(完全)彈性碰撞后的速度公式

1、如何巧記彈性碰撞后的速度公式一、“一動(dòng)碰一靜”的彈性碰撞公式問題：如圖1所示，在光滑水平面上，質(zhì)量為m1的小球，以速度v1與原來靜止的質(zhì)量為m2的小球發(fā)生對(duì)心彈性碰撞，試求碰撞后它們各自的速度？圖1設(shè)碰撞后它們的速度分別為v1和v2，在彈性碰撞過程中，分別依據(jù)動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能（動(dòng)能）守恒定律得：m1v1=m1v1+m2v2                       

2、60;   由              由             由/                  聯(lián)立解得&

3、#160;                                 上面式的右邊只有分子不同，但記憶起來簡潔混。為此可做如下分析：當(dāng)兩球碰撞至球心相距最近時(shí)，兩球達(dá)到瞬時(shí)的共同速度v共，由動(dòng)量守恒定律得：m1v1= （m1+m2） v共解出v

4、共=m1v1 /（m1+m2） 。而兩球從球心相距最近到分開過程中，球m2連續(xù)受到向前的彈力作用，因此速度會(huì)更大，依據(jù)對(duì)稱可猜想其速度恰好增大一倍即，而這恰好是式， 因此式就可上述推理輕松記住，式也就不難寫出了。假如式的分子簡潔寫成m2m1，則可依據(jù)質(zhì)量m1的乒乓球以速度v1去碰原來靜止的鉛球m2，碰撞后乒乓球被反彈回，因此v1應(yīng)當(dāng)是負(fù)的（v1<0），故分子寫成m1m2才行。在“驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律”的試驗(yàn)中，要求入射球的質(zhì)量m1大于被碰球的質(zhì)量m2，也可由式解釋。由于只有m1>m2，才有v1>0。否則，若v1<0，即入射球m1返回，由于摩擦，

5、入射球m1再回來時(shí)速度已經(jīng)變小了，不再是原來的v1了。另外，若將上面的式變形可得：，即碰撞前兩球相互靠近的相對(duì)速度v10等于碰撞后兩球相互分開的相對(duì)速度。由此可輕松記住式。再結(jié)合式也可很簡潔解得式。二、“一動(dòng)碰一動(dòng)”的彈性碰撞公式問題：如圖2所示，在光滑水平面上，質(zhì)量為m1、m2的兩球發(fā)生對(duì)心彈性碰撞，碰撞前速度分別為v1和v2，求兩球碰撞后各自的速度？圖2設(shè)碰撞后速度變?yōu)関1和v2，在彈性碰撞過程中，分別依據(jù)動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律得：m1v1+m2v2=m1v1+m2v2         

6、0;      由                    由                 由/      

7、         由式可以解出                                  要記住上面式更是不簡潔的，而且推導(dǎo)也很費(fèi)時(shí)間。假如接受下面等效的方法則可

8、輕松記住。m1、m2兩球以速度v1和v2發(fā)生的對(duì)心彈性碰撞，可等效成m1以速度v1去碰靜止的m2球，再同時(shí)加上m2球以速度碰靜止的m1球。因此由前面“一動(dòng)碰一靜”的彈性碰撞公式，可得兩球碰撞后各自的速度+；+，即可得到上面的式。另外，若將上面的式變形可得：，即碰撞前兩球相互靠近的相對(duì)速度v1- v2等于碰撞后兩球相互分開的相對(duì)速度。由此可輕松記住式，再結(jié)合式可解得式。例題：如圖3所示，有大小兩個(gè)鋼球，下面一個(gè)的質(zhì)量為m2，上面一個(gè)的質(zhì)量為m1，m2=3m1。它們由地平面上高h(yuǎn)處下落。假定大球在和小球碰撞之前，先和地面碰撞反彈再與正下落的小球碰撞，而且全部的碰撞均是彈性的，這兩個(gè)球的球

9、心始終在一條豎直線上，則碰后上面m1球?qū)⑸仙淖畲蟾叨仁嵌嗌?？圖3解法1：設(shè)兩球下落h后的速度大小為v1，則v12=2gh                                選向上為正方向，m2球與地面碰撞后以速度v1反彈并與正在以速度v1下落的m1球發(fā)生彈性碰撞，設(shè)

