311直線的傾斜角與斜率教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第三章 直線與方程3.1.1 傾斜角與斜率（2課時(shí)）主備教師：李勁東一、內(nèi)容及其解析 “直線的傾斜角與斜率”是人教版數(shù)學(xué)必修2第三章第一節(jié)的內(nèi)容，是高中解析幾何內(nèi)容的開(kāi)始。這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容是直線在平面直角坐標(biāo)系下的傾斜角和斜率。其核心內(nèi)容是直線傾斜角的概念和斜率的求法，理解它的關(guān)鍵是在平面直角坐標(biāo)系中直線向上的方向與X軸正方向所成的角和角的正切值。之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)一次函數(shù)的圖像和平面中兩點(diǎn)可以確定一條直線，這節(jié)內(nèi)容就是刻畫(huà)直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)以坐標(biāo)法（解析法）的方式來(lái)研究直線及其幾何性質(zhì)（如直線位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線距離等）的基礎(chǔ)。通過(guò)該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)

2、生初步了解直角坐標(biāo)平面內(nèi)幾何要素代數(shù)化的過(guò)程，滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法。直線的斜率是后繼內(nèi)容展開(kāi)的主線，無(wú)論是建立直線的方程，還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用。二、目標(biāo)及其解析目標(biāo)定位：1、正確理解直線的傾斜角和斜率的概念. 2、會(huì)求出直線的傾斜角和直線的斜率 3、掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式。目標(biāo)解析：1、正確理解直線的傾斜角是指理解平面直角坐標(biāo)系中以X軸為基準(zhǔn)，直線與X軸相交時(shí)，X軸正方向與直線向上的方向的角；理解斜率概念是指直線的斜率就是直線傾斜角的正切值。2、會(huì)求出直線傾斜角是指已知直線的斜率求出其對(duì)應(yīng)傾斜角，會(huì)求直線斜

3、率是指知道直線的傾斜角會(huì)求出其對(duì)應(yīng)直線的斜率。3、掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式就是要熟練應(yīng)用經(jīng)過(guò)P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)的直線的斜率公式k= （x1x2）三、問(wèn)題診斷與分析 在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問(wèn)題是對(duì)直線的傾斜角的概念及范圍理解時(shí)會(huì)不糊不清 和當(dāng)直線的傾斜角是鈍角時(shí)的求值會(huì)困難，產(chǎn)生這兩個(gè)問(wèn)題的原因是對(duì)傾斜角的概念理解不透徹和沒(méi)有從定義上認(rèn)真正理解和對(duì)新公式的運(yùn)用還不靈活。要解決這一困難，就要讓學(xué)生從開(kāi)始就認(rèn)真的從定義上理解傾斜角的概念和多用公式。其中理解傾斜角的關(guān)鍵是理解當(dāng)直線與X職軸相交時(shí)傾斜角的概念是怎么定義的當(dāng)直線不與X軸相交時(shí)又是怎么定義的。理解公式的的

4、關(guān)鍵是多用該階段只要求學(xué)生會(huì)用就行。四、教學(xué)支持條件分析 本節(jié)課打算用多媒體進(jìn)行教學(xué)，因?yàn)槎嗝襟w的教學(xué)更容易刻畫(huà)直線在直線坐標(biāo)系中的位置，直觀明了。是學(xué)生更容易理解，并且多媒體教學(xué)的課容量大，大大提高了課堂的效率五、教學(xué)設(shè)計(jì)情景引入：初中時(shí)我們知道確定一條直線的方法是：兩點(diǎn)確定一條直線。我們知道一次函數(shù)的圖像在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出來(lái)就是一條直線，那么在直角坐標(biāo)系中除了兩點(diǎn)確定一條直線外還有其他的方法嗎？這就是我們本節(jié)課研究的主要內(nèi)容問(wèn)題一：在平面直角坐標(biāo)系中怎么定義直線的傾斜角和斜率？(設(shè)計(jì)意圖：以大問(wèn)題的形式呈現(xiàn)本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容然后理解這兩個(gè)概念。)問(wèn)題1：在平面直角坐標(biāo)系中過(guò)一點(diǎn)P能確定幾條直

