全等三角形的經(jīng)典模型(一)

1、等腰直角三角形數(shù)學(xué)模型思路：利用特殊邊特殊角證題（ AC=BC或90, 45%45，）.如圖1;常見(jiàn)輔助線為作高，利用三線合一的性質(zhì)解決問(wèn)題.如圖2;補(bǔ)全為正方形.如圖3, 4.圖3圖4【例1】AC已知：如圖所示， RtABC中，AB=AC, /BAC =90 ,。為BC的中點(diǎn),寫出點(diǎn)。到 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的關(guān)系（不要 求證明）如果點(diǎn)M、N分別在線段AC、AB上移動(dòng)，且在移動(dòng)中保持 AN=CM.試判斷 OMN的形狀，并證明你的結(jié)論 .如果點(diǎn) M、N分別在線段 CA、AB的延長(zhǎng)線上移動(dòng)，且在移動(dòng)中 AN=CM,試判斷中結(jié)論是否依然成立，如果是請(qǐng)給出證明.【解析】OA=OB = O

2、C連接OA,. OA=OC , BAO = . C =45 AN = CM.ANOACMO.ON=OMZNOA ZMOC. NOA . BON - . MOC . BON =90. NOM =90. .OMN是等腰直角三角形ONM依然為等腰直角三角形，證明：. / BAC=90 , AB=AC, O 為 BC 中點(diǎn) ./ BAO=Z OAC = ZABC = Z ACB=45 ,AO=BO = OC,.在 AANO 和 ACMO 中，AN =CMBAO =/C IAO =COANOA CMO (SAS).ON=OM, /AON = /COM, 又 / COM -Z AOM=90 , . .OM

3、N為等腰直角三角形.【例2】 兩個(gè)全等的含30，60,角的三角板 ADE和三角板ABC,如 圖所示放置，E,A,C三點(diǎn)在一條直線上，連接 BD,取BD的 中點(diǎn)M ,連接ME , MC .試判斷4EMC的形狀，并說(shuō)明理由.【解析】4EMC是等腰直角三角形【例3】【解析】證明：連接AM .由題意，得DE =AC,. DAE . BAC =90； DAB =90.，ADAB為等腰直角三角形.DM =MB ,MA =MB =DM ,ZMDA =/MAB =45：l .ZMDE =/MAC =105 ,AEDM 9 ACAM .EM =MC,/DME =/AMC .又 /EMC =/EMA +/AMC

4、=/EMA +/DME =90.CM _LEM ,AEMC是等腰直角三角形.已知：如圖， ABC 中，AB=AC, /BAC =90, D 是 AC 的中 點(diǎn)，AF _LBD于E ,交BC于F ,連接DF .求證：ZADB =/CDF .證法一：如圖，過(guò)點(diǎn) A作AN _LBC于N ,交BD于M .AB =AC , /BAC =90, /3=/DAM =45.ZC =45 ,Z3 =/C .AF _LBD ,/1 +/BAE =90 /BAC =90 ,/2 +ZBAE =90 ./1 =/2 .在 ABM和ACAF中，1-/2AB =AC1/3 =/C ABM ACAF .AM =CF .在

5、ADM和CDF中，AD =CDZDAM = CAM =CF ADM CDF ./ADB =/CDF .證法二：如圖，作 CM _L AC交AF的延長(zhǎng)線于 M . AF _LBD ,Z3 +/2 =90 , /BAC =90 ,Z1 +/2=90 ,Z1 =/3.在 ACM和 BAD中，1=/3AC =ABI /ACMBAD =90 ACM BAD . /M =/ADB , AD =CM AD =DC , .1. CM =CD .在ACMF和CDF中，CF =CF4/MCF =NDCF =45CM =CDACMF ACDF ,. /M =NCDF ZADB =/CDF .【例4】 如圖，等腰直角

6、 4ABC中，AC =BC，/ACB =90 , P為 ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足 PB =PC , AP =AC , 求證：/BCP =15A【解析】補(bǔ)全正方形ACBD ,連接DP,易證ADP是等邊三角形， ZDAP =60, ZBAD =45，/BAP =15 口，/PAC=30:，/ACP=75, ZBCP =15 .【探究對(duì)象】等腰直角三角形添補(bǔ)成正方形的幾種常見(jiàn)題型在解有關(guān)等腰直角三角形中的一些問(wèn)題，若遇到不易解決或解法比較復(fù)雜時(shí)，可將等腰直角三角形引 輔助線轉(zhuǎn)化成正方形，再利用正方形的一些性質(zhì)來(lái)解，常?？梢云鸬交y為易的效果，從而順利地求解。 例4為求角度的應(yīng)用，其他應(yīng)用探究如下：【探究

