運用數(shù)形結(jié)合思想求解二次函數(shù)利潤問題

1、運用數(shù)形結(jié)合思想求解二次函數(shù)利潤問題數(shù)學(xué)符號，包含了約定符號、縮寫符號及象形符號三種.不同符號可以依照數(shù)學(xué)所具有的規(guī)則以及邏輯含義進行組件， 可以形成相應(yīng)的式子或者符號串， 從而產(chǎn)生數(shù)學(xué)句子或數(shù)學(xué) 式的語言內(nèi)容.而這里的“形”，也不僅是數(shù)學(xué)中常見的幾何圖形，還有表格、代數(shù)中的數(shù)軸、函數(shù)圖 象、概率中的樹狀圖等等一些圖標(biāo)形式.這些都是數(shù)學(xué)形象思維的中介內(nèi)容和載體內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)思維之中的結(jié)果以及重要的材料內(nèi)容.同時，還能夠作為一種運用工具，進一步的展開抽象思維.那么，如何把“數(shù)”與“形”結(jié)合起來？下面，以二次函數(shù)利潤問題為例加以闡述.案例1某商店購進一種單價為 40元的籃球，若以單價 50元出售，

2、則每月可售出 500 個，根據(jù)銷售經(jīng)驗，售價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少 10個，問當(dāng)籃球售價定為多少時，每月利潤最大，為多少元 ？這是在二次函數(shù)中出現(xiàn)頻率較高的一道題，曾經(jīng)也不止一次在公開課中聽過不同版本的講解.能不能把這道實際中較抽象的問題形象化、具體化，讓學(xué)生更快、更準的掌握這道題？筆者想到了數(shù)形結(jié)合思想.可以進行如下的設(shè)計：（1）假設(shè)你是店主，你怎樣理解“售價每提高 1元，銷售量相應(yīng)減少 10個” ？抓住題目中較關(guān)鍵的“文字語言”，深刻理解較關(guān)鍵的“文字語言”，把這些“文字語言”與實際生活聯(lián)系起來，使這些抽象的“文字語言”生活化，形象化 售價銷售量T1元I】0個T2元H )T3元i 4元

3、1()!()T需元（后填入）1 Uh個（后填入）其中代表提高、漲價；代表減少、降價，在這里筆者設(shè)計了以上圖表，用最簡單的數(shù)字規(guī)律，讓學(xué)生直觀的看到銷售量與售價漲 幅之間的關(guān)系.教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生很容易得到 20個，30個，40個，但20個，30個，40個并 不是我們想要的，筆者填入的是10X2, 10>3, 10M,強調(diào)銷售量與售價漲幅之間的倍數(shù)關(guān)系，把題目中的“售價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少10個”這句數(shù)字語言轉(zhuǎn)化為圖表形式設(shè)計意圖讓學(xué)生從實際出發(fā)，從簡單的數(shù)出發(fā)，用圖表形式直觀的觀察得出，銷售量與 售價漲幅之間的數(shù)量關(guān)系.（體現(xiàn)從“數(shù)”到“形”）（2）假設(shè)銷售單價提高 x元.從數(shù)字出發(fā)，

4、引入變量X,學(xué)生很容易由表1通過類比法得出銷售量與售價漲幅X之間的數(shù)量關(guān)系.這樣僅僅找出了銷售量與單價漲幅X之間的數(shù)量關(guān)系，還不完整.T X元 J 10X個（在上表中補充）故銷售量是在原來數(shù)量的基礎(chǔ)上，減少 10X個，即本題中（500-10x）.（完成從“形”到筆者又設(shè)計了以下圖表，把整個一道題都用圖表呈現(xiàn)出來，同學(xué)們戲稱為“井字格”每個利潤數(shù)量原來現(xiàn)在上表對于此類二次函數(shù)利潤問題可以通用，“每個利潤”有可能是賣水果時每千克利潤，買衣服時每件利潤等等；“數(shù)量”可能是銷售量及其他數(shù)量個數(shù)關(guān)系；“原來”指漲(降)價前的商品有關(guān)量；“現(xiàn)在”指漲(降)后的商品有關(guān)量.學(xué)生只要會填寫此表，這類利潤問題不

5、在 話下.上述“井字格”表是解決二次函數(shù)利潤問題的“萬能鑰匙”就此題而言，每個利潤書寫時強調(diào) (50 -40)元，漲價是在50元基礎(chǔ)上漲X元，故售價為(50+x)元，所得每個利潤為(50+ x)-40元;銷售量：原來500個，漲價后減少了 10x個，故為(500 -10X)個。其中(50 -40)元，(50 +x) -40元，強調(diào)解題中所體現(xiàn)的過程信息量.比直接書寫10元，10+x元，對于學(xué)生接受、理解更好一些.每個利潤數(shù)量原來50-40500現(xiàn)在(50 +x) -40500-10x其中，學(xué)生最難得到的是 (500 -10x)這個部分.(又一次從“數(shù)”到“形”) 而籃球總利潤用y表示，則丫=(

