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文檔簡介
1、中考數(shù)學復習-二次函數(shù)壓軸題分類講解面積類1.如圖,已知拋物線經(jīng)過點 A (- 1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)三點.(1)求拋物線的解析式.(2)點M是線段BC上的點(不與B, C重合),過M作MN/y軸交拋物線于N,若點M 的橫坐標為m,請用m的代數(shù)式表示MN的長.(3)在(2)的條件下,連接 NB、NC,是否存在m,使ZBNC的面積最大?若存在,求 m 的值;若不存在,說明理由.考點:二次函數(shù)綜合題.專題:壓軸題;數(shù)形結合.分析:(1)已知了拋物線上的三個點的坐標,直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.(2)先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,已知點 M的橫坐標,代入
2、直線 BC、拋物線的解析式中,可得到 M、N點的坐標,N、M縱坐標的差的絕對值即為MN的長.(3)設MN交x軸于D,那么ABNC的面積可表示為:S/bnc=Swnc+Samnb=MN (OD+DB)= MN?OB, MN的表達式在(2)中已求得,OB的長易知,由此列出關于 SABNC> m的函數(shù) 關系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出ABNC是否具有最大值.解答:解:(1)設拋物線的解析式為:y=a (x+1) (x-3),則:a (0+1) (0- 3) =3, a= - 1;,拋物線的解析式:y= - (x+1) (x-3) = - x2+2x+3 .(2)設直線BC的解析式為:y=kx+
3、b,則有:( 馳+bRlb=3“ 二一1解得,1 ;lb二 3故直線BC的解析式:y= - x+3 .已知點 M 的橫坐標為 m, MN / y,則 M (m, m+3)、N (m, m2+2m+3);. .故 MN = -m2+2m+3 - (- m+3) = - m2+3m (0vmv3).(3)如圖;- Sabnc=Samnc+S碗nb = MN (OD + DB) =MN?OB,Sabnc= ( - m2+3m) ?3=- (m-) 2+ (0vmv3);8當m=時,BNC的面積最大,最大值為 空82.如圖,拋物線尸(#0)的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,已知B點坐標為(4
4、, 0).(1)求拋物線的解析式;(2)試探究ZABC的外接圓的圓心位置,并求出圓心坐標;(3)若點M是線段BC下方的拋物線上一點, 求MBC的面積的最大值,并求出此時M點 的坐標.考點:二次函數(shù)綜合題.專題:壓軸題;轉(zhuǎn)化思想.分析:(1)該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù),只需將B點坐標代入解析式中即可.(2)首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標,然后通過證明 那BC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置,由此確定圓心坐標.(3) AMBC的面積可由SaMBc=BCXh表示,若要它的面積最大,需要使h取最大值,即點M到直線BC的距離最大,若設一條平行于 BC的直線,那么當該直線與拋物線有且只有一
5、個交點時,該交點就是點 M .解答:解:(1)將B (4, 0)代入拋物線的解析式中,得:0=16a- X4- 2,即:a=;,拋物線的解析式為:y=x2-x- 2.(2)由(1)的函數(shù)解析式可求得:A ( - 1, 0)、C (0, - 2); .OA=1, OC=2, OB=4,即:OC2=OA?OB,又:OCAB, . OACsOCB,得:/ OCA=/OBC;/ ACB = Z OCA+ / OCB= / OBC+ / OCB=90° ,. .ABC為直角三角形,AB為那BC外接圓的直徑;所以該外接圓的圓心為 AB的中點,且坐標為:(,0).(3)已求得:B (4, 0)、C
6、 (0, -2),可得直線BC的解析式為:y=x-2;設直線1/BC,則該直線的解析式可表示為:y=x+b,當直線l與拋物線只有一個交點時,可列方程:x+b=x2 x 2,即: x2 - 2x- 2 - b=0,且 4=0; -4- 4X ( - 2- b) =0,即 b=-4;. .直線 l: y=x- 4.所以點M即直線l和拋物線的唯一交點,有:(1 2 _ 3 _n尸下一2<=2_,解得:- 即 M (2, - 3).尸#4I過M點作MNx軸于N,Sabmc = S 梯形 ocmn + Szmnb S3cb= X2 X (2+3) + X2 >3 - X2 >4=4 .