10、m1和m2兩球碰撞后瞬間的速度分別變?yōu)関1和v2，在彈性碰撞過程中，分別依據(jù)動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能（動(dòng)能）守恒定律得：    m1（v1）+m2v1=m1v1+m2v2                   將m2=3m1代入，得2v1=v1+3v2          &#

11、160;                                      由式消去v2得:即故解出v1=v1（舍去，由于該解就是m1球碰前瞬間的速度）v1=2v1    

12、                                         設(shè)碰后上面球m1上升的最大高度為h，則0v12=2gh    

13、60;                聯(lián)立式解出h=4h。解法2：在解法1中，列出式后，可依據(jù)前面介紹的用等效法得到的“一動(dòng)碰一動(dòng)”的彈性碰撞公式，求出m1球碰撞后瞬間的速度v1。選向上為正方向，m1、m2兩球分別以速度v1和v1發(fā)生對(duì)心彈性碰撞，可等效成m1以速度v1去碰靜止的m2球，再同時(shí)加上m2球以速度v1碰靜止的m1球。因此m1球碰撞后的速度+將m2=3m1代入得v1=2v1。以下同解法1。解法3：在解法1中，列出式后，也可依據(jù)前面介紹的

14、用等效法得到的“一動(dòng)碰一動(dòng)”的彈性碰撞公式，求出m2球碰撞后瞬間的速度v2。選向上為正方向，m1、m2兩球以速度v1和v1發(fā)生的對(duì)心彈性碰撞，可等效成m1以速度v1去碰靜止的m2球，再同時(shí)加上m2球以速度v1碰靜止的m1球。因此碰撞后m2球的速度+將m2=3m1代入解得v2=0。從m1球開頭下落到m1球上升的最大高度，對(duì)m1、m2兩球組成的系統(tǒng)，由能量守恒得：（m1+m2）gh= m1gh故解出h=4h。解法4：設(shè)兩球下落h后的速度大小為v1，則v12=2gh          

15、60;                     選向上為正方向，m2球與地面碰撞后以速度v1反彈并與正在以速度v1下落的m1球發(fā)生彈性碰撞，若以m2球?yàn)閰⒖枷?，則m1球以相對(duì)m2球?yàn)?v1的速度去碰靜止的m2球，由“一動(dòng)碰一靜”的彈性碰撞公式得：由于碰前m2球?qū)Φ氐木哂邢蛏系乃俣葀1，故碰后m1球?qū)Φ氐乃俣葹椋? v1=2v1。以下同解法1。上面的解法1屬于常規(guī)的數(shù)學(xué)解法，求解

16、比較麻煩，用時(shí)間也比較長而且簡潔出錯(cuò)。而解法2、3、4直接應(yīng)用巧記得到的彈性碰撞速度公式求解，簡潔而不易出錯(cuò)，是比較好的選擇。 二、學(xué)問歸納、總結(jié)：（一）彈性碰撞和非彈性碰撞1、碰撞碰撞是指相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體相遇時(shí)，在極短的時(shí)間內(nèi)它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生顯著變化的過程。2、碰撞的分類（按機(jī)械能是否損失分類）（1）彈性碰撞：假如碰撞過程中機(jī)械能守恒，即為彈性碰撞。（2）非彈性碰撞：碰撞過程中機(jī)械能不守恒的碰撞。3、碰撞模型相互作用的兩個(gè)物體在很多狀況下皆可當(dāng)作碰撞處理，那么對(duì)相互作用中兩物體相距恰“最近”、相距恰“最遠(yuǎn)”或恰上升到“最高點(diǎn)”等一類臨界問題，求解的關(guān)鍵都是“速度相等”，具體分析如下：（1）如

17、圖所示，光滑水平面上的A物體以速度v去撞擊靜止的B物體，A、B兩物體相距最近時(shí)，兩物體速度必定相等，此時(shí)彈簧最短，其壓縮量最大。（2）如圖所示，物體A以速度v0滑到靜止在光滑水平面上的小車B上，當(dāng)A在B上滑行的距離最遠(yuǎn)時(shí)，A、B相對(duì)靜止，A、B兩物體的速度必定相等。（3）如圖所示，質(zhì)量為M的滑塊靜止在光滑水平面上，滑塊的光滑弧面底部與桌面相切，一個(gè)質(zhì)量為m的小球以速度v0向滑塊滾來，設(shè)小球不能越過滑塊，則小球到達(dá)滑塊上的最高點(diǎn)時(shí)（即小球豎直方向上的速度為零），兩物體的速度確定相等（方向?yàn)樗较蛴遥?。（二）?duì)心碰撞和非對(duì)心碰撞1、對(duì)心碰撞碰撞前后物體的速度都在同一條直線上的碰撞，又稱正碰。 2、

