高中數(shù)學(xué)-第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的概念講義-新人教A版必修一第一冊

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上3.1.1函數(shù)的概念最新課程標準：在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用。了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域知識點一函數(shù)的概念1函數(shù)的概念一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function)，記作yf(x)，xA.2函數(shù)的定義域和值域函數(shù)yf(x)中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域(domain)；與x的值相對應(yīng)的

2、y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域(range)顯然，值域是集合B的子集對函數(shù)概念的3點說明(1)當A , B為非空實數(shù)集時，符號“ f ：AB ”表示A到B的一個函數(shù)(2)集合A中的數(shù)具有任意性，集合B中的數(shù)具有唯一性(3)符號“f ”表示對應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣知識點二區(qū)間的概念1區(qū)間的幾何表示定義名稱符號數(shù)軸表示x|axb閉區(qū)間a，bx|a<x<b開區(qū)間(a，b)x|ax<b半開半閉區(qū)間a，b)x|a<xb半開半閉區(qū)間(a，b2.實數(shù)集R的區(qū)間表示實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(，)，“”讀作“無窮大”；“”讀作“負無窮大”；“”

3、讀作“正無窮大”3無窮大的幾何表示定義符號數(shù)軸表示x|xaa，)x|x>a(a，)x|xb(，bx|x<b(，b)關(guān)于無窮大的2點說明(1)“”是一個符號，而不是一個數(shù)(2)以“”或“”為端點時，區(qū)間這一端必須是小括號知識點三同一函數(shù)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)教材解難1教材P60思考根據(jù)問題1的條件，我們不能判斷列車以350 km/h運行半小時后的情況，所以上述說法不正確顯然，其原因是沒有關(guān)注到t的變化范圍2教材P63思考反比例函數(shù)y(k0)的定義域為x|x0，對應(yīng)關(guān)系為“倒數(shù)的k倍”，值域為y|y0

4、反比例函數(shù)用函數(shù)定義敘述為：對于非空數(shù)集Ax|x0中的任意一個x值，按照對應(yīng)關(guān)系f“倒數(shù)的k(k0)倍”，在集合By|y0中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么此時f：AB就是集合A到集合B的一個函數(shù)，記作f(x)(k0)，xA.3教材P66思考初中所學(xué)習的函數(shù)傳統(tǒng)定義與高中的近代定義之間的異同點如下：不同點：傳統(tǒng)定義從變量變化的角度，刻畫兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系；而近代定義，則從集合間的對應(yīng)關(guān)系來刻畫兩個非空數(shù)集間的對應(yīng)關(guān)系相同點：兩種對應(yīng)關(guān)系滿足的條件是相同的，“變量x的每一個值”以及“集合A中的每一個數(shù)”，都有唯一一個“y值”與之對應(yīng)基礎(chǔ)自測1下列從集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的是()AA1

5、,0,1，B0,1，f：A中的數(shù)平方BA0,1，B1,0,1，f：A中的數(shù)開方CAZ，BQ，f：A中的數(shù)取倒數(shù)DA平行四邊形，BR，f：求A中平行四邊形的面積解析：對B，集合A中的元素1對應(yīng)集合B中的元素±1，不符合函數(shù)的定義；對C，集合A中的元素0取倒數(shù)沒有意義，在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，不符合函數(shù)的定義；對D，A集合不是數(shù)集，故不符合函數(shù)的定義綜上，選A.答案：A2函數(shù)f(x)的定義域為()A(1，)B1，)C1,2) D1,2)(2，)解析：使函數(shù)f(x)有意義，則即x1，且x2.所以函數(shù)的定義域為x|x1且x2故選D.答案：D3下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()Ay與yx3B

6、y1與yx1Cyx0(x0)與y1(x0)Dyx1，xZ與yx1，xZ解析：A中兩函數(shù)定義域不同；B中兩函數(shù)值域不同；D中兩函數(shù)對應(yīng)法則不同答案：C4用區(qū)間表示下列集合：(1)_；(2)x|x<1或2<x3_.解析：(1)注意到包括不包括區(qū)間的端點與不等式含不含等號對應(yīng)，則x|x<5，5)(2)注意到集合中的“或”對應(yīng)區(qū)間中的“”，則x|x<1或2<x3(，1)(2,3答案：(1)(2)(，1)(2,3題型一函數(shù)的定義經(jīng)典例題例1根據(jù)函數(shù)的定義判斷下列對應(yīng)關(guān)系是否為從集合A到集合B的函數(shù)：(1)A1,2,3，B7,8,9，f(1)f(2)7，f(3)8；(2)A1