7、平行四邊形類3.如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A (3, 0)、B (0, - 3),點P是直線AB上的動點,過點 P作x軸的垂線交拋物線于點 M,設點P的橫坐標為t.(1)分別求出直線 AB和這條拋物線的解析式.(2)若點P在第四象限,連接 AM、BM,當線段PM最長時,求AABM的面積.(3)是否存在這樣的點 P,使得以點P、M、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在, 請直接寫出點P的橫坐標;若不存在,請說明理由.考點:二次函數(shù)綜合題;解一元二次方程-因式分解法;待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式;待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;三角形的面積;平行四邊形的判定.專題:壓軸
8、題;存在型.分析:(1)分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式:把A (3, 0) B (0, -3)分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b,得到關于 m、n的兩個方程組,解方程組即可;(2)設點P的坐標是(t, t-3),則M (t, t2-2t-3),用P點的縱坐標減去 M的縱坐標 得到PM的長,即PM= (t-3) - ( t2-2t-3) = - t2+3t,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到當t= -g=時,PM最長為=J!二,再利用三角形的面積公式利用2X(-1)4X ( - 1)SAABM = S>ABPM+SAAPM 計算即可;(3)由PM/OB,根據(jù)平行四邊形的判定得到當PM=O
9、B時,點P、M、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形,然后討論:當 P在第四象限:PM = OB=3, PM最長時只有,所以不可 能;當 P 在第一象限:PM = OB=3, (t2-2t-3) - (t-3) =3;當 P 在第三象限:PM=OB=3, t2- 3t=3,分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值.解答:解:(1)把 A (3, 0) B (0, - 3)代入 y=x2+mx+n,得產(chǎn)9+3葉門解得產(chǎn)-2,所以拋物線的解析式是y=x2-2x-3.-3=nn= 3、X.設直線AB的解析式是y= kx+b,把 A (3, 0) B (0, 3)代入 y=kx+b,得°一見+
10、b ,解得(k-1-3=bb=- 3所以直線AB的解析式是y=x-3;(2)設點 P 的坐標是(t, t- 3),則 M (t, t2- 2t- 3),因為p在第四象限,0-94X (-1)所以 PM= (t-3) - (t2-2t- 3) =-t2+3t,當t二-3一l=時,二次函數(shù)的最大值,即 PM最長值為2X (-1)'貝U SAABM=S%。M + SAAPM=- X X 3=g >(3)存在,理由如下:1. PM / OB,當PM=OB時,點P、M、B、。為頂點的四邊形為平行四邊形,當P在第四象限:PM = OB=3, PM最長時只有,所以不可能有 PM=3.當 P 在
11、第一象限:PM=OB=3, (t2 2t 3) (t-3) =3,解得一4陋、t2=-返 (舍 22去),所以P點的橫坐標是§,收;當P在第三象限:PM = OB=3, t2-3t=3,解得力=土等(舍去),tzJ所以P 點的橫坐標是所以P點的橫坐標是生或!.24.如圖,在平面直角坐標系中放置一直角三角板,其頂點為0),將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到ABO.(1) 一拋物線經(jīng)過點 A'、B'、B,求該拋物線的解析式;A (0, 1) , B (2, 0), O (0,P,使四邊形PB AB的面積是(2)設點P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點,是否存在
12、點 ABO面積4倍?若存在,請求出 P的坐標;若不存在,請說明理由.(3)在(2)的條件下,試指出四邊形PB AB是哪種形狀的四邊形?并寫出四邊形PBAB的兩條性質(zhì).考點:二次函數(shù)綜合題.專題:壓軸題.分析:(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 A'(- 1, 0), B' (0, 2),再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可;(2)利用S四邊形pba b=S/b oa + SzpB o+Sapob ,再假設四邊形 PBAB的面積是ZABO面積的4倍,得出二次方程,得出P點坐標即可;(3)利用P點坐標以及B點坐標即可得出四邊形 PBAB為等腰梯形,利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可.解答:解:(1
13、)那BO是由祥BO繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的,又 A (0, 1), B (2, 0), O (0, 0), .A' (T, 0), B' (0, 2).方法一:設拋物線的解析式為:y=ax2+bx+c (awQ,拋物線經(jīng)過點 A'、B'、B,0=a- b+c- 1.一 2=c,解得:, b=1 ,滿足條件的拋物線的解析式為y=-x2+x+2.O4a+2b+c1c= 2方法二:. A' ( 1, 0), B' (0, 2), B (2, 0),設拋物線的解析式為:y=a (x+1) (x-2)將 B'(0, 2)代入得出:2
14、=a (0+1) (0-2),解得:a= - 1,故滿足條件的拋物線的解析式為y= - (x+1) (x- 2) = - x2+x+2;(2) P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點,設 P (x, y),則 x>0, y>0, P 點坐標滿足 y= - x2+x+2.連接 PB, PO, PB;一S 四邊形 PB a B= SZB OA + SaPB O + SzpOB ,=X1 X2+X2W+X2>y,=x+ ( - x2+x+2) +1,=-x2+2x+3. AO=1 , B'O=2,. ABO 面積為:MX2=1,假設四邊形PBAB的面積是 9BO面積的4倍,則4=
15、- x2+2x+3,即 x2 -2x+1=0,解得:M=x2=1,此時 y= 12+1+2=2,即 P (1 , 2).存在點P (1, 2),使四邊形PB'A'B的面積是AABO面積的4倍.(3)四邊形PB'A'B為等腰梯形,答案不唯一,下面性質(zhì)中的任意2個均可.等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等;等腰梯形對角線相等;等腰梯形上底與下底平行;等腰梯形兩腰相等.(10分)或用符號表示:/ B'AB=/ PBA或/ A'B'P=/ BPB' FA' BB; BP/ A'B; BA' PB.(10 分)5.如圖,拋
16、物線 y=x2-2x+c的頂點A在直線l: y=x- 5上.(1)求拋物線頂點 A的坐標;(2)設拋物線與y軸交于點B,與x軸交于點C、D (C點在D點的左側),試判斷 那BD 的形狀;(3)在直線l上是否存在一點 P,使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形?若 存在,求點P的坐標;若不存在,請說明理由.考點:二次函數(shù)綜合題.專題:壓軸題;分類討論.分析:(1)先根據(jù)拋物線的解析式得出其對稱軸,由此得到頂點A的橫坐標,然后代入直線 l的解析式中即可求出點 A的坐標.(2)由A點坐標可確定拋物線的解析式,進而可得到點B的坐標.則AB、AD、BD三邊的長可得,然后根據(jù)邊長確定三角形的形狀.
