正態(tài)分布示范教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2.4正態(tài)分布（1） 教材分析正態(tài)分布在概率統(tǒng)計學(xué)中是一種很重要的分布. 一般說來，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個因素所起的作用都不太大，則這個指標(biāo)服從正態(tài)分布.我們知道，離散型隨機(jī)變量最多取可列個不同值，它等于某一特定實(shí)數(shù)的概率可能大于，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個區(qū)間上的任何值，它等于任何一個實(shí)數(shù)的概率都為0，所以通常感興趣的是它落在某個區(qū)間的概率.離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述.要求同學(xué)們學(xué)會從離散到連續(xù)用函數(shù)的觀點(diǎn)解決問題.課時分配本

2、節(jié)內(nèi)容用課時的時間完成，第一課時主要講解正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì). 原則放在了第二課時.教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn): 正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及其所表示的意義.難點(diǎn)：了解在實(shí)際中什么樣的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，并掌握正態(tài)分布曲線所表示的意義知識點(diǎn)：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì).能力點(diǎn)：結(jié)合正態(tài)曲線，加深對正態(tài)密度函數(shù)的理解.教育點(diǎn)：通過教學(xué)中一系列的探究過程使學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂，形成積極的情感，培養(yǎng)學(xué)生的進(jìn)取意識和科學(xué)精神.自主探究點(diǎn)：講授法與引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法通過教師先講，師生再共同探究的方式，讓學(xué)生深刻理解相關(guān)概念，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法 ，體會數(shù)學(xué)知識的形成.考試點(diǎn)：通過正態(tài)分布的圖形

3、特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì).易錯易混點(diǎn)：求系數(shù)最大項時的約分化簡.拓展點(diǎn)：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法.教具準(zhǔn)備 電子白板，多媒體，高爾頓試驗(yàn)板課堂模式 學(xué)案導(dǎo)學(xué)一、創(chuàng)設(shè)情境學(xué)生上臺演示高爾頓板試驗(yàn) 模擬高爾頓板試驗(yàn)截圖師生活動：創(chuàng)設(shè)情境，為導(dǎo)入新知做準(zhǔn)備學(xué)生感悟體驗(yàn)，對試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行定向思考學(xué)生經(jīng)過觀察小球在槽中的堆積形狀發(fā)現(xiàn)：下落的小球在槽中的分布是有規(guī)律的【設(shè)計意圖】讓學(xué)生演示試驗(yàn)，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣讓學(xué)生體驗(yàn)“正態(tài)分布曲線“的生成和發(fā)現(xiàn)歷程二、探究新知1用頻率分布直方圖從頻率角度研究小球的分布規(guī)律將球槽編號，算出各個球槽內(nèi)的小球個數(shù)，作出頻率分布表以球槽的編號為橫坐標(biāo)，以小球落入各

4、個球槽內(nèi)的頻率與組距的比值為縱坐標(biāo)，畫出頻率分布直方圖.連接各個長方形上端的中點(diǎn)得到頻率分布折線圖（如圖1）師生活動：引導(dǎo)學(xué)生思考回顧，教師通過課件演示作圖過程在這里引導(dǎo)學(xué)生回憶得到，此處的縱坐標(biāo)為頻率除以組距教師提出問題：這里每個長方形的面積的含義是什么？學(xué)生經(jīng)過回憶，易得：長方形面積代表相應(yīng)區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)的頻率【設(shè)計意圖】通過把與新內(nèi)容有關(guān)的舊知識抽出來作為新知識的“生長點(diǎn)”，為引入新知搭橋鋪路，形成正遷移通過這里的思考回憶，加深對頻率分布直方圖的理解隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，折線圖就越來越接近于一條光滑的曲線（如圖2）從描述曲線形狀的角度自然引入了正態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式：師生活動：分析表達(dá)式特點(diǎn)：解析

5、式中前有一個系數(shù)，后面是一個以為底數(shù)的指數(shù)形式，冪指數(shù)為，解析式中含兩個常數(shù)和，還含有兩個參數(shù)和，分別指總體隨機(jī)變量的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，可用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計【設(shè)計意圖】該處在學(xué)生從形的角度直觀認(rèn)識了正態(tài)曲線之后才給出曲線對應(yīng)的表達(dá)式，這樣處理能更直觀，學(xué)生更易理解正態(tài)曲線的來源2繼續(xù)探究：當(dāng)我們?nèi)サ舾郀栴D板試驗(yàn)最下邊的球槽，并沿其底部建立一個水平坐標(biāo)軸，其刻度單位為球槽的寬度，用表示落下的小球第一次與高爾頓板底部接觸時的坐標(biāo)提出問題：圖3中陰影部分面積有什么意義？師生活動：引導(dǎo)學(xué)生得到：此時小球與底部接觸時的坐標(biāo)是一個連續(xù)型隨機(jī)變量啟發(fā)學(xué)生回憶：頻率分布直方圖中面積對應(yīng)頻率，不難理解，圖