5、線？觀察并思考這些直線有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？ 師生活動(dòng)1：教師提問(wèn)，學(xué)生動(dòng)手畫(huà)直角坐標(biāo)系并過(guò)P作圖觀察并思考結(jié)論：如圖，過(guò)點(diǎn)P在直角坐標(biāo)系中可以作出無(wú)數(shù)條直線。這些直線的主要的共同點(diǎn)是都過(guò)點(diǎn)P，不同點(diǎn)是這些直線與X軸的傾斜程度不同由此可以定義直線的傾斜角直線傾斜角的定義：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，我們?nèi)≥S作為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.并且當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為。如圖為直線的傾斜角直線的傾斜角分別為：銳角、直角、鈍角、角。由直線傾斜角的定義可知：直線傾斜角的范圍是故理解傾斜角的概念需要注意兩點(diǎn)：1. 直線傾斜角的定義包括兩部分（1） 當(dāng)直線與x軸相交時(shí)，

6、定義它向上的方向與x軸正方向所成的角叫傾斜角，包括銳角、直角、鈍角。（2） 當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)規(guī)定傾斜角為2. 在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)傾斜角，傾斜程度相同的直線，傾斜角相等。傾斜程度不同的直線他們的傾斜角不同。故我們用傾斜角刻畫(huà)直線的傾斜程度。問(wèn)題2：探究在平面直角坐標(biāo)系中怎么確定直線的位置？師生活動(dòng)：1. 已知直線過(guò)點(diǎn)P能確定直線的位置嗎？結(jié)論：不能，如圖點(diǎn)P的直線可以是無(wú)數(shù)條因?yàn)橹本€可以任意饒點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)2. 已知直線的傾斜角是時(shí)，能確定直線的位置嗎？結(jié)論：不能，如圖因?yàn)橹本€可以平行移動(dòng)3. 當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)p并已知它傾斜角是，能確定直線的位置嗎？能確定，直線過(guò)定點(diǎn)p，并

7、且傾斜角是，因此這條直線不能轉(zhuǎn)動(dòng)和平移了。如圖：由此可知：確定直線的方法除了兩點(diǎn)可以確定一條直線外 還有已知一點(diǎn)和一個(gè)傾斜角例1：如圖所示，直線的傾斜角是多少度（ ）A B C D. 不存在變式訓(xùn)練：已知一條直線在第一象限過(guò)一點(diǎn)M，其傾斜角是，作出這條直線問(wèn)題二：什么是斜率？（設(shè)計(jì)意圖：提出問(wèn)題，以大問(wèn)題的形式引出要學(xué)的內(nèi)容）問(wèn)題1：日常生活中我們描述人走的快慢、汽車(chē)行駛的快慢都是用速率來(lái)表示的，也就是用路程與時(shí)間的比來(lái)表示的；我們又如何刻畫(huà)山坡的坡面的傾斜程度呢？學(xué)生思考并進(jìn)行討論學(xué)習(xí)結(jié)論：如圖一個(gè)山坡的坡度可近似看做一個(gè)直角三角形如果我們以前進(jìn)量所在的直線為軸，點(diǎn)o為原點(diǎn)建平面直角坐標(biāo)系，

8、就是直線的傾斜角，也就是說(shuō)我們可以用傾斜角的正切值來(lái)刻畫(huà)直線的傾斜程度.坡度（比）=升高量/前進(jìn)量即坡度就是傾斜角的正切值，這個(gè)正切值我們稱(chēng)為直線的斜率，因此直線斜率的定義：我們把一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率斜率通常用小寫(xiě)的字母k表示，所以k=（，=正切值不存在） 當(dāng)直線的傾斜角=時(shí)，斜率k=1，當(dāng)=時(shí)，k=因初中學(xué)習(xí)銳角正切值的計(jì)算，因此可以直接給出公式當(dāng)為銳角時(shí)，對(duì)于這個(gè)公式要求會(huì)用就行，后面的學(xué)習(xí)將會(huì)進(jìn)一步推導(dǎo)，因此=1問(wèn)題2：探究當(dāng)在0度到90度變化時(shí)，斜率是如何變化的？當(dāng)在90度到180度范圍變化時(shí)，傾斜角的變化又如何？下面請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算：當(dāng)直線斜率是以下角時(shí)，直線斜率是