17、(3)若以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形,應分 AB為對角線、AD為對 角線兩種情況討論,即 AD旦PB、AB改PD,然后結合勾股定理以及邊長的等量關系列 方程求出P點的坐標.解答:一,,一、.- 2 一一, ,,斛:(1) :頂點 A的橫坐標為 x= =1 ,且頂點 A在y=x-5上,2. .當 x=1 時,y=1 - 5= - 4, . .A (1 , - 4).(2)那BD是直角三角形.將 A (1, -4)代入 y=x2 - 2x+c,可彳導,1 - 2+c= - 4,,c=-3,.y=x2- 2x- 3,B (0, - 3)當 y=0 時,x2- 2x- 3=0 , x1
18、= 1, x2=3C (- 1 , 0), D (3, 0),BD2=OB2+OD2=18, AB2= (4-3) 2+12=2, AD2= ( 3- 1) 2+42=20, bd2+ab2=ad2,./ABD=90°,即 "BD是直角三角形.(3)存在.由題意知:直線 y=x- 5交y軸于點E (0, - 5),交x軸于點F (5, 0) .OE = OF=5,又 OB=OD=3 . OEF與OBD都是等腰直角三角形 .BD / 1,即 PA/ BD則構成平行四邊形只能是PADB或PABD,如圖,過點P作y軸的垂線,過點 A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點 G.設
19、 P (xn Xi - 5),則 G (1 , Xi 5)則 PG=|1Xi|, AG=|5Xi 4|=|1 一 Xi|PA=BD=3 二由勾股定理得:(1-x1)2+ (1-xi) 2=18, xi2 - 2xi - 8=0 , Xi= - 2 或 4P (- 2, - 7)或 P (4, - 1),存在點P (- 2, - 7)或P (4, - 1)使以點A、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形.周長類6.如圖,RtAABO的兩直角邊 OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上,O為坐標 原點,A、B兩點的坐標分別為(-3, 0)、(0, 4),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B,且頂點在
20、 直線x=上.(1)求拋物線對應的函數(shù)關系式;(2)若把那BO沿x軸向右平移得到 ADCE,點A、B、。的對應點分別是 D、C、E,當四 邊形ABCD是菱形時,試判斷點 C和點D是否在該拋物線上,并說明理由;(3)在(2)的條件下,連接 BD,已知對稱軸上存在一點 P使得4PBD的周長最小,求出P點的坐標;(4)在(2)、(3)的條件下,若點 M是線段OB上的一個動點(點 M與點0、B不重合), 過點M作/ BD交x軸于點N,連接PM、PN,設0M的長為t, APMN的面積為S,求S 和t的函數(shù)關系式,并寫出自變量 t的取值范圍,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此時M點的坐標;若不存在,
21、說明理由.考點:二次函數(shù)綜合題.專題:壓軸題.分析:(1)根據(jù)拋物線y=2j+bx+c經(jīng)過點B(°,4),以及頂點在直線 x=上,得出b, c即可;(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出 C、D兩點的坐標分別是(5, 4)、(2, 0),利用圖象上點的性質(zhì) 得出x=5或2時,y的值即可.(3)首先設直線 CD對應的函數(shù)關系式為 y=kx+b,求出解析式,當 x=時,求出y即可;(4)利用MN/ BD,得出OMNsobd,進而得出型,再 得到ON二°t,進而表示出 OB 0D2,PMN的面積,利用二次函數(shù)最值求出即可.解答:解:(1) ;拋物線 yx+bx+c 經(jīng)過點 B(°,4
22、)c=4,一頂點在直線 x=上,- -=1;=,b= ;2s o v_3上3二所求函數(shù)關系式為 y=X2 -日工+4 ;(2)在 Rt9BO 中,OA=3, OB=4,,AB=/7=5,.四邊形 ABCD 是菱形,BC=CD = DA=AB=5,C、D兩點的坐標分別是(5, 4)、(2, 0),當 x=5 時,y=x 52 -X5+ 44,當 x=2 時,y=x 22X2+ 40,.點C和點D都在所求拋物線上;(3)設CD與對稱軸交于點 P,則P為所求的點,設直線CD對應的函數(shù)關系式為 y=kx+b,則.5k+b二4,解得:,L2k+b=0當 x=時,y=W X-3 2 348-§飛