7、,2,3，B4,5,6，對應(yīng)關(guān)系如圖所示；(3)AR，By|y>0，f：xy|x|；(4)AZ，B1,1，n為奇數(shù)時，f(n)1，n為偶數(shù)時，f(n)1.【解析】對于集合A中的任意一個值，在集合B中都有唯一的值與之對應(yīng)，因此(1)(4)中對應(yīng)關(guān)系f是從集合A到集合B的一個函數(shù)(2)集合A中的元素3在集合B中沒有對應(yīng)元素，且集合A中的元素2在集合B中有兩個元素(5和6)與之對應(yīng)，故所給對應(yīng)關(guān)系不是集合A到集合B的函數(shù)(3)A中的元素0在B中沒有對應(yīng)元素，故所給對應(yīng)關(guān)系不是集合A到集合B的函數(shù).1.從本題(1)可以看出函數(shù)f(x)的定義域是非空數(shù)集A，但值域不一定是非空數(shù)集B，也可以是集合B

8、的子集2判斷從集合A到集合B的對應(yīng)是否為函數(shù)，一定要以函數(shù)的概念為準則，另外也要看A中的元素是否有意義，同時，一定要注意對特殊值的分析方法歸納(1)判斷一個集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系的方法：A，B必須都是非空數(shù)集；A中任意一個數(shù)在B中必須有并且是唯一的實數(shù)和它對應(yīng)注意A中元素無剩余，B中元素允許有剩余(2)函數(shù)的定義中“任意一個x”與“有唯一確定的y”說明函數(shù)中兩變量x，y的對應(yīng)關(guān)系是“一對一”或者是“多對一”，而不能是“一對多”跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)Mx|0x2，Ny|0y2，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有() A0個B1個C2個 D3個(2)下列對應(yīng)是否

9、是函數(shù)？x，x0，xR；xy，其中y2x，xR，yR.解析：(1)圖號正誤原因 ×x2時，在N中無元素與之對應(yīng)，不滿足任意性同時滿足任意性與唯一性×x2時，對應(yīng)元素y3N，不滿足任意性×x1時，在N中有兩個元素與之對應(yīng)，不滿足唯一性答案：(1)B(1)x0，1取不到1，2.y0，3超出了N0，2范圍.可取一個x值，y有2個對應(yīng)，不符合題意.(2)是函數(shù)因為任取一個非零實數(shù)x，都有唯一確定的與之對應(yīng)，符合函數(shù)定義不是函數(shù)當x1時，y±1，即一個非零自然數(shù)x，對應(yīng)兩個y的值，不符合函數(shù)的概念答案：(2)是函數(shù)不是函數(shù)(2)關(guān)鍵是否符合函數(shù)定義題型二求函數(shù)的定

10、義域經(jīng)典例題例2(1)函數(shù)f(x)的定義域是()A.1,1)B1,1)(1，)C1，)D(1，)(2)求下列函數(shù)的定義域y；y.【解析】(1)由解得x1，且x1.所以所求函數(shù)的定義域為1,1)(1，)【答案】(1)B(1)依據(jù)分式的分母不為0，二次根式的被開方數(shù)大于等于0，列不等式組求定義域【解析】(2)要使函數(shù)有意義，需滿足即得x>2且x3.所以所求函數(shù)的定義域為(2,3)(3，)要使函數(shù)有意義，需滿足即所以x>0且x1，所以所求函數(shù)的定義域為(0,1)(1，)【答案】(2)見解析(2)依據(jù)分式的分母不為0，二次根式的被開方數(shù)大于等于0,0的0次冪沒有意義，列不等式組求定義域方法

11、歸納求函數(shù)的定義域(1)要明確使各函數(shù)表達式有意義的條件是什么，函數(shù)有意義的準則一般有：分式的分母不為0；偶次根式的被開方數(shù)非負；yx0要求x0.(2)當一個函數(shù)由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合(3)定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號“”連接跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x).解析：(1)要使函數(shù)有意義，只需x23x20，即x1且x2，故函數(shù)的定義域為x|x1且x2(2)要使函數(shù)有意義，則解得x<0且x1.所以定義域為(，1)(1

12、,0)(3)要使函數(shù)有意義，則解得x<2，且x0.故定義域為(0,2)(1)分母不為0(2)(3)題型三同一函數(shù)教材P66例3例3下列函數(shù)中哪個與函數(shù)yx是同一個函數(shù)？(1)y()2; (2)u；(3)y； (4)m.【解析】(1)y()2x(xx|x0)，它與函數(shù)yx(xR)雖然對應(yīng)關(guān)系相同，但是定義域不相同，所以這個函數(shù)與函數(shù)yx(xR)不是同一個函數(shù)(2)uv(vR)，它與函數(shù)yx(xR)不僅對應(yīng)關(guān)系相同，而且定義域也相同，所以這個函數(shù)與函數(shù)yx(xR)是同一個函數(shù)(3)y|x|它與函數(shù)yx(xR)的定義域都是實數(shù)集R，但是當x<0時，它的對應(yīng)關(guān)系與函數(shù)yx(xR)不相同所以

