三角形全等之倍長中線(含問題詳解和練習(xí))

1、實(shí)用文檔三角形全等之倍長中線1 .如圖，AD為4ABC的中線.(1)求證：AB+AC>2AD.(2)若AB=5, AC=3,求AD的取值范圍.2 .如圖，在 ABC中，AD平分/ BAC,且BD=CD. 求證：AB=AC.3 .如圖，CB是4AEC的中線，CD是4ABC的中線，且 AB=AC. 求證：CE=2CD;CB平分/DCE.文案大全4 .如圖，在4ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，BE=AC,BE的延長線交AC于點(diǎn)F .求證：/AEF=/EAF.5 .如圖，在4ABC中，AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EF /AD交CA的延長線于點(diǎn) F, 交 AB 于點(diǎn) G, BG

2、 = CF.求證：AD為 ABC的角平分線.6.如圖，在四邊形 CD的中點(diǎn)，且 長.ABCD中，AD / BC,點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F是AFXAB,已知 AD=2.7, AE=BE=5,求 CE 的7.如圖，在正方形ABCD的邊CB的延長線上取一點(diǎn)E, 4FEB為等腰直角三角形，/ FEB=90°,連接FD,取FD的中點(diǎn)G,連接EG, CG.求證：EG=CG 且 EGLCG.【參考答案】延長AD至E,使DE=AD,連接BE, . AE=2AD.AD是 ABC的中線BD=CD在4BDE和4CDA中BD =CD1=2ED =AD.-.BDEACDA (SAS)BE=AC在 ABE 中，AB+

3、BE>AEAB+AC>2AD(2)解：由可知AE=2AD, BE=AC在 ABE中，AB-BE<AE<AB+BE. AC=3, AB=55-3<AE<5+3 2<2AD<8 . 1<AD<42.證明：如圖，延長 AD到E,使DE=AD,連接BE.在4ADC和4EDB中CD = BD23=/4AD = ED.ADCAEDB (SAS) .AC=EB, /2=/EAB=AC證明：如圖,. AD 平分 / BAC3.延長CD至ij F,使DF=CD,連接BF. . CF=2CD,. CDMAABC的中線BD=AD在ABDF和AADC中BD

4、= AD2=1DF = DC實(shí)用文檔.-.BDFAADC (SAS) .BF=AC, Z3=ZA,. CBMAAEC的中線BE=ABv AC=ABBE=ACBE=BF: / CBE是 ABC的一個外角 ./CBE=/BCA+/A=ZBCA+Z3v AC=AB ./ BCA=/CBA ./ CBE=/CBA+/3=/ CBFftACBEffiACBF 中CB =CBIRCBE =/CBFBE =BF.-.CBEACBF (SAS) .CE=CF, /4=/5 . CE=2CDCB平分/ DCE4.證明：如圖，延長 AD至UM,使DM=AD,連接BM .M.D是BC邊的中點(diǎn)BD=CD在AADC和A

5、MDB中CD = BDADC =/MDBAD =MD.ADCAMDB (SAS) ./CAD=/M, AC=MB文案大全實(shí)用文檔v BE=ACBE=MB./ M = /BEM ./ CAD=/ BEM . /AEF=/BEM ./ CAD=/AEF即 / AEF=/EAF5.證明：如圖，延長 FE至ij M,使EM=EF,連接BM. 點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)BE=CE在ACFE和ABME中FE =MEI2CEF =/BEMCE =BE.CFEABME (SAS) .CF=BM, / F=/Mv BG=CFBG=BM ./3=/M ./3=/F. AD/ EF；/2=/F, /1 = /3/ 1 = /

6、2即AD為 ABC的角平分線.6.解：如圖，延長AF交BC的延長線于點(diǎn)G.文案大全. AD/ BC ./ 3=/G二點(diǎn)F是CD的中點(diǎn) DF=CF在AADF ffiAGCF 中3 u/GI-；Z1 =，2DF =CF AADFAGCF (AAS) . AD=CGv AD=2.7CG=2.7AE=BE ./5=/Bv ABXAF. /4+/5=90° /B+/G=90° ./4=/GEG=AE=5CE=EG-CG=5-2.7=2.37.證明：如圖，延長EG,交CD的延長線于M. ./ DCB+Z FEB=180°EF / CD ./ FEG = /M 點(diǎn)G為FD中點(diǎn)F

7、G=DG在AFGE和ADGM中.FEG =/M.FGE =/DGMFG = DG.FGEADGM (AAS) .EF=MD, EG=MG.FEB是等腰直角三角形EF=EBBE=MD在正方形ABCD中，BC=CDBE+BC=MD+CD即 EC=MC . ECM是等腰直角三角形v EG=MGEGXCG, /ECG=/MCG=45°EG=CG全等三角形之倍長中線每日一題1.（4月21日）已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC, AB=AD+BC, E是CD的中點(diǎn).求證：AEXBE.2（4月22日）已知：如圖， ABC與4BDE均為等腰直角三角形,BA，AC, EDLBD,垂足 分別為A