23、”號3士 P (旦工),32 321 289'144,s取最大值是289此時,點等腰三角形類M的坐標為(o,1工).(4) MN / BD, .'.A OMNA OBD,10即上出得ON二工OB-OD 4 2 2t設對稱軸交x于點F, 貝”梯形PFOM=(PF+OM) ?OF= (+t) 1 111 江M0NW°M0NQt 'Spnf=><NFTF = X ( - t) 用一6 63t(0vt<4), a=-< ,拋物線開口向下,S存在最大值.2 1 7由 S(pmn= - t +1= - (t -X J7.如圖,點 A在x軸上,OA=
24、4,將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120,至OB的位置.(1)求點B的坐標;(2)求經(jīng)過點A、O、B的拋物線的解析式;(3)在此拋物線的對稱軸上,是否存在點P,使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求點考點:二次函數(shù)綜合題.專題:壓軸題;分類討論.分析:(1)首先根據(jù) OA的旋轉(zhuǎn)條件確定 B點位置,然后過 B做x軸的垂線,通過構建直角三角形和OB的長(即OA長)確定B點的坐標.(2)(3)根據(jù)(2)的拋物線解析式,可得到拋物線的對稱軸,然后先設出P點的坐標,而O、B坐標已知,可先表示出 4PB三邊的邊長表達式, 然后分OP=OB、OP = BP、OB=BP三種情況分類討論,然后分辨
25、是否存在符合條件的P點.解答: 解:(1)如圖,過B點作BC,x軸,垂足為 C,則/ BCO=90°, . / AOB=120° , . BOC=60° ,又,. OA=OB=4, . OC=OB = X4=2, BC=OB?sin60°=4X=2相, 2點B的坐標為(-2, - 2、毛);(2)二,拋物線過原點 。和點A、B,可設拋物線解析式為y=ax已知O、A、B三點坐標,利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.+bx,將 A (4, 0), B ( - 2. - 2、爪!)代入,得Vs16a+4b=0-4a-2b=-2V3,斛信口 /,此拋物線的解析式為
26、 y=-乂1/+&1*t H 363b=(3)存在,如圖,拋物線的對稱軸是直線x=2,直線x=2與x軸的交點為D,設點P的坐標為(2, y),若OB=OP,則 22+|y2=42,解得 y=±2y&當 y=2正時,在 RtAPOD 中,/ PDO=90°, sin/POD=£5=圭,OP 2 ./ POD=60° , ./ POB = /POD+/AOB=60°+120° =180° ,即P、O、B三點在同一直線上, .y=2代不符合題意,舍去, 點P的坐標為(2, - 2丫行)若 OB=PB,貝U 42+|
27、y+2«|2=42,解得 y= - 2V3,故點P的坐標為(2, - 2忐),若 OP=BP,貝U 22+|y|2=42+|y+2|2,解得 y= - 2、/§,故點P的坐標為(2, - 2V行),綜上所述,符合條件的點 P只有一個,其坐標為(2, - 2、禽),8.在平面直角坐標系中, 現(xiàn)將一塊等腰直角三角板 ABC放在第二象限,斜靠在兩坐標軸上, 且點A (0, 2),點C ( - 1, 0),如圖所示:拋物線 y=ax2+ax-2經(jīng)過點B.(1)求點B的坐標;(2)求拋物線的解析式;(3)在拋物線上是否還存在點 P (點B除外),使9CP仍然是以AC為直角邊的等腰直角
28、 三角形?若存在,求所有點 P的坐標;若不存在,請說明理由.考點:二次函數(shù)綜合題.專題:壓軸題.分析:(1)根據(jù)題意,過點 B作BD,x軸,垂足為D;根據(jù)角的互余的關系,易得 B到x、y軸 的距離,即B的坐標;(2)根據(jù)拋物線過 B點的坐標,可得a的值,進而可得其解析式;(3)首先假設存在,分 A、C是直角頂點兩種情況討論,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),可得答案.解答:解:(1)過點B作BD,x軸,垂足為 D,. / BCD+/ACO=90° , / ACO + /CAO=90° ,BCD = Z CAO , (1 分)又. / BDC=ZCOA=90°, CB=AC,
29、. BCD CAO, (2 分) .BD = OC=1, CD=OA=2 , ( 3 分).點B的坐標為(-3, 1); (4分)(2)拋物線 y= ax +ax - 2 經(jīng)過點 B ( - 3, 1),則得到 1=9a-3a - 2, (5 分)解得a=,所以拋物線的解析式為 y=x2+x-2; (7分)(3)假設存在點P,使得 "CP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形:若以點C為直角頂點;則延長BC至點P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形 9CP1, (8分)過點P1作PM,x軸,- CPi=BC, /MCPi = /BCD, / PiMC = /BDC=90°