7、一】證角等【備選1】如圖，RtAABC中，/BAC=90, AB=AC, M為AC中點(diǎn)，連結(jié)BM ,作ADXBM交BC于點(diǎn)D, 連結(jié) DM ,求證:ZAMB = Z CMD .AA【解析】 作等腰RtABC關(guān)于BC對(duì)稱的等腰 RtABFC,延長(zhǎng)AD交CF于點(diǎn)N, .AN IBM,由正方形的性質(zhì)，可得 AN=BM ,易證 RtAABM RtA CAN , . / AMB = /CND , CN=AM , M 為 AC 中點(diǎn)，CM=CN,1=/2,可證得CMDCND, ./ CND = Z CMD , ./ AMB = Z CMD .【探究二】判定三角形形狀【備選2】如圖，RtAABC中, 線于點(diǎn)

8、F ,試判定/ BAC= 90 , DEF的形狀.AB=AC, AD=CE, ANBD 于點(diǎn)M,延長(zhǎng)BD交NE的延長(zhǎng)【解析】 作等腰RtABC關(guān)于BC對(duì)稱的等腰 RtABHC, 可知四邊形 ABHC為正方形，延長(zhǎng) AN交HC于點(diǎn)K, AKXBD,可知 AK=BD,易證：RtABD RtA CAK, ./ ADB=Z CKN , CK=AD, AD=EC, .1. CK=CE,易證CKNCEN, ./ CKN=/CEN, 易證/EDF=/DEF,. DEF為等腰三角形.【探究三】利用等積變形求面積【備選 3】如圖，RtAABC 中，ZA=90 , AB=AC, D 為 BC 上一點(diǎn)，DE / A

9、C, DF / AB,且 BE=4, CF=3,求S 矩形DFAE【解析】 作等腰RtABC關(guān)于BC的對(duì)稱的等腰 RtAGCB,可知四邊形 ABGC為正方形，分別延長(zhǎng) FD、ED交BG、CG于點(diǎn)N、M,可知 DN=EB=4, DM = FC=3,由正方形對(duì)稱性質(zhì)，可知 S矩形 dfae=S 矩形 dmgn=DM DN=3M4=12.【探究四】求線段長(zhǎng)【備選4】如圖， ABC中，ADXBC于點(diǎn)D, / BAC=45 , BD=3 , CD=2,求AD的長(zhǎng).【分析】此題若用面積公式結(jié)合勾股定理再列方程組求解是可以的，但解法太繁瑣，本題盡管已知條件不是等腰直角三角形，但BAC=45 ,若分別以AB、

10、AC為對(duì)稱軸作 Rk ADB的對(duì)稱直角三角形和Rt ADC的對(duì)稱直角三角形，這樣就出現(xiàn)兩邊相等且?jiàn)A角為90。的圖形，滿足等腰直角三角形的條件，然后再引輔助線使之轉(zhuǎn)化為正方形.【解析】 以AB為軸作RtAADB的對(duì)稱的RtAAEB,再以AC為軸作RtAADC的對(duì)稱的RtAAFC .可知 BE=BD=3, FC=CD=2,延長(zhǎng) EB、FC 交點(diǎn) G,/ BAC=45,由對(duì)稱性，可得 ZEAF=90 ,且 AE=AD=AF,易證四邊形AFGE為正方形，且邊長(zhǎng)等于 AD,設(shè) AD=x,貝U BG=x3, CG=x-2,在RtBCG中，由勾股定理，得 (x2 2 +(x3；2=52,解得x=6,即AD=

11、6.【探究五】求最小值【備選5】如圖，RtABC中，/ ACB=90, AC=BC=4, M為AC的中點(diǎn)，P為斜邊 AB上的動(dòng)點(diǎn)，求PM + PC 的最小值.BCD【解析】 將原圖形通過(guò)引輔助線化歸為正方形，即作RtACB關(guān)于AB對(duì)稱的RtADB,可知四邊形ACBD為正方形,連接CD,可知點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D,連接MD交AB于點(diǎn)P,連接CP,則PM + PC 的值為最小，最小值為 :PM + PC=DM =吊42 +22 =2而.題型二：三垂直模型2【弓 I例】已知 ABBD, EDXBD, AB=CD , BC=DE,求證：ACXCE;若將 CDE沿CB方向平移得到等不同情形，AB =C1