8、, D,連接EC, F為EC中點(diǎn)，連接AF, DF ,猜測AF, DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系， 并說明理由.3. （4月23日）已知：如圖，D為線段AB的中點(diǎn)，在AB上任取一點(diǎn)C （不與點(diǎn)A, B, D重合），分別以AC, BC為斜邊在AB同側(cè)作等腰 RDACE與等腰RDBCF, / AEC= / CFB=90° ,連接 DE, DF, EF.求證： DEF為等腰直角三角形.4. （4月24日）已知：如圖，在四邊形 ABCD中，AB/DC, E為BC邊的中點(diǎn)，/ BAE=/EAF, AF與DC的延長線相交于 點(diǎn)F.試探究線段AB與AF, CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【參考答案】1

9、.證明：延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F.v AD/ BC.D = /DCF, /DAE=/F. E是CD的中點(diǎn)DE=CE在4ADE和4FCE中7 D =/FCEI2DAE =/FDE =CE.ADEAFCE (AAS) .AD=FC, AE=FEv AB=AD+BC . AB=CF+BC=BFftAABEffiAFBE 中AB =FB« BE = BEAE = FE.ABEAFBE (SSS) ./AEB=/FEB=90°即 AEXBE2.解：AFXDF, AF=DF,理由如下:延長DF交AC于點(diǎn)P.v BA±AC, EDXBD ./ BAC=/EDA=90

10、6;DE/ AC ./ DEC=/ ECA: F為EC中點(diǎn)EF=CF在AEDF和ACPF中DEF ="CFI« EF =CFZ EFD =/ CFP.EDFACPF (ASA) .DE=CP, DF=PFv ABC與八BDE均為等腰直角三角形 .AB=AC, DE=BDAB-BD=AC -DE=AC -CP即 AD=AP在ADAF和APAF中DF =PFAF = AFAD =AP.DAFAPAF (SSS)丁. / DFA=ZPFA=90° , / DAF=/ PAF=45°AFXDF, AF=DF3.證明：延長ED到點(diǎn)G,使DG=DE,連接BG, FG

11、.D為線段AB的中點(diǎn) . AD=BD在4EDA和4GDB中ED =GD!/ / /EDA =Z GDBDA = DB.EDAAGDB (SAS) .EA=GB, /A=/GBDv ACE與八BCF是等腰直角三角形 .AE=CE=BG, CF=FB, / A=/ECA=/FCB = /FBC=45° ./ECF=90°, / GBF=/GBD+/FBD=90°在AECF和AGBF中EC =GB ! / ECF =/ GBFCF =BF.ECFAGBF (SAS) .EF=GF, /EFC = /GFBvZ CFB=/ CFG+ZGFB=90° . / EF

12、G = / EFC+ZCFG=90°在AEFD和AGFD中EF =GFIFD =FDED =GD.EFDAGFD (SSS) ./EDF = /GDF=90°, / EFD= / GFD=45°DE=DF .DEF為等腰直角三角形 .解：AB=AF+CF,理由如下：延長AE交DF的延長線于點(diǎn)G.G.E為BC邊的中點(diǎn)BE=CE. AB/ DC. B=/BCG, / BAG=/GftAABEffiAGCE 中fZ B =/ GCE/ BAE =/ GBE =CE.ABEAGCE (AAS) . AB=GC . / BAE=/EAF G=/EAF . AF=GF. GC

13、=GF+FC . AB=AF+CF三角形全等之倍長中線(隨堂測試)1 .在4ABC中，AC=5,中線AD=4,則邊AB的取值范圍是2 .已知：如圖，在 ABC中，AB*C, D, E在BC上，且DE=EC,過D作DF/AB交AE于點(diǎn)F, DF=AC.求證：AE平分/BAC.【參考答案】1 . 3<AB<132 .證明略（提示：延長 AE到點(diǎn)G,使EG=EF,連接CG,證明 DEFzXCEG）.三角形全等之倍長中線（作業(yè)）1 .已知：如圖，在4ABC中，AB=4, AC=2,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，且AD是整數(shù)，則AD=.2 .已知：如圖，BD平分/ ABC交AC于D,點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，且 AD=DE, EF/ BC交BD于 F.求證：AB=EF.3 .已知：如圖，在 ABC中，AD是BC邊上的中線，分別以AB, AC為直角邊向外作等腰直角 三角形.求證：EF=2AD.4 .如圖，在 ABC中，AB >AC, E為BC邊的中點(diǎn)， AD為/BAC的平分線，過E作AD的平行線，交AB于F,交CA的延長線于G.求證：BF=CG.5.如圖，在四邊形ABCD中，AD / BC,點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn), /EAF,求證：AFXEF.連接AF,若 /