30、, . MPiCA DBC. (10 分) .CM=CD=2, PiM=BD=1,可求得點 Pi (1, - D; (11 分)若以點A為直角頂點;則過點A作AP2,CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形 AACP2, (12分)過點P2作PzNy軸,同理可證ZAP2NA CAO, (13分)-NP2=OA=2, AN=OC=1,可求得點 P2 (2, 1), (14 分)經(jīng)檢驗,點P1 (1, T)與點P2 (2, 1)都在拋物線y=x2+x-2上.(16分)9.在平面直角坐標系中,現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在兩坐標軸上,且點A (0, 2),點C (1, 0),如圖所示
31、,拋物線 y=ax2-ax-2經(jīng)過點B.(1)求點B的坐標;(2)求拋物線的解析式;(3)在拋物線上是否還存在點P (點B除外),使9CP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.考點:二次函數(shù)綜合題.專題:代數(shù)幾何綜合題;壓軸題.分析:(1)首先過點 B作BDx軸,垂足為 D,易證得BDCCOA,即可得 BD=OC=1 ,CD = OA=2,則可求得點B的坐標;(2)利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式;(3)分別從以 AC為直角邊,點C為直角頂點,則延長 BC至點Pi使得PiC=BC,得到 等腰直角三角形 ACPi,過點Pi作PiMx軸,若以A
32、C為直角邊,點 A為直角頂點,則過點A作AP2,CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形 ACP2,過點P2作PzNy軸, 若以AC為直角邊,點 A為直角頂點,則過點 A作AP3,CA,且使得AP3=AC,得到等腰 直角三角形ACP3,過點P3作P3HLy軸,去分析則可求得答案.解答:解:(1)過點B作BD,x軸,垂足為 D, . / BCD+/ACO=90° , Z AC0+Z OAC=90° , ./ BCD = Z CAO ,又. / BDC=ZCOA=90°, CB=AC, . BDCACOA, .BD = OC=1, CD=OA=2, 點B的坐標為(
33、3, 1);(2) .拋物線 y=ax2ax2 過點 B (3, 1),.-1=9a- 3a- 2,解得: a=,拋物線的解析式為 y=x2-x-2;(3)假設存在點P,使得 “CP是等腰直角三角形,若以 AC 為直角邊,點C 為直角頂點,則延長BC至點Pi使得PiC=BC,得到等腰直角三角形 ACPi,過點Pi作PiMx軸,如圖( 1),- CPi=BC, /MCPi = /BCD, Z PiMC = Z BDC=90°,.MPiCA DBC, .CM=CD=2, PiM=BD=i, .Pi (- i, - i),經(jīng)檢驗點 Pi在拋物線y=x2-x-2上;若以AC為直角邊,點A為直
34、角頂點,則過點 A作AP2,CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形 ACP2,過點P2作PzNy軸,如圖(2),同理可證ZAP2NA CAO,-NP2=OA=2, AN=OC=i ,.P2 (-2, i),經(jīng)檢驗 P2 (-2, i)也在拋物線 y=x2-x-2 上;若以AC為直角邊,點A為直角頂點,則過點 A作AP3,CA,且使得AP3=AC,得到等腰直角三角形 ACP3,過點P3作P3HLy軸,如圖(3),同理可證評P3H04CAO,-HP3=OA=2, AH = OC=1 ,.P3 (2, 3),經(jīng)檢驗P3 (2, 3)不在拋物線 y=x2-x-2上;故符合條件的點有 Pl (-1
35、, - 1), P2 (-2, 1)兩點.圖1圖2圖3綜合類210.如圖,已知拋物線 y=x+bx+c的圖象與x軸的一個交點為 B (5, 0),另一個交點為 A, 且與y軸交于點C (0, 5).(1)求直線BC與拋物線的解析式;(2)若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點,過點 M作MN/y軸交直線BC于點N, 求MN的最大值;(3)在(2)的條件下,MN取得最大值時,若點 P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點,以BC為邊作平行四邊形 CBPQ,設平行四邊形 CBPQ的面積為S, AABN的面積為S2,且 Si=6S2,求點P的坐標.考點:二次函數(shù)綜合題.專題:壓軸題.分析:(1)設直線BC
