人身保險(精品課程)第三章 人身保險中的數(shù)理基礎(chǔ)

1、                第三章   人身保險中的數(shù)理基礎(chǔ)本章預(yù)習(xí)    每年新生入學(xué)時，都有大量的保險公司來學(xué)校向新生推銷保單，很多沒有學(xué)過保險的同學(xué)不明白為什么兩個年齡相差不多的人保費會相差那么多，這一章我們就來講解人身保險的費率厘定及其相關(guān)內(nèi)容。同時，由于我國已經(jīng)加入WTO，根據(jù)我國的承諾，保險業(yè)將是一個率先開放的行業(yè)之一，且開放的步伐比較快、力度比較大。這是對我國

2、保險業(yè)極大的挑戰(zhàn),不過也是推動我國保險業(yè)改革的極好的機遇。我們要想迎接這個挑戰(zhàn)、把我國的保險業(yè)推上一個新臺階，一個關(guān)鍵的地方在于，改善經(jīng)營管理理念，降低成本，提高利潤率，而這一切都以一點為基礎(chǔ)，就是保費的科學(xué)厘定及其后續(xù)工作的良好管理。    本章第1節(jié)主要介紹了人身保險精算的概念、內(nèi)容、起源、意義、原理等基礎(chǔ)知識。第2、3、4節(jié)介紹了壽險精算的內(nèi)容，其中第2節(jié)介紹利息理論，第3節(jié)介紹生命表和生命函數(shù)，第4節(jié)介紹人壽保險保費的確定。第5節(jié)介紹健康和人身意外傷害保險保費的確定。    人身保險精算概論 &#

3、160;  利息理論    生命表和生命函數(shù)    人壽保險保費的確定    健康和人身意外傷害保險保費的確定3.1   人身保險精算概論 3.1.1   人身保險精算的概念    保險公司在經(jīng)營保險業(yè)務(wù)時，需要預(yù)先估計它們承擔(dān)風(fēng)險的大小，估計發(fā)生危險事故造成損失的分布，并在此基礎(chǔ)上，計算投保人應(yīng)交納的保險費、保險公司在不同時期需為未來賠償損失建立的責(zé)任準備金等。這些

4、計算就是保險精算。確切地講，所謂保險精算，就是運用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、金融學(xué)、保險學(xué)及人口學(xué)等學(xué)科的知識和原理，對保險業(yè)經(jīng)營管理中的各個環(huán)節(jié)進行數(shù)量分析，為保險業(yè)提高管理水平、制定策略和作出決策提供科學(xué)依據(jù)和工具的一門學(xué)科。    人身保險精算是保險精算的主要內(nèi)容，它是在對人身保險事故出險率及出險率的變動規(guī)律加以研究的基礎(chǔ)上，考慮資金投資回報率及其變動，根據(jù)保險種類、保險金額、保險期限、保險金給付方式、保險費繳納方式及保險人對經(jīng)營費用的估計等，對投保人需繳納的保險費水平、保險人在不同時期必須準備的責(zé)任準備金人身保險其他方面等進行的科學(xué)精確的計算。 &

5、#160;  進行人身保險精算首先需研究被保險人遭受危險事故的出險率及出險率的變動規(guī)律。出險率即保險事故發(fā)生的概率。人身保險精算主要是壽險精算，人壽保險的出險率是死亡概率和存活概率，而死亡概率和存活概率又是互補的，因此通常只研究其中一個的變動規(guī)律即可，人身保險是以生命表方法來研究和表述被保險人的死亡規(guī)律的。在醫(yī)療保險中，出險率就是被保險人的發(fā)病概率。在傷殘保險中，出險率就是被保險人的傷殘概率。在確定了保險事故發(fā)生的概率的基礎(chǔ)上，保險人方可確定應(yīng)收的保費。    由于人生保險的標的是人的生命和身體，因此保險事故發(fā)生帶來的損失很難用價值標