13、這個函數(shù)與函數(shù)yx(xR)不是同一個函數(shù)(4)mn(nn|n0)，它與函數(shù)yx(xR)的對應(yīng)關(guān)系相同但定義域不相同所以這個函數(shù)與函數(shù)yx(xR)不是同一個函數(shù)教材反思判斷同一函數(shù)的三個步驟和兩個注意點(1)判斷同一函數(shù)的三個步驟(2)兩個注意點：在化簡解析式時，必須是等價變形；與用哪個字母表示無關(guān)跟蹤訓(xùn)練3試判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)(1)f(x)，g(x)x1；(2)f(x)，g(x)；(3)f(x)x2，g(x)(x1)2；(4)f(x)|x|，g(x).解析：序號是否相同原因(1)不同定義域不同，f(x)的定義域為x|x0，g(x)的定義域為R(2)不同對應(yīng)關(guān)系不同，f(x)，g(x)(

14、3)不同定義域相同，對應(yīng)關(guān)系不同(4)相同定義域和對應(yīng)關(guān)系相同判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，要看三要素是否對應(yīng)相同函數(shù)的值域可由定義域及對應(yīng)關(guān)系來確定，因而只要判斷定義域和對應(yīng)關(guān)系是否對應(yīng)相同即可題型四求函數(shù)的值域經(jīng)典例題例4求下列函數(shù)的值域(1)y34x，x(1,3(2)y.(3)yx24x5，x1,2,3(4)yx24x5.【解析】(1)因為1<x3，所以124x<4，所以934x<7，所以函數(shù)y34x，x(1,3的值域是9,7)(2)因為y22，所以函數(shù)y的值域為y|yR且y2(3)函數(shù)的定義域為1,2,3，當x1時，y124×152，當x2時，y224

15、5;251，當x3時，y324×352，所以這個函數(shù)的值域為1,2，(4)因為yx24x5(x2)21，xR時，(x2)211，所以這個函數(shù)的值域為1，)(1)用不等式的性質(zhì)先由x(1,3求4x的取值范圍，再求34x的取值范圍即為所求(2)先分離常數(shù)將函數(shù)解析式變形，再求值域(3)將自變量x1,2,3代入解析式求值，即可得值域(4)先配方，然后根據(jù)任意實數(shù)的平方都是非負數(shù)求值域.方法歸納求函數(shù)值域的常用方法(1)觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察法得到(2)配方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法(3)換元法：運用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)

16、的值域?qū)τ趂(x)axb(其中a，b，c，d為常數(shù)，且ac0)型的函數(shù)常用換元法(4)分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域跟蹤訓(xùn)練4求下列函數(shù)的值域：(1)y2x1，x1,2,3,4,5；(2)y1；(3)y；(4)yx22x3(5x2)解析：(1)將x1,2,3,4,5分別代入y2x1，計算得函數(shù)的值域為3,5,7,9,11(2)因為0，所以11，即所求函數(shù)的值域為1，)(3)因為y1，所以函數(shù)的定義域為R，因為x211，所以0<2.所以y(1,1所以所求函數(shù)的值域為(1,1(4)yx22x3(x1)24.因為5x2，所以4x11.

17、所以1(x1)216.所以124(x1)23.所以所求函數(shù)的值域為12,3(3)先分離再求值域(4)配方法求值域一、選擇題1下列各個圖形中，不可能是函數(shù)yf(x)的圖象的是()解析：對于1個x有無數(shù)個y與其對應(yīng)，故不是y的函數(shù)答案：A2函數(shù)f(x)的定義域是()A.B.C.D.解析：由題意得解得3x<且x，故選B.答案：B3已知函數(shù)f(x)1，則f(2)的值為()A2B1C0 D不確定解析：因為函數(shù)f(x)1，所以不論x取何值其函數(shù)值都等于1，故f(2)1.故選B.答案：B4下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()Ayx1和yBy和y()2Cf(x)x2和g(x)(x1)2Df(x)和g(x

18、)解析：只有D是相同的函數(shù)，A與B中定義域不同，C是對應(yīng)法則不同答案：D二、填空題5. 用區(qū)間表示下列數(shù)集(1)x|x2_；(2)x|3<x4_；(3)x|x>1且x2_.解析：由區(qū)間表示法知：(1)2，)；(2)(3,4；(3)(1,2)(2，)答案：(1)2，)(2)(3,4(3)(1,2)(2，)6函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的定義域為_，值域為_解析：由f(x)的圖象可知 5x5，2y3.答案：5,52,37若Ax|y，By|yx21，則AB_.解析：由Ax|y，By|yx21，得A1，)，B1，)，AB1，)答案：1，)三、解答題8(1)求下列函數(shù)的定義域：y；y；y；(2)將長為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長x的解析式，并寫出此函數(shù)的定義域解析：(1)4x0，即x4，故函數(shù)的定義域為x|x4分母|x|x0, 即|x|x，所以x<0.故函數(shù)的定義域為x|x<0解不等式組得故函數(shù)的定義域是x|1x5，且x3(2)設(shè)矩形一邊長為x，則另一邊長為(a2x)，所以yx·(a2x)x2ax，函數(shù)的定義域為0<x<，定義域為.9求下列各函數(shù)的值域：(1)yx1，x2,3,4,5,6；(2)yx24x6；(3)yx.解析：(1)因