9、多少？=由公式可計(jì)算得k=、k=、k=、k=k= k=k=可以利用計(jì)算器計(jì)算當(dāng)由銳角無(wú)限接近90度時(shí)k值是向正無(wú)窮靠近的并且正值，即當(dāng)在0度到90度變化時(shí)隨著傾斜角的增大斜率增大，而當(dāng)由鈍角無(wú)效接近90度時(shí)，k值是無(wú)限向負(fù)無(wú)窮靠近的并且為負(fù)值。即當(dāng)在90度到180度范圍變化時(shí)，隨著傾斜角的增大斜率增大。由此可知： 當(dāng)為銳角時(shí)，斜率k=tan>0 當(dāng)為鈍角時(shí)，斜率k=tan<0當(dāng)為直角時(shí)，tan不存在，所以斜率k也就不存在當(dāng)=時(shí)，斜率k=反過(guò)來(lái) 當(dāng)直線的斜率k>0時(shí)，直線的傾斜角為銳角 當(dāng)直線的斜率k<0時(shí)，直線的傾斜角為鈍角 當(dāng)直線的斜率k=0時(shí)，直線的傾斜角為0度角

10、當(dāng)直線的斜率k不存在時(shí)，直線的傾斜角為直角例2：已知一條直線與X軸平行，則這條直線的斜率k的值是（） A.0 B C 1 D 不存在 變式訓(xùn)練：正三角形ABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，求出三條邊所在直線的傾斜角和斜率解：因?yàn)锽C與x軸重合所以 BC邊所在直線的傾斜角為故因?yàn)? 所以AB邊所在的直線的傾斜角為故 因?yàn)?所以所以AC邊所在的直線多的傾斜角為所以問(wèn)題三：已知直線上的兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直線P1P2與x軸不垂直，即x1x2，直線P1P2的斜率是什么？ 【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生“應(yīng)用斜率等于傾斜角的正切值”這一知識(shí)點(diǎn)推導(dǎo)出過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，同時(shí)加深學(xué)生對(duì)斜

11、率概念的理解。師生活動(dòng)：下圖中P1P2的水平距離是多少，垂直距離是多少？怎樣表示的正切？ （1）P2（x2，y2）P1（x1，y1）oyX（2）P2（x2，y2）P1（x1，y1）yoX小結(jié)：兩點(diǎn)間斜率的計(jì)算公式（x1x2）。例3、已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率, 并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.(用計(jì)算機(jī)作直線, 圖略)分析: 已知兩點(diǎn)坐標(biāo), 而且x1x2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而當(dāng)k = tan<0時(shí), 傾斜角是鈍角; 而當(dāng)k = tan>0時(shí), 傾斜角是銳角; 而當(dāng)k = tan=0時(shí), 傾斜角是0

12、°.略解: 直線AB的斜率kAB=1/7>0, 所以它的傾斜角是銳角; 直線BC的斜率kBC=-0.5<0, 所以它的傾斜角是鈍角; 直線CA的斜率kCA=1>0, 所以它的傾斜角是銳角.變式練習(xí)：求經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)直線的傾斜角。（1）、 A（2，1），B（3，1）； （2）、 C（2，1），D（2，6）六、課堂小結(jié)1、傾斜角的定義及范圍定義：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，我們?nèi)≥S作為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.并且當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為。范圍是2、斜率的定義和求法定義：我們把一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率求法：時(shí)，k= t

13、an 時(shí)斜率不存在3、兩點(diǎn)間斜率的計(jì)算公式（x1x2）。七、目標(biāo)檢測(cè)1.判斷下列說(shuō)法是否正確（1）在坐標(biāo)系中，每條直線都有傾斜角（2）在坐標(biāo)系中，每條直線都有斜率（3）一條直線與x軸的夾角就是直線的傾斜角（4）一條直線的傾斜角越大它的斜率越大（5兩條直線的傾斜角相等，他們的斜率也相等（6）兩條直線的斜率相等，他們的傾斜角相等2.已知直線的斜率，求它們的傾斜角（1） （2） （3）八、配餐作業(yè)A組1、 已知直線的傾斜角，求直線的斜率：(1) 0°；（2）60°；(3) 90°；（）2、若直線過(guò)(2,3)和(6，5)兩點(diǎn)，則直線的斜率為 ,傾斜角為 3、已知兩點(diǎn)A(x,2),B(3,0),并且直線AB的斜率為，則x= 。B組4、判斷正誤： 直線的傾斜角為，則直線的斜率為（ ） 直線的斜率值為，則它的傾斜角為（ ） 因?yàn)樗兄本€都有傾斜角，故所以直線都有斜率（ ）因?yàn)槠叫杏谳S的直線的斜率不存在，所以平行于軸的直線的傾斜角不存在5、直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)(1,1),則它的傾斜角是( )A. B. C.或 D.6、順次連結(jié)A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-