6、準來衡量。它不同于以物為保險標的的財產(chǎn)保險，物的損失價值是可以估算的。因此，人生保險事故發(fā)生時保險人的賠償金額即保險金額一般只能根據(jù)投保人的經(jīng)濟收入、家庭狀況、生活水平和繳費能力等，由保險人和投保人相互協(xié)商來確定。    人身保險一般是長期契約，因此應(yīng)該考慮資金的時間價值及由此而產(chǎn)生的利率對保費的影響。這樣，利息理論和前述的生命表理論就構(gòu)成了壽險精算的兩大理論基礎(chǔ)。3.1.2   壽險精算的起源    保險精算學(xué)起源于壽險中的保費計算，其發(fā)展與壽險有著深厚的淵源關(guān)系，而壽險精算則是從壽險經(jīng)營的困

7、境中產(chǎn)生的一門新興學(xué)科。    早期的壽險組織其經(jīng)營的壽險業(yè)務(wù)有很大的局限，概括起來有以下幾個特點：首先，壽險業(yè)務(wù)所承保的對象單一，限制較多；其次，業(yè)務(wù)量小，尚未大規(guī)模經(jīng)營壽險業(yè)務(wù)；最重要的是，壽險經(jīng)營缺乏嚴密的科學(xué)基礎(chǔ)，表現(xiàn)在考慮的因素較少，有關(guān)計算粗糙不精確。在這樣的背景下，造成的是壽險業(yè)的不景氣，保險技術(shù)的停滯不前。    壽險精算學(xué)的產(chǎn)生并不是偶然的，它具有自身的理論淵源。1693年，英國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家埃德蒙哈雷根據(jù)德國Breslan市居民的死亡資料，編制了世界上第一個完整的死亡表，用科學(xué)的方法精確地計算

8、出各年齡段人口的死亡率。哈雷在其中對死亡率、生存率以及死亡率隨年齡不同而異等概念的研究，不僅使產(chǎn)生于12世紀的年金價格計算更為精確，也為后來精算的產(chǎn)生奠定了科學(xué)的基礎(chǔ)。18世紀中期，托馬斯辛普森根據(jù)哈雷的死亡表構(gòu)造了依據(jù)死亡率變化而變化的保險費率表。后來，詹姆斯多德森又根據(jù)年齡的差異確定了更為精確的保險費率表，進一步為精算奠定了基礎(chǔ)。1724年，法國數(shù)學(xué)家Abraham de Moivre通過對死亡率及其模型作過的大量研究，提出了一個死亡法則，即將一定年齡對應(yīng)的生存人數(shù)看作這一年齡的函數(shù)。Moivre的這一死亡法則成功地計算和簡化了當時棘手的年金問題。這些科學(xué)家的工作為壽險精算學(xué)的建立作出了重

9、大的貢獻，奠定了其數(shù)理基礎(chǔ)。    1756年英國人詹姆斯道森被以年齡偏大為由拒保，他鑒于此事，提出了保險費應(yīng)與死亡率相掛鉤，隨投保人的年齡和預(yù)期壽命不同而有所差異等新的保險經(jīng)營理念。這一理念就是現(xiàn)代壽險精算學(xué)的雛形。1762年，英國成立了世界上第一家真正的壽險公司倫敦公平保險公司。該公司采納了道森的方案，以死亡表為依據(jù)，采用均衡保費的理論來計算保費，并且對不符合標準的投保人另行收費。壽險經(jīng)營據(jù)此打開了新的局面，同時壽險業(yè)務(wù)開始步入科學(xué)的經(jīng)營之路。該公司的成立，標志著現(xiàn)代壽險制度的建立。3.1.3   人身保險精算的內(nèi)容 &

