636數(shù)學(xué)分析考研真題答案08

1、2008年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)科目代碼： 636 科目名稱： 數(shù)學(xué)分析 一、（20分）解答以下三個(gè)小題：（1）用分析定義證明：如果，則.（13分）（2）如果，是否一定有？為什么？（3分）（3）計(jì)算極限.（4分）證：（1），：. 2分利用三角不等式，得 5分而（常數(shù)） 7分對(duì)上述的，：. 9分. 11分取，則，當(dāng)時(shí)，有. . 13分（2）不一定. 1分反例：數(shù)列，.有 ，但數(shù)列發(fā)散. 3分（3） 2分 4分二、（12分）如果函數(shù)在上可導(dǎo)，且，試證：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的，使得.證：由已知，在上可導(dǎo).在上應(yīng)用Lagrange中值定理，得 ， 5分， 7分由零點(diǎn)存在定理，存在，使

2、. 9分 再證零點(diǎn)唯一，只要證函數(shù)在上單調(diào)，而由，即知在上嚴(yán)格單調(diào)減少，從而上述是唯一的. 12分三、（12分）求函數(shù)的不定積分. 解：時(shí)， 3分 時(shí)， 6分 得出 8分 12分四、（10分）計(jì)算.解： 4分 5分 9分 10分五、（12分），試求（1）；（8分）（2）.（4分）解：（1） 3分 8分 （2） 4分六、（10分）證明積分關(guān)于一致收斂.證： ， 4分 而 收斂， 8分由判別法，知積分對(duì)一致收斂. 10分七、（21分）判斷下列三個(gè)小題中級(jí)數(shù)的斂散性.（每小題7分）(1) ； (2) ； (3) . 解:(1) 由 3分知收斂；發(fā)散； 5分時(shí)收斂，發(fā)散. 7分 （2）由 ，（或 ）

3、4分而收斂，知收斂. 7分（3）由 , 4分發(fā)散，知發(fā)散. 7分八、（25分）設(shè)函數(shù) （1）計(jì)算函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；（10分）（2）問函數(shù)點(diǎn)是否連續(xù)？是否可微？為什么？（8分）（3）問偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)是否連續(xù)？為什么？（7分）解:(1) 3分= 8分對(duì)稱地， 10分(2)在點(diǎn)可微，從而在點(diǎn)也連續(xù) 3分 因?yàn)椋? ，.所以 ， 7分即 . 點(diǎn)可微 . 8分（3） 偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù). 2分因?yàn)闃O限不存在：由不存在，即知 （或由沿直線時(shí)極限不存在，即知）所以在點(diǎn)不連續(xù) . 6分 同理，點(diǎn)也不連續(xù) . 7分九、（12分）計(jì)算曲線積分，其中是以點(diǎn)為中心，為半徑的圓周（），取逆時(shí)針方向.解：，則 ，在不含原點(diǎn)的區(qū)域上積分與路徑無關(guān). 2分當(dāng)時(shí)，由Green公式，得 . 4分當(dāng)時(shí)，取足夠小的橢圓，使之含于內(nèi)，取逆時(shí)針方向，由Green公式：， 8分 . 12分十、（16分）解答以下兩個(gè)小題：（1）