36、的解析式為y=mx+n,將B (5, 0), C (0, 5)兩點的坐標代入,運用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式;同理,將 B (5, 0), C (0, 5)兩點匯的坐標代入y=x2+bx+c,運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;(2) MN的長是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差,據(jù)此可得出一個關于 MN的長和M點橫坐標的函數(shù)關系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值;(3)先求出ZABN的面積S2=5,則Si=6S2=30.再設平行四邊形 CBPQ的邊BC上的高為 BD,根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=3亞,過點D作直線BC的平行線,交拋物線與點P,交x軸于點E,在直線DE上截
37、取PQ=BC,則四邊形CBPQ為平行四邊形.證明AEBD 為等腰直角三角形,則 BE=V2BD=6,求出E的坐標為(-1,0),運用待定系數(shù)法求出直fy= - x _ 1線PQ的解析式為y=-x- 1,然后解方程組J,即可求出點 P的坐標.解答:解:(1)設直線BC的解析式為y=mx+n, 將B (5, 0), C (0, 5)兩點的坐標代入,得5時門二。,解得0一,所以直線BC的解析式為y=- x+5;將B (5, 0), C (0, 5)兩點的坐標代入 y=x2+bx+c,得25+5b+c二。,解得產(chǎn)- 6 ,所以拋物線的解析式為y=x2- 6x+5;i c 5l c-5(2)設 M (x
38、, x26x+5) (1vx<5),則 N (x, x+5),MN = (x+5) (x2 6x+5) = - x2+5x= - (x ) 2+,當x=時,MN有最大值254'(3) MN取得最大值時,x=2.5,- x+5= - 2.5+5=2.5 ,即 N (2.5, 2.5).解方程x2- 6x+5=0,得x=1或5, .A (1 , 0), B (5, 0), .AB=5- 1=4,.ABN 的面積 &=X4X2.5=5,,平行四邊形 CBPQ的面積Si=6S2=30.設平行四邊形 CBPQ的邊BC上的高為BD,則BCXBD.BC=5vr2, .BC右D=30,
39、,BD=3&.過點D作直線BC的平行線,交拋物線與點 P,交x軸于點E,在直線DE上截取PQ=BC, 則四邊形CBPQ為平行四邊形. . BCXBD, / OBC=45° , ./ EBD=45° , . EBD為等腰直角三角形, BE="®BD=6,. B (5, 0), E (-1, 0),設直線PQ的解析式為y=- x+t,將E ( - 1, 0)代入,得1+t=0,解得t=- 1,直線PQ的解析式為y=-x-1."y= - x - 1 f Xi =2f 兄2=3解方程組4,得I, d,y=x11.如圖,拋物線 y=ax+bx+c
40、 (awQ的圖象過點 C (0, 1),頂點為 Q (2, 3),點D在x軸正半軸上,且 OD=OC.(1)求直線CD的解析式; - 6x4-5二 一3 y2= _ 4.點P的坐標為Pi (2, - 3)(與點D重合)或P2 (3, - 4).(2)求拋物線的解析式;(3)將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn) 45°所得直線與拋物線相交于另一點E,求證:3EQs' CDO;(4)在(3)的條件下,若點 P是線段QE上的動點,點F是線段OD上的動點,問:在 P 點和F點移動過程中,APCF的周長是否存在最小值?若存在,求出這個最小值;若不存在,請說明理由.考點:二次函數(shù)綜合題.專題:
41、壓軸題.分析:(1)利用待定系數(shù)法求出直線解析式;(2)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(3)關鍵是證明4CEQ與CDO均為等腰直角三角形;(4)如答圖所示,作點 C關于直線QE的對稱點C ;作點C關于x軸的對稱點C,連 接CC,交OD于點F,交QE于點P,則4PCF即為符合題意的周長最小的三角形,由軸 對稱的性質(zhì)可知, 如CF的周長等于線段 CC 的長度.利用軸對稱的性質(zhì)、兩點之間線段最短可以證明此時APCF的周長最小.如答圖所示,利用勾股定理求出線段CC的長度,即4PCF周長的最小值.解答:解:(1) C (0, 1), OD=OC, . D 點坐標為(1,0).設直線CD的解析式為y=
42、kx+b (kw°,心八、/口 ' l=b將 C (0, 1) , D ( 1, 0)代入得:,lk+b=0解得:b=1 , k= - 1,直線CD的解析式為:y= - x+1 .(2)設拋物線的解析式為 y=a (x-2) 2+3 ,將 C (0, 1)代入得:1=ax (- 2) 2+3,解得 a= -1.2-y=-3(x-2) 2+3=-x2+2x+1.22(3)證明:由題意可知,/ ECD=45°,. OC = OD,且 OCOD,OCD 為等腰直角三角形,/ ODC=45° ,./ ECD = /ODC,,CE/x軸,則點 C、E關于對稱軸(直線