6、中陰影部分的面積，就可以看成多個矩形面積的和，也就是落在區(qū)間的頻率；再結(jié)合定積分的意義,陰影部分面積就是正態(tài)密度函數(shù)在該區(qū)間上的積分值，這樣，概率與積分間就建立了一個等量關(guān)系【設(shè)計意圖】這個步驟實(shí)現(xiàn)了由離散型隨機(jī)變量到連續(xù)型隨機(jī)變量的過渡通過設(shè)疑，引起學(xué)生對問題的深入思考，加深對定積分幾何意義的理解直接問落在區(qū)間上的概率，學(xué)生不容易反應(yīng)過來，改為問面積的意義后，便于學(xué)生理解該問題在前面分析的基礎(chǔ)上，引出正態(tài)分布概念：一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量滿足：，則稱的分布為正態(tài)分布，常記作如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記作師生活動：教師在前面分析的基礎(chǔ)上引出正態(tài)分布的概念，并說明記法引導(dǎo)學(xué)生分析得，

7、所落區(qū)間的端點(diǎn)能否取值，均不影響落在該區(qū)間內(nèi)的概率【設(shè)計意圖】以舊引新，雖概念較抽象，但這樣處理學(xué)生不會覺得太突兀，易于接受新知識同時培養(yǎng)學(xué)生把前后知識聯(lián)系起來進(jìn)行思維的習(xí)慣請學(xué)生結(jié)合高爾頓板試驗(yàn)討論提出的問題，嘗試歸納服從或近似服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量所具有的特征：1小球落下的位置是隨機(jī)的嗎？2若沒有上部的小木塊，小球會落在哪里？是什么影響了小球落下的位置？3前一個小球?qū)ο乱粋€小球落下的位置有影響嗎？哪個小球?qū)Y(jié)果的影響大？4你能事先確定某個小球下落時會與哪些小木塊發(fā)生碰撞嗎？師生活動：學(xué)生通過討論，教師引導(dǎo)學(xué)生得出問題的結(jié)果：1它是隨機(jī)的2豎直落下受眾多次碰撞的影響3互不相干、不分主次4不能

8、，具有偶然性然后歸納出特征：一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布教師列舉實(shí)例分析，幫助學(xué)生更加透徹的理解【設(shè)計意圖】“什么樣的隨機(jī)變量服從（或近似服從）正態(tài)分布？”是本節(jié)課的難點(diǎn)，采用問題串的方式，將復(fù)雜的問題分解成幾個容易解決的問題，能有效突破難點(diǎn)同時采用小組討論的形式，加強(qiáng)學(xué)生的合作意識，同時培養(yǎng)他們的辯證觀通過舉例，讓學(xué)生體會到生活中處處有正態(tài)分布，感受到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用教師通過計算機(jī)繪出兩組圖像（動畫），讓學(xué)生觀察：第一組：固定的值，取三個不同的數(shù)（如圖4）；第二組：固定的值，取三個不同的數(shù)（如圖5）；師生活動：學(xué)生通過觀察并結(jié)合參

9、數(shù)與的意義可得：當(dāng)一定時，曲線隨的變化而沿平移；當(dāng)一定時，影響了曲線的形狀即：越小，則曲線越瘦高，表示總體分布越集中；越大，則曲線越矮胖，表示總體分布越分散【設(shè)計意圖】針對解析式中含有兩個參數(shù)，學(xué)生較難獨(dú)立分析參數(shù)對曲線的影響，這里通過固定一個參數(shù)，討論另一個參數(shù)對圖象的影響，這樣的處理大大降低了難度，并能很好地突出重點(diǎn)三、理解新知引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合三幅圖像（如圖6）及高爾頓板試驗(yàn)，根據(jù)問題歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線在軸的上方，與軸不相交；曲線是單峰的，圖像關(guān)于直線對稱；曲線在處達(dá)峰值；曲線與軸之間的面積為；若固定, 隨值的變化而沿軸平移, 故稱為位置參數(shù)；當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定. 越大，曲線越“