10、#160;  人身保險按照投保人數(shù)的不同，可分為一元生命人身保險和復(fù)合生命人身保險。一元生命人身保險的承保對象只有一個人，即以單個被保險人發(fā)生保險事故為保險金的給付條件。復(fù)合生命人身保險的承保對象為兩個以及兩個以上，并以被保險人組成的聯(lián)合被保險集團中的某一人或全部的生存或死亡為保險金的給付條件。復(fù)合生命人身保險不同于團體保險，團體保險是以團體為保險對象，以集體名義投保并由保險人簽發(fā)一份總的保險合同，保險人按合同規(guī)定向其團體中的成員提供保障的保險。不是一個具體的險種，而是一種承保方式，它以團體中每個成員發(fā)生保險事故為給付條件，因此它實際上是一元生命人身保險的一種特殊方式。&#

11、160;   相應(yīng)地，人身保險精算分一元生命人生保險和復(fù)合生命人身保險兩種進行研究。但由于本書不是專門講精算的書，我們將只介紹一元生命人身保險精算的內(nèi)容，有興趣的讀者可以閱讀有關(guān)專門講精算的書來獲取更多更深的知識。3.1.4   人身保險精算的意義    精算起源于壽險業(yè)，隨著現(xiàn)代壽險業(yè)規(guī)模的不斷擴大、經(jīng)營的不斷發(fā)展，人身保險精算顯得更加重要。這是由于現(xiàn)代壽險業(yè)經(jīng)營的復(fù)雜性，決定了壽險中要運用精算技術(shù)的地方很多。    首先，由保險的定義可知，保險是針對風(fēng)險而建立的

12、一種經(jīng)濟保障機制，其經(jīng)營的對象就是風(fēng)險，具體到人身保險來講，主要是被保險人活得太久與死得過早這樣兩類風(fēng)險。而風(fēng)險具有如下的特征：第一，風(fēng)險是客觀存在的。一方面，各種自然災(zāi)害是按自然規(guī)律運行的客觀現(xiàn)象，使人力不可抗拒的；另一方面，各種人為事故雖然可以通過加強管理得以減輕，但無論怎樣努力，都只能避免個別事故而不可能從整體上消除事故發(fā)生的風(fēng)險。因而，盡管人們在一定的時間和空間可以發(fā)揮主觀能動性改變風(fēng)險存在和發(fā)生的條件，進而降低風(fēng)險發(fā)生的頻率和損失程度，但絕對不可能消滅風(fēng)險。第二，風(fēng)險具有不確定性。風(fēng)險的不確定性表現(xiàn)在，損失的是否發(fā)生、發(fā)生的時間、發(fā)生的地點、造成損失的大小都是不確定的。第三，風(fēng)險是普

13、遍存在的。在現(xiàn)實社會中，無論人們的年齡、性別、職業(yè)怎樣，無論何時，也無論身處何處，人們總會面臨各種各樣的風(fēng)險。第四，風(fēng)險是可以預(yù)測。從現(xiàn)代的概率論和數(shù)理統(tǒng)計可知，由于風(fēng)險是一種損失的隨機不確定性，對于群體來說，各種風(fēng)險發(fā)生的概率、損失的大小及其波動性是可以大致計算出來的。風(fēng)險的這些特征表明，在實際的保險經(jīng)營中，不可避免地存在著一定的風(fēng)險，同時這些風(fēng)險又是可以通過科學(xué)的方法來預(yù)測和減少的。這就要求，在人身保險的經(jīng)營中必須考慮到這些風(fēng)險的存在，運用定量的方法進行精確的風(fēng)險分析。    其次，人身保險經(jīng)營的特性也決定了其必須要進行大量的定量分析。人身保險的保單

14、一般是長期契約，這就決定了其收入和支出在時間上是不配比的，且為了支付未來賠償而籌集的保費與未來實際發(fā)生的賠償金額也存在差別。為了降低經(jīng)營的風(fēng)險，就必須把這些差別控制在一定的范圍內(nèi)并盡量降低，而這就需要科學(xué)精確地厘定保險費率，其考慮的主要因素為預(yù)估的死亡率、利息率、費用率，它們都是時間隨機變量函數(shù)。此外，人身保險經(jīng)營中收入與支出時間上的不配比也使得經(jīng)營過程中存在大量的閑置資金，所以人身保險中閑置資金的投資就是一項重要的工作。但投資項目的選擇、投資風(fēng)險的分析、投資金額的確定、投資回報率的估計、投資績效的評價等都是需要精確確定的，也即與精算有關(guān)。    除以上