12、D ,其余條件不變，試判斷 ACCiE這一結(jié)論是否成立？若成立，給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 【解析】 ABBD, EDXBD. B =/D =90在 ABC與4CDE中AB =CDIZB =/DBC =DE ABC ACDE (SAS). 1 = . E, 2 . E =90/ACE =90 月即 ACXCE ABCAC1DE圖四種情形中，結(jié)論永遠(yuǎn)成立，證明方法與完全類似，只要證明 . . ACBC1ED/C1ED +/DC1E =90ZDC1E +/ACB =90口ACXCiE【例5】 正方形ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0,10）, （8,4）,點(diǎn)C在第一象限.求正方形邊長(zhǎng)及頂點(diǎn)C

13、的坐標(biāo).（計(jì)算應(yīng)用：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.）G【解析】 過(guò)點(diǎn)C作CG，x軸于G,過(guò)B作BE，y軸于 巳 并反向延長(zhǎng)交 CG于F 點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0,10卜（8,4），BE=8, AE=6,AB=10.四邊形 ABCD是正方形，AB=BC ,/1 . 3 =90. 2 . 3 =9 0.1 =/2 /AEB /BFC =90 AEBA BFCAB=BC ,.CF=BE=8, BF=AE=6 .CG=12 EF=14 C（14, 12）,正方形的邊長(zhǎng)為 10 一產(chǎn)一； 【點(diǎn)評(píng)】此題中三垂直模型：/例6如圖所示，在直角梯形 ABCD中，/ABC =90, AD /

14、BC ,AB 的中點(diǎn)，CE _LBD .求證：BE =AD ； 求證：AC是線段ED的垂直平分線; 4DBC是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】 /ABC =90。BD_LEC,ZECB +/DBC =90s, /ABD +/DBC =90：，/ECB =/ABD , /ABC =/DAB =90 , AB =BC , BAD CBE , AD =BE . E 是 AB 中點(diǎn)，EB = EA由得：AD=BE,AE=AD AD / BC , . /CAD =/ACB =45 ) NBAC =45%ZBAC =/DAC由等腰三角形的性質(zhì)，得：EM =MD , AM _LDE即AC是線段ED的垂直平

15、分線. DBC是等腰三角形， CD = BD由得：CD=CE,由得：CE=BD，CD =BD ,.DBC是等腰三角形.【例7】 如圖1, ABC是等邊三角形,D、E分別是 AB、BC上的點(diǎn)，且 BD=CE,連接AE、CD相交于點(diǎn)P.請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并直接寫出/如圖 2, RtAABC 中，/B=90, M、APD的度數(shù)=BM = CN,連接 AN、CM相交于點(diǎn)P.請(qǐng)你猜想/APM =（2013平谷一模）【解析】圖略,45證明：作60圖2N分別是 AB、BC上的點(diǎn)，且AM = BC、,并寫出你的推理過(guò)程.AEXAB 且 AE =CN =BM .CNM可證EAMAMBCME =MC , ZAME =

16、/BCM .ZCMB +/MCB=90：， ZCMB +.ZAME =90s ZEMC =90 .EMC是等腰直角三角形，/MCE =45白又AEC ACAN (SAS).ECA =. NAC.EC / AN.APM =. ECM =45 .訓(xùn)練1.已知：如圖，4ABC中，AC=BC, /ACB=90 口，D是AC上一點(diǎn)，AEBD的延長(zhǎng)線于E,并且 1AE =- BD ,求證：BD 平分 /ABC .【解析】延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于F . BEXAF , ZACB =90 ZFAC ZDBC 在 4AFC 和 BDC 中，千 FAC - - DBCAC =BCIl/ACF =. BCD .AF

