二次函數(shù)和三角形的存在性問(wèn)題的解法

1、 二次函數(shù)與三角形的存在性問(wèn)題一、預(yù)備知識(shí)1、坐標(biāo)系中或拋物線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)為P（x1，y），Q（x2，y）(1)線(xiàn)段對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)(2)AB兩點(diǎn)之間距離公式：中點(diǎn)公式：已知兩點(diǎn)，則線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)M為。2、兩直線(xiàn)的解析式為與如果這兩天兩直線(xiàn)互相垂直，則有3、平面兩直線(xiàn)之間的位置關(guān)系：兩直線(xiàn)分別為：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）當(dāng)k1=k2，b1b2 ，L1L2（2）當(dāng)k1k2，L1與L2相交（3）K1×k2=-1時(shí)， L1與L2垂直二、三角形的存在性問(wèn)題探究：三角形的存在性問(wèn)題主要涉及到的是等腰三角形，等邊三角形，直角三角形（一）三角形的性質(zhì)和判定：1、等腰三角形性質(zhì)

2、：兩腰相等，兩底角相等，三線(xiàn)合一（中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)）。判定：兩腰相等，兩底角相等，三線(xiàn)合一（中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)）的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性質(zhì)：滿(mǎn)足勾股定理的三邊關(guān)系，斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半。判定：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形性質(zhì)：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)，兩底角相等且等于45°。判定：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)的三角形是等腰直角三角形4、等邊三角形性質(zhì)：三邊相等，三個(gè)角相等且等于60°，三線(xiàn)合一，具有等腰三角形的一切性質(zhì)。判定：三邊相等，拋物線(xiàn)或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ(chēng)軸上三個(gè)角相等，有一個(gè)角是60°的等腰

3、三角形是等邊三角形。總結(jié)：（1）已知A、B兩點(diǎn)，通過(guò)“兩圓一線(xiàn)”可以找到所有滿(mǎn)足條件的等腰三角形，要求的點(diǎn)（不與A、B點(diǎn)重合）即在兩圓上以及兩圓的公共弦上（2）已知A、B兩點(diǎn)，通過(guò)“兩線(xiàn)一圓”可以找到所有滿(mǎn)足條件的直角三角形，要求的點(diǎn)（不與A、B點(diǎn)重合）即在圓上以及在兩條與直徑AB垂直的直線(xiàn)上。（二）關(guān)于等腰三角形找點(diǎn)（作點(diǎn)）和求點(diǎn)的不同， 1、等腰三角形找點(diǎn)（作點(diǎn)）方法：以已知邊為邊長(zhǎng)，作等腰三角形，運(yùn)用兩園一線(xiàn)法，在圖上找出存在點(diǎn)的個(gè)數(shù)，只找不求。 2、等腰三角形求點(diǎn)方法：以已知邊為邊長(zhǎng)，在拋物線(xiàn)或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ(chēng)軸上找點(diǎn)，與已知點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出

4、三點(diǎn)間的線(xiàn)段長(zhǎng)度，然后分頂點(diǎn)進(jìn)行討論，如：已知兩點(diǎn)A、B，在拋物線(xiàn)上求一點(diǎn)C，使得三角形ABC 為等腰三角形解法：這是求點(diǎn)法：先運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式分別求出線(xiàn)段AB BC AC的長(zhǎng)度，第二步，作假設(shè)，（1）以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的兩條腰相等，即AB=AC （2）以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的兩條腰相等，即BA=BC （3）以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的兩條腰相等，即CA=CB第三步，根據(jù)以上等量關(guān)系，求出所求點(diǎn)的坐標(biāo)第四步進(jìn)行檢驗(yàn)，這一步是非常重要的，因?yàn)榍蟪龅挠行c(diǎn)是不符合要求的。如：已知兩點(diǎn)A、B，在拋物線(xiàn)上求一點(diǎn)C，使得三角形ABC 為等腰三角形解法：這是求點(diǎn)法：先運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式分別求出線(xiàn)段AB BC AC的長(zhǎng)度，第二步，