18、非對(duì)心碰撞碰撞前后物體的速度不在同一條直線上的碰撞。3、散射指微觀粒子的碰撞。（三）反沖反沖運(yùn)動(dòng)（1）定義：原來靜止的系統(tǒng)，當(dāng)其中一部分運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一部分向相反方向的運(yùn)動(dòng) ，就叫做反沖運(yùn)動(dòng)。（2）原理：反沖運(yùn)動(dòng)的基本原理仍舊是動(dòng)量守恒定律，當(dāng)系統(tǒng)所受的外力之和為零或外力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于內(nèi)力時(shí)，系統(tǒng)的總量守恒，這時(shí)，假如系統(tǒng)的一部分獲得了某一方向的動(dòng)量，系統(tǒng)的剩余部分就會(huì)在這一方向的相反方向上獲得同樣大小的動(dòng)量。（3）公式：若系統(tǒng)的初始動(dòng)量為零，則動(dòng)量守恒定律形式變?yōu)椋?=m1v1+ m2v2.此式表明，做反沖運(yùn)動(dòng)的兩部分，它們的動(dòng)量大小相等，方向相反，而它們的速率則與質(zhì)量成反比。（4）應(yīng)用：反沖運(yùn)動(dòng)有利

19、也有害，有利的一面我們可以應(yīng)用，比如農(nóng)田、園林的噴灌裝置、旋轉(zhuǎn)反擊式水輪發(fā)電機(jī)、噴氣式飛機(jī)、火箭、宇航員在太空行走等等。反沖運(yùn)動(dòng)不利的一面則需要盡力去排解，比如開槍或開炮時(shí)反沖運(yùn)動(dòng)對(duì)射擊精確性的影響等。（四）火箭1、火箭：現(xiàn)代火箭是指一種靠噴射高溫高壓燃?xì)猥@得反作用向前推動(dòng)的飛行器。2、火箭的工作原理：動(dòng)量守恒定律 當(dāng)火箭推動(dòng)劑燃燒時(shí)，從尾部噴出的氣體具有很大的動(dòng)量，依據(jù)動(dòng)量守恒定律，火箭獲得大小相等、方向相反的動(dòng)量，因而發(fā)生連續(xù)的反沖現(xiàn)象，隨著推動(dòng)劑的消耗?；鸺馁|(zhì)量漸漸減小，加速度不斷增大，當(dāng)推動(dòng)劑燃盡時(shí)，火箭即以獲得的速度沿著預(yù)定的空間軌道飛行。3、火箭飛行能達(dá)到的最大飛行速度，主要打算

20、于兩個(gè)因素：（1）噴氣速度：現(xiàn)代液體燃料火箭的噴氣速度約為2.5km/s，提高到34km/s需很高的技術(shù)水平。 （2）質(zhì)量比（火箭開頭飛行的質(zhì)量與火箭除燃料外的箭體質(zhì)量之比），現(xiàn)代火箭能達(dá)到的質(zhì)量比不超過10。（五）用動(dòng)量概念表示牛頓其次定律1、牛頓其次定律的動(dòng)量表達(dá)式2、動(dòng)量變化率反映動(dòng)量變化的快慢，大小等于物體所受合力。3、沖量在物理學(xué)中，沖量的概念是反映力對(duì)時(shí)間的積累效果，不難想像，一個(gè)水平恒力作用在放置于光滑水平面上的物體，其作用時(shí)間越長，速度的轉(zhuǎn)變?cè)酱?，表明力的累積效果越大，在物理學(xué)中，力和力的作用時(shí)間的乘積叫做力的沖量。（1）定義：作用在物體上的力和力的作用時(shí)間的乘積，叫做該力對(duì)物