15、所分析的項目以外，人身保險中需要精算的地方還很多，如隨著時間的變化，生命表應(yīng)作一定的修正，相應(yīng)地，原來一定時期內(nèi)相對穩(wěn)定的費率也將變化；經(jīng)濟周期對人身保險的影響及由此引起的經(jīng)營調(diào)整等?？傊松肀ｋU的科學(xué)運營客觀上離不開精算，人身保險精算使人身保險的經(jīng)營科學(xué)化，確保了經(jīng)營的穩(wěn)定性和盈利水平。3.1.5   人身保險精算的基礎(chǔ)    現(xiàn)代保險學(xué)是建立在概率論和大數(shù)定律基礎(chǔ)之上的。    1. 隨機事件與概率    自然界和人類社會發(fā)生的現(xiàn)象是各種各樣的。有一

16、類現(xiàn)象，在一定條件下必然發(fā)生，可以事先準確的預(yù)言其結(jié)果。我們把這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象。在我周圍還存在著另一類現(xiàn)象，例如，在相同條件下拋同一枚硬幣，其結(jié)果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次拋擲之前無法肯定拋擲的結(jié)果是什么。這類現(xiàn)象，在一定的條件下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可能出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而在試驗或觀察之前不能預(yù)知確切的結(jié)果。但人們經(jīng)過長期實踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)這類現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗或觀察下，它們的結(jié)果都呈現(xiàn)出某種規(guī)律性。例如，多次重復(fù)拋擲一枚硬幣，得到正面朝上的次數(shù)大致有一半。這種在大量重復(fù)試驗或觀察中所呈現(xiàn)出的固有的規(guī)律性，就是統(tǒng)計規(guī)律性。這種在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，在

17、大量重復(fù)試驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象，我們稱之為隨機現(xiàn)象。    在概率論中，是通過隨機試驗來研究隨機現(xiàn)象的。所謂隨機試驗就是符合以下特征的事件：（1）可以在相同的條件下重復(fù)地進行；（2）每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確實驗的所有可能結(jié)果；（3）進行一次試驗之前不能確定那一個結(jié)果會出現(xiàn)。對于隨機試驗，盡管在每次試驗之前不能預(yù)知試驗的結(jié)果，但試驗的所有可能結(jié)果組成的集合是已知的。我們將隨機試驗的所有可能結(jié)果組成的集合稱為隨機試驗的樣本空間。樣本空間的元素，即隨機試驗的每個結(jié)果，稱為樣本點。樣本空間的子集稱為隨機試驗的隨機事件。 &

18、#160;  在保險的經(jīng)營中，風(fēng)險的普遍性、復(fù)雜性決定了如果保險人不加選擇地對各種要求風(fēng)險轉(zhuǎn)嫁的客戶都承保，就可能使自己陷入經(jīng)營困境中。因此，保險人通常將風(fēng)險劃分為可保風(fēng)險和不可保風(fēng)險，其中可保風(fēng)險才是保險人可以承保的風(fēng)險。而作為可保風(fēng)險，其發(fā)生必須是偶然的，即所承保的保險事故必須是隨機事件。風(fēng)險發(fā)生的偶然性是針對單個風(fēng)險主體來講，風(fēng)險的發(fā)生與損失程度是不可知的、偶然的。對于必然會發(fā)生的事件，如機器設(shè)備的折舊和自然損耗，保險人是不予承保的。從前述的知識我們可知，對于單個主體無法預(yù)知的風(fēng)險的發(fā)生及損失的大小，保險人可通過大量的統(tǒng)計資料的分析，找出其發(fā)生的規(guī)律性，從而將偶然的、