43、 x=2)對稱,.點E的坐標為(4, 1).如答圖所示,設對稱軸(直線 x=2)與CE交于點M,則M (2, 1), .ME=CM=QM=2, .QME 與4QMC 均為等腰直角三角形, . / QEC=ZQCE=45° .又 OCD為等腰直角三角形,/ ODC =/ OCD =45° , ./ QEC=ZQCE=ZODC = ZOCD=45° , . CEQscdO .(4)存在.如答圖所示,作點C關于直線QE的對稱點C;作點C關于x軸的對稱點C,連接C'C, 交OD于點F,交QE于點P,則4PCF即為符合題意的周長最小的三角形,由軸對稱的性質(zhì)可知,AP
44、CF的周長等于線段 CC的長度.(證明如下:不妨在線段 OD上取異于點F的任一點F',在線段QE上取異于點P的任一 點 P',連接 F'C, FP', PC'.由軸對稱的性質(zhì)可知,APCF的周長=F'C FP' PC'而F'C FP' PC是點C', C之間的折線段,由兩點之間線段最短可知:F'C FP' P'C'> C'C,即APCF的周長大于 4PCE的周長.)如答圖所示,連接 CE,. 0, C'關于直線QE對稱,為CE為等腰直角三角形, . QC
45、E為等腰直角三角形, . CEC為等腰直角三角形,.點C的坐標為(4, 5);. C, C關于x軸對稱,點 C的坐標為(0, - 1).過點 C 作 C'Ny 軸于點 N,則 NC' =4 NC" =4+1+1=6在RtC'NC中,由勾股定理得: CC辦C4耽"2=" +6 2= 2后綜上所述,在P點和F點移動過程中,PCF的周長存在最小值,最小值為12.如圖,拋物線與x軸交于A (1, 0)、B (-3, 0)兩點,與y軸交于點C (0, 3),設拋物線的頂點為D.(1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標.(2)試判斷ABCD的形狀,并說明
46、理由.(3)探究坐標軸上是否存在點 P,使得以P、A、C為頂點的三角形與 4BCD相似?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.考點:二次函數(shù)綜合題.專題:壓軸題.分析:(1)利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;(2)利用勾股定理求得 ABCD的三邊的長,然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷;(3)分p在x軸和y軸兩種情況討論,舍出 P的坐標,根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等 即可求解.解答:解:(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c由拋物線與y軸交于點C (0, 3),可知c=3.即拋物線的解析式為 y=ax2+bx+3.把點A (1, 0)、點B ( - 3, 0)代入,得
47、,a+b+3-。解得 a= - i, b= - 29a - 3b+3=0,拋物線的解析式為 y= - x2 - 2x+3 .y= - x2 - 2x+3= - ( x+1) 2+4,頂點D的坐標為(-1,4);(2) ABCD是直角三角形.理由如下:解法一:過點 D分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為 E、F.在 RtABOC 中,OB=3, OC=3, -BC2=qb2+OC2=18在 RWDF 中,DF=1 , CF=OF - OC=4-3=1 , CD2=DF2+CF2=2在 RtBDE 中,DE=4, BE=OB-OE=3- 1=2, -BD2=DE2+BE2=20222- BC +CD
48、 =BD. BCD為直角三角形.解法二:過點 D作DF,y軸于點F.在 RtBOC 中, OB=3, OC=3.OB = OC.,.Z OCB=45° .在 RtCDF 中,DF=1, CF=OF- OC=4- 3=1.DF=CF ./ DCF =45°/ BCD=180° - / DCF - / OCB=90° . BCD為直角三角形.(3) BCD的三邊,=-!-=,又"=,故當P是原點 O時,AACPsDBC;BC 3V2 0C當AC是直角邊時,若AC與CD是對應邊,設P的坐標是(0, a),則PC=3-a,空,CD BD即當3=2,解得
49、:a=-9,則P的坐標是(0, - 9),三角形ACP不是直角三角形,則V2 2V5祥CPs CBD不成立;當AC是直角邊,若AC與BC是對應邊時,設P的坐標是(0, b),則PC=3-b,則空&,BC BD即丈&二±上 解得:b=-,故P是(0,-)時,則 9CPscbd一定成立;班2V5當P在x軸上時,AC是直角邊,P一定在B的左側,設P的坐標是(d, 0).,解得:d=1 3、RG,此時,貝U AP=1 - d,當AC與CD是對應邊時, 旭=世,即4=:wCD BC五卬5兩個三角形不相似;當P在x軸上時,AC是直角邊,P一定在B的左側,設P的坐標是(e, 0).
