反函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的求導法則

1、§ 2.3 反函數(shù)的導數(shù)，復合函數(shù)的求導法則 一、反函數(shù)的導數(shù)設x=巴y)是直接函數(shù)，y = f(x)是它的反函數(shù)，假定x = 邛(y)在Iy內(nèi)單調(diào)、可導，而且 叫y0,則反函數(shù)y = f(x)在問Ixqxny)，產(chǎn)Iy內(nèi)也是單 調(diào)、可導的，而且f (x)=17Ty)6 / 6(1)證明：lx,給x以增量©(/0,"狄7)由y = f(x)在Ix上的單調(diào)性可知y = f (x :=x) - f (x) = 0二y 1x jx于是：y因直接函數(shù)x=9(y)在Iy上單調(diào)、可導，故它是連續(xù)的，且反函數(shù)y = f(x)在Ix上也是連續(xù)的，當 甌-* 0時，必有Nt 0：y

2、 ,11hmo7x=hym0X=Zf (x)=【例11試證明下列基本導數(shù)公式(1). ( arcsin x )(2 ). ( arctgx11 x2(3). (log ax )1x ln a證1、設x=siny為直接函數(shù)，y =a9sinx是它的反函數(shù)i =（-,-）函數(shù)x=smy在y 2 2上單調(diào)、可導，且x=cosy#0因此，在Ix =（ T 1 ）上,(arcsinx) =1- cos yH JIy -（ 一一,一）注意到，當2 2,時,22cos y >0 cosy = 41 sin y = V1 - x因此,(arcsin x)n jiI二(.)證 2 設 xEgy, y (

3、2,2)則y = arctgx Ix =( -00 J8)x 二-2-0x=tgy在1y上單調(diào)、可導且 cos y(arctgx)故1(tgy)2=cos y =丁1 tg y11 x2x1(log a ) 二k (a )1y .a ln a_1x In a類似地，我們可以證明下列導數(shù)公式:(arccos x) 1 -1 -x2(arcctgx )1(ln x )= x二、復合函數(shù)的求導法則如果u=叫x）在點xo可導,而y=f（u）在點M=<P（x0）可導，則復合函數(shù)y = f N（x）在點xo可導,且導數(shù)為dy皿=f（U0）邛（x0） dx xbr 一 lim X = f （uo）一

4、，、，.證明：因由-0 Ax,由極限與無窮小的關(guān)系，有匚y = f （u0）lu YA ：、u（當：u0日i,0）用Ax# 0去除上式兩邊得：二ylul u二f （u0） -xx x由u=9（x）在x0的可導性有:lim 二二lim =二0xt 0u Mt 0, At。-j0yu u,lim =lim f （u。） 一 x0 Lxx0二xLx.uu=f （u0） lim lim 工 lim .x 0 x .x-o.x-o x=f （u。）：（x。）dy = f （u。）小。）即 dx x為上述復合函數(shù)的求導法則可作更一般的敘述：若口 = *（X）在開區(qū)間lx可導，V = f（U）在開區(qū)間IU可

5、導，且V X三Ix時，對應的u三Iu,則復合函數(shù)y= f *（x）在Ix內(nèi)可導，且dy dy du =tdx du dx（2）復合函數(shù)求導法則是一個非常重要的法則，特給出如下注記：(1).求導法則(2)稱之為鎖鏈法典I 復合函數(shù)y = F()，" = (力)的 變量關(guān)系鏈為；y-u-x欲求)對才的導數(shù)，先對J的導 數(shù)%,再求m對式的導數(shù)會，最后將它們相乘處也.du dx弄懂了鎖鏈規(guī)則的實質(zhì)之后，不難給出復合更多層函數(shù)的求導公式。dy【例2】y = f中g(shù)(x),求dx引入中間變量，設v ="幻，口 =中(0，于是y = f(u)變量關(guān)系是yuVX,由鎖鏈規(guī)則有:dy dy

6、du dv dx du dv dx(2)、用鎖鏈規(guī)則求導的 關(guān)鍵引入中間變量，將復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)。還應注意：求導完成后,應將引入的中間變量代換成原自變量。dy【例3】求y = sin2x的導數(shù)dx。解：設u = 2x ,則y = sin u , u = 2x ,由鎖鏈規(guī)則有:dydx_ dy dududx三(sin u) (2x)' = (cosu) 2 = 2cos2x【例4】, x dy=ln tg 2 ,求 dx。x解：引入中間變量丫=一,虱=電節(jié),2函數(shù)可分解成y = ln,U = tgVf著名例dy _ dy du dv由鎖鏈規(guī)則有 dx dudv dxcos2 v（基本初等函數(shù)求導）x tg - cos（消中間變量）sin x由上例，不難發(fā)現(xiàn)復合函數(shù)求導竅門中間變量在求導過程中，只是起過渡作用，熟練之后，可不必引入，僅需“心中有鏈”In*-吟中閽變置用久中間變置）H自變）然后，對函數(shù)所有中間變量求導，直至求到自變量為止，最后諸導數(shù)相乘。請看下面的演示過程:dyxdx=(lntg 2)1tgix(tg -)2 x cos 一1 1x x