5、作假設(shè)，（1）以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的兩條腰相等，即AB=AC （2）以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的兩條腰相等，即BA=BC（3）以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的兩條腰相等，即CA=CB第三步，根據(jù)以上等量關(guān)系，求出所求點(diǎn)的坐標(biāo)第四步，進(jìn)行檢驗(yàn)，這一步是非常重要的，因?yàn)榍蟪龅挠行c(diǎn)是不符合要求的。（三）關(guān)于直角三角形找點(diǎn)和求點(diǎn)的方法1、直角三角形找點(diǎn)（作點(diǎn)）方法：以已知邊為邊長(zhǎng)，作直角三角形，運(yùn)用兩線(xiàn)一園法，在圖上找出存在點(diǎn)的個(gè)數(shù)，只找不求。所謂的兩線(xiàn)就是指以已知邊為直角邊，過(guò)已知邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別作垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ(chēng)軸的交點(diǎn)，就是所求的點(diǎn)；一圓就是以已知邊為直徑，以已知邊的中點(diǎn)作圓，與拋物線(xiàn)或坐標(biāo)軸或?qū)ΨQ(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。2

6、、具體方法（1）；（2）三角形全等（注意尋找特殊角，如30°、60°、45°、90°）（3）三角形相似；經(jīng)常利用一線(xiàn)三等角模型（4）勾股定理；當(dāng)題目中出現(xiàn)了特殊角時(shí)，優(yōu)先考慮全等法三、二次函數(shù)的應(yīng)用： 1、應(yīng)用類(lèi)型一、利用二次函數(shù)際問(wèn)題中的最大（?。┲担哼@類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)有面積、利潤(rùn)銷(xiāo)售量的最大（?。┲担话氵@類(lèi)問(wèn)題的解題方法是：先表示出二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解即可。2、應(yīng)用類(lèi)型二、利用二次函數(shù)解決拋物線(xiàn)形建筑問(wèn)題:3、應(yīng)用類(lèi)型三、利用二次函數(shù)求跳水、投籃、網(wǎng)球等實(shí)際問(wèn)題；四、等腰三角形的例題解析例題1、（）已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c

7、經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線(xiàn)l是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)M，使MAC為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c中，得到拋物線(xiàn)的解析式：y=-x2+2x+3（2）點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，連接BC，直線(xiàn)BC與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為P；p點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b（k0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：直線(xiàn)BC的函數(shù)關(guān)

8、系式y(tǒng)=-x+3；當(dāng)x=1時(shí)，y=2，即P的坐標(biāo)（1，2）（3）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=1，設(shè)M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），則： MA2=m2+4， MC2=（m -3）2+1=m2-6m+10， AC2=10；（1）MA=MC，則MA2=MC2，得： m2+4=m2-6m+10，得：m=1；若MA=AC，則MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±6；若MC=AC，則MC2=AC2，得：m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=k1x+b1（k0），將A（-1，0），C（0，3）代入上式，得Y=3x+3，與直線(xiàn)x=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1

9、,6），所以：當(dāng)m=6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線(xiàn)，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為 M（1，1），（1，-6 ），（1，6），（1，0）易錯(cuò)點(diǎn)及方法總結(jié)：當(dāng)以C為頂點(diǎn)的兩條腰相等時(shí)，求出的點(diǎn)M有可能與AC共線(xiàn)，所以要進(jìn)行檢驗(yàn)，這一點(diǎn)非常關(guān)鍵。以其它兩點(diǎn)為頂點(diǎn)的兩條腰相等時(shí)，不可能存在共線(xiàn)問(wèn)題，所以不用檢驗(yàn)。五、直角三角形存在性問(wèn)題匯總例1、如圖：A(0，1) B(4，3)是直線(xiàn)y=1/2x+1上的兩點(diǎn)，點(diǎn)p是x軸上一點(diǎn)，若ABP是直角三角形，則點(diǎn)p的坐標(biāo)是多少？解：（1）當(dāng)BAP為90°時(shí)，因?yàn)長(zhǎng)AB: y=1/2x+1 LAP1: y= -2x+1 所

10、以p1（1/2，0）（2）當(dāng)PBA=90°時(shí)，因?yàn)長(zhǎng)AB: y=1/2x+1 LAP2: y= -2x+11 所以p2（11/2，0）（3）當(dāng)APB=90°時(shí)，如圖過(guò)點(diǎn)B作BDX軸于D例2、（）如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若點(diǎn)P為第三象限拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，設(shè)PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，DEx軸于點(diǎn)E，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得ADM是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）由于拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-