10、矮胖”，表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中，故稱為形狀參數(shù).師生活動：引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系三幅圖像（如圖6），結(jié)合高爾頓板試驗(yàn)思考以下問題：曲線在坐標(biāo)平面的什么位置？曲線為什么與軸不相交？曲線有沒有對稱軸？曲線有沒有最高點(diǎn)？坐標(biāo)是？曲線與軸圍成的面積是多少？曲線的位置與參數(shù)有什么關(guān)系？曲線的形狀與參數(shù)有什么關(guān)系？【設(shè)計意圖】該環(huán)節(jié)借助計算機(jī)模擬及高爾頓板試驗(yàn)試驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)了教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，能很好地鍛煉學(xué)生觀察歸納的能力，體現(xiàn)了歸納分類、化難為易、數(shù)形結(jié)合的思想四、運(yùn)用新知例1.下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（）； ； 師生活動：學(xué)生通過觀察解析式的結(jié)構(gòu)特征可知只有選項

11、符合正態(tài)密度函數(shù)解析式的特點(diǎn)例2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)為證明是偶函數(shù)；求的最大值；利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明的增減性師生活動：學(xué)生結(jié)合函數(shù)知識自行解決問題【設(shè)計意圖】設(shè)計這一題主要為了加強(qiáng)學(xué)生對正態(tài)密度函數(shù)的理解例3.把一條正態(tài)曲線沿橫軸向右平移個單位,得到一條新的曲線下列說法中不正確的是(). 曲線仍然是正態(tài)曲線. 曲線和曲線的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同. 以曲線為概率密度曲線的總體的均值比以曲線為概率密度曲線的總體的均值大. 以曲線為概率密度曲線的總體的方差比以曲線為概率密度曲線的總體的方差大師生活動：學(xué)生易分析知：正態(tài)曲線經(jīng)過平移仍是正態(tài)曲線，峰值不變.而曲線的左右平移與即均值有關(guān)故選項的說法不正確【

12、設(shè)計意圖】通過該例，深化學(xué)生對正態(tài)曲線的特點(diǎn)及正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式中參數(shù)與的理解例4.某校某次數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖7：寫出的正態(tài)密度函數(shù)；若參加考試的共人（滿分分），你能估計及格人數(shù)嗎？師生活動：學(xué)生通過觀察圖像，可知對稱軸，根據(jù)峰值可知，代入正態(tài)曲線表達(dá)式可得：；第二問根據(jù)圖像利用對稱性知及格人數(shù)占總參考人數(shù)一半【設(shè)計意圖】通過一個貼近生活的實(shí)例，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想練習(xí)：判斷正誤：正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對稱 （×）正態(tài)總體的標(biāo)準(zhǔn)差為 （×）正態(tài)分布隨機(jī)變量等于一

13、個特定實(shí)數(shù)的概率為 （）若，則 （×）【設(shè)計意圖】通過一組判斷題，進(jìn)一步加深學(xué)生對正態(tài)分布的認(rèn)識五、課堂小結(jié)1.知識歸納：正態(tài)密度曲線正態(tài)分布的意義 正態(tài)密度曲線特點(diǎn) 正態(tài)分布的實(shí)例參數(shù)對正態(tài)曲線的影響2.思想方法： 數(shù)形結(jié)合思想師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從知識內(nèi)容和思想方法兩方面進(jìn)行課堂小結(jié)最后教師說明:正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)際之中,我們研究它主要還是希望它能服務(wù)于我們的生活,那么它在實(shí)際中究竟有著怎樣的妙用呢?我們下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)!【設(shè)計意圖】通過小結(jié)使學(xué)生對本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)有一個清晰的認(rèn)識,同時使學(xué)生自己內(nèi)化知識，查漏補(bǔ)缺,使學(xué)生在認(rèn)識上達(dá)到一個新的高度（為了更好地

14、突出本節(jié)課重點(diǎn)，同時更好地突破難點(diǎn)，考慮到本節(jié)課的課堂容量及學(xué)生的認(rèn)知情況，原則放在了第二課時）六、布置作業(yè)1.（必做題）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若,求的值并寫出其正態(tài)密度函數(shù)解析式2.（必做題）以學(xué)習(xí)小組（人）為單位，搜集某項數(shù)據(jù)資料（如某年級學(xué)生的身高、體重等）仿照課本的方法，研究該數(shù)據(jù)是否服從（或近似服從）正態(tài)分布？如果是，請估計參數(shù)的值3.（選做題）在高爾頓板試驗(yàn)中，為什么落在中間球槽的小球最多？七、教后反思1.數(shù)學(xué)知識間存在著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，本教案的亮點(diǎn)是充分注意了新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣有助于學(xué)生理解記憶前后所學(xué)知識，并將其融會貫通，從而更好地加以運(yùn)用2.本節(jié)課的弱項是應(yīng)用課件進(jìn)展速度太快，學(xué)生思維節(jié)奏有點(diǎn)趕不上思維進(jìn)程.八、