17、C ABDC (ASA ) .AF =BD一1又 AE BD21 AE AF 二EF2，BE是AF的中垂線，BA = BFBD 平分 /ABC訓(xùn)練2. 已知，在正方形 ABCD中，E在BD上，DG，CE于G , DG交AC于F.求證：OE = OF【解析】ABCD是正方形 .OD=OC . DOC =90 . DG CENDGC =90。 . NDOC =/DGCZOFD =/GFC.ODF = . ECO在 ADOF 和 ACOE 中，/DOF /COEOD vOC/ODF ZOCEADOFA COE (ASA)OE=OF訓(xùn)練3. 已知：如圖，ABC中，AB =AC ,/BAC =90 ,

18、D是BC的中點(diǎn)，AF_LBE于G.求證：DH = DF【解析】 AB =AC , ZBAC =90 , D是BC的中點(diǎn) .AD=BD=CD , ADXBCZADB =90 AF _ BE. AGH =90.DBE =. DAF.BDH 和 ADF 中，pDBH =. DAFBD =ADI ,JVADB =. ADF . BDHA ADF (ASA ) .DH=DF訓(xùn)練4. 如圖，已知矩形 ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，EF LEC,且EF=EC, DE=4cm, 矩形ABCD的周長(zhǎng)為32cm,求AE的長(zhǎng).【解析】 在 RtAEF 和 RtDEC 中，/ EFXCE, . /

19、FEC=90 ,BC ./ AEF+/DEC=90 ,而 / ECD+ZDEC=90 , ./ AEF = Z ECD.又 / FAE=/EDC=90 . EF=ECRtAAEFRtADCE .，AE = CD.AD =AE+4.矩形ABCD的周長(zhǎng)為32 cm,2 (AE+AE+4) =32.解得 AE=6 cm.復(fù)習(xí)鞏固題型一等腰直角三角形模型鞏固練習(xí)【練習(xí)1】如圖， ACB、 ECD均為等腰直角三角形，則圖中與 全等的三角形為.【解析】AAECB BDC【練習(xí)2 如圖，已知 RtABC中/ACB =90 , AC = BC , D是點(diǎn)，CE AD ,垂足為 E . BF / AC ,交CE

20、的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F .求證： AC=2BF .BC的中【解析】 ZACB =90 , BF / AC ,ZACD =NCBF =90 /ADC +ZCAD =90 . CE _L AD ,ZFCB +ZADC =90 /CAD =NFCB .又 AC =CB , ADCACFB . DC =FB . D是BC的中點(diǎn)，BC =2BF , 即 AC =2BF .題型三垂直模型鞏固練習(xí)【練習(xí)3】 已知：如圖，四邊形ABCD是矩形（ADAB）,點(diǎn)E在BC上，且 AE =AD , DFXAE,垂足為F.請(qǐng)?zhí)角驞F與AB有何數(shù)量關(guān)系？寫出你所得到的結(jié)論并給予證明.【解析】經(jīng)探求，結(jié)論是：DF = AB.證明

21、如下：四邊形ABCD是矩形，. Z B= 90S , AD / BC, . / DAF = / AEB.- DF AE,ZAFD = 90 , AE = AD ,. AABEADFA. AB = DF.【練習(xí)4】如圖，4ABC中，AC=BC, /BCA =90 , D是AB上任意一點(diǎn),AE _LCD 交 CD 延長(zhǎng)線于 E , BF _LCD 于 F .求證：EF = BF -AE .【解析】根據(jù)條件，ZACE、ZCBF都與ZBCF互余， ZACE =/CBF .在4ACE和4CBF中，AC =CB , ZAEC =ZCFB =90 , ACEACBF .貝U CE =BF , AE =CF

22、,EF =CE -CF =BF -AE .【練習(xí)5】四邊形ABCD是正方形.如圖1,點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)（不與B、C兩點(diǎn)重合），連接AG,作BFXAG于點(diǎn)F, DE XAG 于點(diǎn) E,求證： ABF DAE;在中，線段EF與AF、BF的等量關(guān)系是 （直接寫出結(jié)論即可，不需要證明）； 如圖2,點(diǎn)G是CD邊上任意一點(diǎn)（不與C、D兩點(diǎn)重合），連接AG,作BFXAG于點(diǎn)F, DEXAG 于點(diǎn) E.那么圖中全等三角形是 ,線段 EF與AF、BF的等量關(guān)系是 （直接寫出結(jié)論即可，不需要證明）.【解析】 在正方形 ABCD中，AB=AD , NBAD =90 NBAF +ZDAE =907 BAF . ABF =90