11、3，0），B（1，0），可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a（x+3）（x-1），將C點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3）代入，得： a（0+3）（0-1）=-3，解得 a=1，則y=（x+3）（x-1）=x2+2x-3，所以?huà)佄锞€(xiàn)的解析式為：y=x2+2x-3；（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，交AC于點(diǎn)N設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+m，由題意，得直線(xiàn)AC的解析式為：y= -x-3設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x-3），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，-x-3），PN=（-x-3）-（x2+2x-3）=-x2-3xSPAC=SPAN+SP，當(dāng)x=-2/3 時(shí)，S有最大值27/8，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（- 3/2，- 15/4）；（3）在y軸上

12、是存在點(diǎn)M，能夠使得ADM是直角三角形理由如下：y=x2+2x-3=y=（x+1）2-4，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-4），A（-3，0），AD2=（-1+3）2+（-4-0）2=20設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，t），分三種情況進(jìn)行討論：(1)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t-0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=3/2，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3/2）；當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t-0）2，解得t=- 7/2，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，- 7/2）；當(dāng)M為直角

13、頂點(diǎn)時(shí)，如圖3，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t-0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=-1或-3，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-1）或（0，-3）；綜上可知，在y軸上存在點(diǎn)M，能夠使得ADM是直角三角形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3/2）或（0，- 7/2）或（0，-1）或（0，-3）例3、如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，）在拋物線(xiàn)上求點(diǎn)Q，使BCQ是以BC為直角邊的直角三角形分析：定解法：有45°可以考慮幾何法。代數(shù)法雖然可以，但求解太麻煩，還有四次方。解法1：（1）：BCQ=90°；作QFy軸因?yàn)椋篛C=OB=3,OB

14、C為等腰直角三角形。所以：OCB=45°；FCQ=45°。則QF=CF.設(shè)Q（x,x2-2x-3），則 -（x2-2x-3）-3=x，解得：所以Q(1,-4)（2）：CBQ=90°；作QFx軸易得：QBF=45°；則QFB為等腰直角三角形設(shè)Q（m，m2-2m-3）, m2-2m-3=3-m，解得：m1=3(舍去） m2=-2 Q(-2,5)綜上所述： Q1（-2，5）、Q2（1，-4）解法：后面利用勾股定理建立方程（過(guò)程略）解法：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ1BC，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q1、交y軸于點(diǎn)E，連接Q1CCBO=45°，EBO=45°，BO=

15、OE=3點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）直線(xiàn)BE的解析式為12分由解得點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（-2，5）13分如圖14（4），過(guò)點(diǎn)C作CFCB，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q2、交x軸于點(diǎn)F，連接BQ2CBO=45°，CFB=45°，OF=OC=3點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3，0）直線(xiàn)CF的解析式為14分由解得點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（1，-4）綜上，在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使BCQ1、BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形點(diǎn)睛：（）解法1在設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，要考慮長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)時(shí)，坐標(biāo)所處的象限。（）解法：關(guān)鍵抓住點(diǎn)是直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，所以可以聯(lián)立兩個(gè)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)。（值得學(xué)習(xí)的一種求交點(diǎn)的方法。）

16、例4、（東營(yíng)）在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），如圖所示，拋物線(xiàn)y=ax2-ax-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線(xiàn)的解析式；（3）在拋物線(xiàn)上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BDx軸，垂足為D，BCD+ACO=90°，AC0+OAC=90°，BCD=CAO，又BDC=COA=90°，CB=AC，BDCCOA，BD=OC=1，CD=OA=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；（2）拋物線(xiàn)y=ax2-ax-2過(guò)點(diǎn)B（3，1），1=9a-3a-2，解得：a=1，拋物線(xiàn)的解析式為y=x2-x-2；（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得ACP是等腰直角三角形，若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過(guò)點(diǎn)P1作P1Mx軸，如圖（1），CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90°，MP1CDBC，CM=CD=2，P1M=BD=1，P1（-1，-1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線(xiàn) y=x2-x-2上；若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作AP2CA，且使得