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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上7.橢圓1、橢圓的第一定義:平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù) ,這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距。.注意:若,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段;若,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無圖形.2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1)當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:,其中;2)當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:,其中;注意:在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中,總有ab0,并且橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上;兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示: 或者 mx2+ny2=1 。 3、橢圓:的簡單幾何性質(zhì)專心-專注-專業(yè)(1)對稱性:對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形,并且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖
2、形,這個(gè)對稱中心稱為橢圓的中心。(2)范圍:橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi),所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足,。(3)頂點(diǎn):橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn),坐標(biāo)分別為,。 線段,分別叫做橢圓的長軸和短軸,,。和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。(4)離心率:橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率,用表示,記作。因?yàn)椋缘娜≈捣秶?。越接?,則就越接近,從而越小,因此橢圓越扁;反之,越接近于0,就越接近0,從而越接近于,這時(shí)橢圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合,圖形變?yōu)閳A,方程為。注意:橢圓的圖像中線段的幾何特征(如下圖): 假
3、設(shè)已知橢圓方程(),且已知橢圓的準(zhǔn)線方程為,試推導(dǎo)出下列式子:(提示:用三角函數(shù)假設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)4、橢圓的另一個(gè)定義:到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形。即上圖中有5、橢圓 與 的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)焦點(diǎn),焦距范圍,對稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn),軸長長軸長=,短軸長=離心率準(zhǔn)線方程焦半徑,一般而言:橢圓有兩條對稱軸,它們分別是兩焦點(diǎn)的連線及兩焦點(diǎn)連線段的中垂線;橢圓都有四個(gè)頂點(diǎn),頂點(diǎn)是曲線與它本身的對稱軸的交點(diǎn);離心率確定了橢圓的形狀(扁圓形狀),當(dāng)離心率越接近于0,橢圓越圓;當(dāng)離心率越接近于1時(shí),橢圓越扁。6.直線與橢圓的位置關(guān)系1.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元
4、后得到一元二次方程,然后通過判別式來判斷直線和橢圓是否相交、相切或相離。2.消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo),通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式,這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ)。7.橢圓方程的求解方法 1.要學(xué)會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法來求橢圓方程,即設(shè)法建立或者中的方程組,要善于抓住條件列方程。先定型,再定量,當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí),應(yīng)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()或();或者不必考慮焦點(diǎn)的位置,直接把橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為 或者 mx2+ny2=1 (),這樣可以避免討論及繁雜的計(jì)算,當(dāng)已知橢圓上的兩點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)這種解題更方便。但是需要注意的是m和n(或者)誰代表,誰代表要分清。不要忘記隱含條件和方程
5、,例如:,等等。不同的圓錐曲線有不同的隱含條件和方程,切勿弄混。 2.求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形分析,即使畫不出圖形,思考時(shí)也要聯(lián)想圖形,注意數(shù)形結(jié)合法的使用,切勿漏掉一種情況。課上例題: 方程化簡的結(jié)果是 已知點(diǎn)A(4,0)和B(2,2),M是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn),則|MA|+|MB|的最大值是 3. 求與橢圓共焦點(diǎn),且過點(diǎn)的橢圓方程。4. 已知橢圓,焦點(diǎn)為、,是橢圓上一點(diǎn)若,求的面積5. 已知橢圓,M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),為橢圓的左焦點(diǎn),求線段 的中點(diǎn)P的軌跡方程。橢圓課后練習(xí)1. 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn),且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程2.已知橢圓方程,焦點(diǎn)為,是橢圓上一點(diǎn),求:的面積(用、表示)3.以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn),過直線上一點(diǎn)作橢圓,要使所作橢圓的長軸最短,點(diǎn)應(yīng)在何處?并求出此時(shí)的橢圓方程4. 求中心在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,且經(jīng)過和兩點(diǎn)的橢圓方程5. 已知B是橢圓E:上的一點(diǎn),F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn),且BF軸,B(1,)。(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)和是長軸的兩個(gè)端點(diǎn),直線垂直于的延長線于點(diǎn)D,|OD|=4,P是上異于點(diǎn)D的任意一點(diǎn),直線交橢圓E
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