四階龍格庫(kù)塔法求解波導(dǎo)模之間的模式耦合方程-

1、四階龍格庫(kù)塔法求解波導(dǎo)模之間的模式耦合方程鹿晴晴北京郵電大學(xué)光通信與光波技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 (100876摘 要:本文研究了兩個(gè)靠得非常近的平行圓柱波導(dǎo)之間產(chǎn)生微擾,利用四階龍格庫(kù)塔法解出了模式耦合方程,得到兩波導(dǎo)中的光功率分布曲線,結(jié)果與采用模耦合理論計(jì)算一致。分析得到結(jié)論耦合程度隨著耦合系數(shù)的增加而加劇,但隨著傳播常數(shù)差的增加而減弱;耦合長(zhǎng)度隨著耦合系數(shù)的增加且隨著傳播常數(shù)差的增加而變短。 關(guān)鍵詞:平行波導(dǎo),模式耦合方程,傳播常數(shù),耦合系數(shù) 中圖分類號(hào):TN251. 問(wèn)題描述 圖1 兩個(gè)距離很近的平行圓柱波導(dǎo)1、2如圖1所示,兩個(gè)平行圓柱波導(dǎo)1、2,離得充分遠(yuǎn)時(shí),各自的簡(jiǎn)正模場(chǎng)分布

2、為1,2,傳播常數(shù)1,2(設(shè)1<2。然而當(dāng)相互靠近,它們之間產(chǎn)生同樣的耦合分布造成微擾,形成新的簡(jiǎn)正模。將兩個(gè)波導(dǎo)簡(jiǎn)正模場(chǎng)各自獨(dú)立激勵(lì),二者產(chǎn)生混合,由于傳播常數(shù)不同,產(chǎn)生差拍振蕩,光波的功率在波導(dǎo)1,2之間周期性相互轉(zhuǎn)移。2. 理論分析所謂的模耦合理論是指在無(wú)擾動(dòng)簡(jiǎn)正模光波導(dǎo)上,疊加上若干擾動(dòng),不再相互獨(dú)立,而變得相互耦合。有兩種方法求解這類光波導(dǎo)的傳輸狀態(tài)1。 1、 Maxwell 方程,將擾動(dòng)因素考慮進(jìn)去構(gòu)成新簡(jiǎn)正模; 2、 將若干擾動(dòng)波導(dǎo)簡(jiǎn)正模相互疊加。第一種方法求解困難;第二種方法為近似解法,叫做模耦合理論,這種方法簡(jiǎn)單可行。1A 和2A 分別為兩波導(dǎo)的模場(chǎng)慢變振幅,為耦合系數(shù)

3、,假設(shè)介質(zhì)為無(wú)損耗,則2112=,即功率守恒2。模耦合方程組如下:111212dA i A i A dz =+ (1 222121dA i A i A dz=+ (2 根據(jù)模耦合理論,可求出兩波導(dǎo)中的光功率:2222110(1(/sin (P z A z A z = (32222220(/sin (P z A z A z = (4其中221/212(2=+ (5耦合長(zhǎng)度:/L = (6 將兩波導(dǎo)中的光功率用圖形表示,如圖2。圖2 模耦合理論計(jì)算得到的兩波導(dǎo)中的光功率3. 數(shù)值建模設(shè)微分方程為3:(,(dyf x y dxy a S= x a,b (7 四階龍格-庫(kù)塔公式:1(,1(,221(,

4、22(,(n n n n n n n nn n n n y y K K K K K hf x y h K hf x y K h K hf x y K K hf x h y K y x y O h +=+=+=+=+=(8 該方法一步能達(dá)到四階精度。則根據(jù)模耦合方程(1(2,由初始條件1(0A ,選取合適的距離步長(zhǎng)z ,就可以由以上四階龍格庫(kù)塔法公式疊代計(jì)算求出1A 和2A 的離散值1(A z 和2(A z ,從而得到輸出功率1P 和2P 的離散值,并畫出在(z0,z1區(qū)間的1P z 和2P z 曲線。4. 仿真結(jié)果及分析已知兩波導(dǎo)的傳播常數(shù)與波導(dǎo)之間的耦合系數(shù),首先根據(jù)模耦合理論計(jì)算傳播常數(shù)及