6、50+乂)40(50010x)(從“形”到“數(shù)”)-1 0x24 0x05000=T0K - 20)+ 9000式)，當(dāng)x=20時，y最大值為9000元，至此，這道題就做完了 .但是作為教師知道，此時直接用頂點坐標(biāo)求最值欠妥當(dāng).我們知道，二次函數(shù)在很多情況下，最大值并不能取到頂點處，這與函數(shù)的自變量x的取值范圍有關(guān).為了進一步說明問題，筆者又設(shè)計了問題(3)、(4),使利潤最值問題更具體化 .(3)假設(shè)物價部門規(guī)定，籃球售價不得高于每個65元，求當(dāng)籃球售價定為多少元時，每月利潤最大？(4)當(dāng)每月利潤不低于 8840元時，求出籃球售價的取值范圍.問題(3),對籃球售價作出了限制 河題(4)對每月

7、利潤y作出限制.如何解決不高于、不低 于的問題 豉們想到了二次函數(shù)的圖象，能否把上述的數(shù)學(xué)語言反映在圖象上？向題（3）,售價不得高于65元，即50+XW65 ,僅有此式不行，必須保證同時有禾U潤、 有銷售量.50 x 與 65 I50 x -40 _0500 -10X _0解得到0 wx M15.轉(zhuǎn)化到圖象上，滿足條件的部分僅僅是0 W x三15拋物線上一部分（這里需要學(xué)生熟練地畫出二次函數(shù)的大致圖象，這在前面二次函數(shù)圖象性質(zhì)的學(xué)習(xí)中需要強化訓(xùn)練），如圖1.觀察圖象學(xué)生很直觀地可發(fā)現(xiàn)，此時頂點坐標(biāo)已不再是最大值，而當(dāng) x=15, y有最大值.這是觀察圖象得出的，從而完成了由“形”到“數(shù)”的過程

8、500015；工工20：(20,900()y*90005000.,工二20產(chǎn) 88401524問題（4）,當(dāng)利潤不低于8840元時，y軸表示利潤（在函數(shù)中尋求不等關(guān)系時，通常是從 相等關(guān)系給出的）.不妨取y= 8840,找出對應(yīng)的x取值，把8840這個數(shù)表示在圖象這個“形”上，如圖2.當(dāng) y = 8840 時,-10(x 20)2 + 9000 = 8840,解得x1 二24區(qū)-16.在圖象上找出點（16,8840） , （24,8840）,而利潤不低于 8840元，對應(yīng)的是拋物線在 直線y= 8840上方的部分，即 x的取值在16 Ex E 24內(nèi)，故定價在 6674元之間.設(shè)計意圖在問題（

9、3）、（4）中，注重培養(yǎng)學(xué)生如何把“數(shù)”轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象，通過研究函 數(shù)圖象的“形”，再轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號.讓學(xué)生充分感受“數(shù)”骨“形”不停轉(zhuǎn)化的過程，體會 數(shù)的抽象與形的具體.案例2某工藝廠設(shè)計了一款成本為20元/件的工藝品，投放市場進行試銷.經(jīng)過調(diào)查,發(fā)現(xiàn)每天銷售量y （件）與銷售單價x（元/件）滿足一定的函數(shù)關(guān)系：錯售單價”元/件）-30405060 每天銷售量 y（件）-500400300200B « （1）試求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(2)當(dāng)銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品，每天可獲得的利潤W最大，最大利潤是多少？(3)當(dāng)?shù)匚飪r部門規(guī)定，該工藝品銷售單價最高不能超過45元/

10、件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠試銷工藝品每天獲得利潤、最大 ？此題較案例1簡單.首先我們需要從題目中所給圖表出發(fā)，在平面直角坐標(biāo)系中， 把表3中x, y的各組對應(yīng)值作為點的坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點，根據(jù)點的分布特征， 構(gòu)建所對應(yīng)的函數(shù)模型，并根據(jù)函數(shù)模型，得出函數(shù)關(guān)系，從而求出函數(shù)關(guān)系式.這一系列過程中，把“圖表”的“形”先轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的“形”，再由函數(shù)圖象的“形”轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式的“數(shù)”，完成由“形”到“數(shù)”的一個過程 .根據(jù)給出的圖表，描點作圖，可得圖 3.得出y與x之間滿足一次函數(shù)關(guān)系， 從而可從給出的圖表中任取x, y兩組值，用待定系數(shù)法，求出y與x之間的關(guān)系式y(tǒng) = 10x+800(

11、x20).對于問題(2),要求每天獲得的利潤 w ,而利潤=銷售總價-成本總價.在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)， 學(xué)生更易掌握和理解的是利潤 =(每件售價-每件成本)父銷售量，即利潤=每件利潤父銷售量.其中銷售單價x元/件，題中已給出，成本件為 20元/件，故易得每件利潤=(x20)元/件，w =(x-20)y三 (x-20)(-10x 800)_ 2 -10x1000x -16000=T0K - 50)90頂點式)這時，需要借助于二次函數(shù)的大致圖象解決問題根據(jù)實際生活經(jīng)驗，我們知道利潤w對應(yīng)圖象并不是整個拋物線，需滿足Ix-20.-10x 800 -0即銷售單價不能低于成本，并且銷售量也不可能為負值，從而求出20 W x W 80 ,得出x的取值范圍，對拋物