50、則AP=1-e,當AC與DC是對應邊時,空二絲,即蟲9=,解得:e=-9,符合條件.CD BD 3V2 275對應練習213.如圖,已知拋物線 y=ax+bx+3與x軸交于A、B兩點,過點A的直線l與拋物線交于點C,其中A點的坐標是(1,0), C點坐標是(4, 3).(1)求拋物線的解析式;(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點D,使4BCD的周長最???若存在,求出點 D的坐標,若不存在,請說明理由;(3)若點E是(1)中拋物線上的一個動點,且位于直線AC的下方,試求 9CE的最大面積及E點的坐標.考點:二次函數(shù)綜合題.專題:代數(shù)幾何綜合題;壓軸題.分析:(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解
51、析式解答即可;(2)利用待定系數(shù)法求出直線 AC的解析式,然后根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,直線 AC 與對稱軸的交點即為所求點D;(3)根據(jù)直線AC的解析式,設出過點 E與AC平行的直線,然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關于x的一元二次方程,利用根的判別式 4=0時,9CE的面積最大,然后求出此 時與AC平行的直線,然后求出點E的坐標,并求出該直線與x軸的交點F的坐標,再求出AF,再根據(jù)直線l與x軸的夾角為45。求出兩直線間的距離,再求出AC間的距離,然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解.解答:3),解:(1)二.拋物線 y=ax2+bx+3 經(jīng)過點 A (1, 0),點 C (4,a+b
52、+ 3=0 加/日,解得*(16a+4b+3=31,所以,拋物線的解析式為b=- 4y=x2 - 4x+3;(2)二點A、B關于對稱軸對稱,點D為AC與對稱軸的交點時BCD的周長最小,設直線AC的解析式為y=kx+b(kwQ ,則.- -5b= - 1所以,直線AC的解析式為y=x- 1,y=x2- 4x+3= (x- 2)2- 1,拋物線的對稱軸為直線當 x=2 時,y=2 - 1=1 ,,拋物線對稱軸上存在點D (2, 1),使4BCD的周長最小;(3)如圖,設過點 E與直線AC平行線的直線為y=x+m,"L,消掉 y 得,x2- 5x+3 - m=0,yf* - 4x+3二(5
53、)2-4X1X (3- m) =0,即m=-13時,點E到AC的距離最大, AACE的面積最大,此時 x= , y= - JJ?=一, 4 點E的坐標為(,-) 設過點E的直線與x軸交點為F,則F (11, 0),4.AF =12- 1 =, 4;直線AC的解析式為y=x-1, ./ CAB=45° , 點F到AC的距離為 走=迎20又 AC=,3 2+ (4 - )=3Ve,14.如圖,已知拋物線.ACE的最大面積2 .y= - x +bx+4與x軸相父于 A、B兩點,與y軸相交于點C,若已知A點的坐標為A (-2, 0).(1)求拋物線的解析式及它的對稱軸方程;(2)求點C的坐標
54、,連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式;(3)試判斷 祥OC與ACOB是否相似?并說明理由;Q,使9CQ為等腰三角形?若存在,求出符合條件(4)在拋物線的對稱軸上是否存在點的Q點坐標;若不存在,請說明理由.考點:二次函數(shù)綜合題.專題:壓軸題.x= - 求出對稱軸2aB坐標.再利用待需要分類討論,分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式,利用配方法或利用公式 方程;(2)在拋物線解析式中,令 x=0 ,可求出點C坐標;令y=0,可求出點定系數(shù)法求出直線 BD的解析式;(3)根據(jù) 空口,/ AOC=/BOC=90° ,可以判定 那OCscob;OC-OB(4)本問為存在型問題.若 9CQ為等腰三角形,則有三種可能的情形,:逐一計算,避免漏解.解答:解:(1)二.拋物線y= - x2+bx+4的圖象經(jīng)過點 A (-2, 0),2. - X ( - 2) +b X ( - 2) +4=0 ,解得:b=,拋物線解析式為 y= - x2+x+4,又 y= - x2+x+4= - ( x - 3) 2+-,對稱軸方程為:x=3.(2)在 y=-x2+x+4 中,令 x=0,得 y=4,C (0, 4);令 y=0,即x2+x+4=0,整理得 x26x16=0,解得:x=8 或 x= -2,.A (-2, 0), B (8, 0).設直線
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