21、體的沖量。（2）公式：常用符號(hào)I表示沖量，即I=F·t。（3）單位：在國際單位制中，力F的單位是N，時(shí)間t的單位是s，所以沖量的單位是N·s，動(dòng)量與沖量的單位關(guān)系是：1N·s=1kg·m/s，但要區(qū)分使用。假如力的方向是恒定的，則沖量的方向與力的方向相同，假如力的方向是變化的，則沖量的方向與相應(yīng)時(shí)間內(nèi)物體動(dòng)量變化量的方向相同。沖量的運(yùn)算聽從平行四邊形定則，假如物體所受的每一個(gè)外力的沖量都在同一條直線上，那么選定正方向后，每一個(gè)力的沖量的方向可以用正、負(fù)號(hào)表示，此時(shí)沖量的運(yùn)算就可簡化為代數(shù)運(yùn)算。沖量描述的是力F對(duì)作用時(shí)間t的累積效果，力越大，作用時(shí)間越長，

22、沖量就越大。沖量是一個(gè)過程量，講沖量必需明確爭辯對(duì)象和作用過程，即必需明確是哪個(gè)力在哪段時(shí)間內(nèi)對(duì)哪個(gè)物體的沖量。計(jì)算沖量時(shí)，肯定要明確是計(jì)算分力的沖量還是合力的沖量，假如是計(jì)算分力的沖量還必需明確是哪個(gè)分力的沖量。在Ft圖象下的面積，數(shù)值上等于力的沖量，如圖1所示，若求變力的沖量，仍可用“面積法”表示，如圖2所示。圖1圖24、動(dòng)量定理（1）內(nèi)容：物體在一個(gè)過程中始、末的動(dòng)量變化量等于它在這個(gè)過程中所受力的沖量。（2）表達(dá)式：I=pp或F合t=mvmv.（3）推導(dǎo)：設(shè)質(zhì)量為m的物體在合外力F作用下沿直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t，速度由v變?yōu)関，則由F合=ma和a=【典型例題】例1、質(zhì)量為m1的物體，以速

23、度v1與原來靜止的物體m2發(fā)生完全彈性碰撞，如圖所示，設(shè)碰撞后它們的速度分別為和，試用m1、m2、v1表示和。分析：碰撞過程都要遵守動(dòng)量守恒定律，據(jù)此可以列出包含上述各已知量和未知量的方程，彈性碰撞中沒有機(jī)械能損失，于是可以列出另一個(gè)方程，兩個(gè)方程聯(lián)立，把和作為未知量解出來就可以了。解：依據(jù)動(dòng)量守恒定律：m1v1= m1+m2，依據(jù)完全彈性碰撞過程中機(jī)械能守恒有由以上兩式解得碰撞結(jié)束時(shí)m1的速度 m2的速度 爭辯：（1）當(dāng)m1=m2，即兩物體的質(zhì)量相等時(shí)，由兩式得即兩者交換速度。（2）當(dāng)m1>>m2，即第一個(gè)物體的質(zhì)量比其次個(gè)物體大得多時(shí)，m1m2m1，m1+m2m1，由式得（3）

24、當(dāng)m1<<m2時(shí)，即第一個(gè)物體的質(zhì)量比其次個(gè)物體小得多時(shí)，m1m2m2，0，由式得例2、如圖所示，小車靜止在光滑水平面上，兩個(gè)質(zhì)量相等的人A和B，分別站在車的兩端，A向前跳后B再向后跳，且兩個(gè)人跳離車時(shí)對(duì)地的速度相等，則下列說法中正確的是（ ）A、兩個(gè)人跳車后，車向后以肯定速度運(yùn)動(dòng)，A、B受到的沖量一樣大B、兩個(gè)人跳車后，車向前以肯定速度運(yùn)動(dòng)，A、B受到的沖量一樣大C、兩個(gè)人跳車后，車速為零，B受到的沖量大些D、兩個(gè)人跳車后，車速為零，A受到的沖量大些分析：不少同學(xué)沒有通過分析和推證，就以為：既然B在A后跳，由于反沖，車最終應(yīng)向前運(yùn)動(dòng)；既然質(zhì)量相等的A、B兩個(gè)人以相等的對(duì)地速率跳離車，由于動(dòng)量相等，于是兩人所受的沖量大小相等，因此錯(cuò)選了B。解：選地作參考系，取向前方向?yàn)檎较?，以兩人和車?/p>