(guān)系。從定義出發(fā)，可得出以下的結(jié)果：幾乎處處收斂r階收斂依概率收斂依分布收斂注：圖中的 表示推出一般情況是不能反推的。上面章節(jié)證明出的結(jié)果是在給出一定條件的情況下得出新結(jié)果：（1）幾乎處處收斂與r階收斂等價(jià)一般不能由幾乎處處收斂推出r階收斂，但給出一定的條件可使r階收斂推出幾乎處處收斂，上面第3章已經(jīng)證明了在一定條件下得出r價(jià)收斂與幾乎處處收斂等價(jià)。（2）幾乎處處收

23、斂與依概率收斂等價(jià)一般情況幾乎處處收斂推出依概率收斂，由（1）得：幾乎處處收斂與依概率收斂等價(jià)（3）r階收斂與依概率收斂 一般情況r階收斂可推出依概率收斂，上面第4章證明出依概率收斂可推出r階收斂，所有它們等價(jià)（4）幾乎處處收斂與依分布收斂等價(jià)幾乎處處收斂間接推出依分布收斂，上面第5章證出它們是等價(jià)的。（5）依概率收斂與依分布收斂等價(jià)一般依概率收斂推出依分布收斂，由上面第1章和（4）得：它們等價(jià)。（6）r階收斂與依分布收斂等價(jià) 由（3）（5）得：它們等價(jià)。致 謝首先要感謝我的導(dǎo)師XXX，X老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、對(duì)我的嚴(yán)格要求將使我終身受益。您嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣；您循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪.感謝您從本文研究開始一路指導(dǎo)至本文的完成，從論文題目的選定到論文寫作的指導(dǎo)，經(jīng)