5、耦合系數(shù)分別取5組不同值時(shí)的耦合長(zhǎng)度(見(jiàn)表1。然后利用四階龍格庫(kù)塔法求解模式耦合方程,取以上5組數(shù)值得到5幅功率隨波導(dǎo)長(zhǎng)度的變化曲線圖(見(jiàn)圖3-7,從圖中觀察耦合長(zhǎng)度,并與模耦合理論計(jì)算得到的結(jié)果(見(jiàn)表1比較。表1波導(dǎo)參數(shù)值變化時(shí)根據(jù)模耦合理論計(jì)算得到的耦合長(zhǎng)度值 圖3 14=2 4.1=0.05=的功率曲線 圖4 14=2 4.1=0.1=的功率曲線 圖514=2 4.1=0.2=的功率曲線 圖6 14=2 4.2=0.1=的功率曲線 圖714=2 4.5=0.1=的功率曲線由以上五幅圖可以看出用四階龍格庫(kù)塔法求解耦合方程得到的功率曲線與表1中根據(jù)模耦合理論計(jì)算求出的耦合長(zhǎng)度相符。比較圖3、

6、4、5,1,2不變,由0.05,0.1,0.2變化,由圖形看出耦合長(zhǎng)度變短,且耦合程度加劇。比較圖4、6、7,保持不變,21由0.1,0.2,0.5變化,由圖形看出耦合長(zhǎng)度變短,且耦合程度減弱。結(jié)論:耦合程度隨著耦合系數(shù)的增加而加劇,但隨著傳播常數(shù)差的增加而減弱。 耦合長(zhǎng)度隨著耦合系數(shù)的增加且隨著傳播常數(shù)差的增加而變短。5. 推廣及應(yīng)用利用相互靠近的雙波導(dǎo)結(jié)構(gòu)做成2×2型光耦合器,調(diào)節(jié)兩波導(dǎo)的折射率,使折射率差盡可能的小,就可以加劇耦合;而且調(diào)節(jié)器件的耦合臂長(zhǎng)度可以控制兩波導(dǎo)中的光功率。另外,可以通過(guò)多個(gè)相互靠近的波導(dǎo)實(shí)現(xiàn)多個(gè)波導(dǎo)間的耦合4,可以做成n×n 型耦合器。參考文

7、獻(xiàn)1 (日西原浩等著、梁瑞林譯, 集成光路,科學(xué)出版社,2004年3月 2 陳勝鈺,“介質(zhì)中模式耦合問(wèn)題的分析”,閩江學(xué)院學(xué)報(bào),2002年第2期3 陳誌敏,“龍格- 庫(kù)塔法及其Mat hematica 實(shí)現(xiàn)”,武漢工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2006年第2期 4 吳晉龍,“變耦合系數(shù)非線性三波導(dǎo)定向耦合器特性研究”,光學(xué)學(xué)報(bào),2005年第1期Four-Runge Kutta method for solving Mode-Coupledequations between waveguide modesLu QingqingKey Laboratory of Optical Communication

8、 and Lightwave Technologies of Ministry ofEducation ,Beijing University of Posts and Telecommunications ,Beijing (100876AbstractIn this paper, perturbation between two very close parallel cylindrical waveguides is researched, four-Runge - Kutta method is used for solving Mode-Coupled equations, get

9、optical power distribution curves of the two waveguides, the results are in good agreement with the mode coupling theoretical caculated. Conclusions are made that the degree of coupling intensified with the increase of coupling coefficient, but weakened with the increase of propagation constants difference; the length of coupling coefficient decrease with the increase of coupling