19、不可知的風(fēng)險損失轉(zhuǎn)化為可預(yù)知的費用支出，順利實現(xiàn)保險經(jīng)營的全過程。    如果A是一隨機事件，那面它在一次試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。但僅僅知道這一點對我們的實際工作是沒有多大的幫助的。實際中，人們不僅想知道某一事件的發(fā)生是否確定，而更為關(guān)心的是，如其可能發(fā)生，發(fā)生的可能性究竟有多大。例如，把一枚硬幣拋擲1萬次，僅僅知道正面朝上可能發(fā)生也可能不發(fā)生是遠遠不夠的，更為重要的是應(yīng)知道這1萬次中正面朝上的次數(shù)可能是多少。為此，需要引進概率的概念。    概率表示隨機事件發(fā)生的可能性的大小，概率大就表示某種隨機事件出現(xiàn)的

20、可能性就大，反之，概率小則表示某種隨機事件出現(xiàn)的可能性就小。概率是不確定性事件的確定性程度，即衡量隨機事件出現(xiàn)的可能性大小的尺度。假定以P(A)表示隨機事件A發(fā)生的概率，由于必然事件E是肯定會發(fā)生的，可以約定P(E)=1,同時，由于不可能事件肯定不會發(fā)生，可以約定P()=0,這樣，對于一般的事件A,應(yīng)有0P(A)1。    在實際應(yīng)用中，要準確的確定隨機事件發(fā)生的概率并不是一件容易的事情。于是，在實際中，一種有效的確定隨機事件概率的方法是概率的頻率解釋。    在相同的條件下，重復(fù)進行n次某一隨機試驗，在這n次試驗

21、中，事件A發(fā)生的次數(shù)稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，以k表示。比值k/n稱為事件A發(fā)生的頻率。由于事件A發(fā)生的頻率是它發(fā)生的次數(shù)與試驗次數(shù)之比，其大小表示A發(fā)生的頻繁程度。頻率愈大，事件A發(fā)生的愈頻繁，這意味著A在一次試驗中發(fā)生的可能性愈大。且當試驗次數(shù)n逐漸增大時，頻率k/n逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)P。對于每一個隨機事件都有這樣一個客觀存在的常數(shù)與之對應(yīng)。這種“頻率穩(wěn)定性”即通常所說的統(tǒng)計規(guī)律性，并不斷得為人們的實踐所證實。這樣，就可以用這個常數(shù)P直觀的表示一次試驗中事件A 發(fā)生的概率。    在保險實務(wù)中，我們就常常用頻率來解釋計算風(fēng)險事件的損失概率。例如，可以用一

22、定時期內(nèi)汽車發(fā)生交通事故的頻率來估計交通事故的發(fā)生概率；再比如某地區(qū)根據(jù)歷年資料觀察得知，該地區(qū)4050歲年齡組的男性每10萬人中1年內(nèi)死于結(jié)核病的有60人，則該地區(qū)這個年齡組死于結(jié)核病的概率就可估計為0.6。也只有比較精確的確定了保險事故發(fā)生與所造成的損失大小的概率，才能確定經(jīng)營成本并合理制定費率，實現(xiàn)正常的業(yè)務(wù)運行，并在此基礎(chǔ)上獲取滿意的利潤水平。    2. 大數(shù)定律及其在保險中的應(yīng)用    我們在討論概率的頻率解釋時，講到過隨機事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著實驗次數(shù)的增加，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸趨于某個常

23、數(shù)，這種穩(wěn)定性就是這里我們要討論的大數(shù)定律的客觀背景。    前面講到危險事故的發(fā)生對于單個主體是隨機的、不可測的，而對社會群體來說則是必然的、可估測的，這即是由大數(shù)定律決定的。大數(shù)定律是指隨機事件在一次獨立試驗中發(fā)生的這種偶然性在大量的重復(fù)試驗中將呈現(xiàn)為事件發(fā)生發(fā)展的某種必然的規(guī)律性。它說明了大量的隨機現(xiàn)象由于偶然性相互抵消所呈現(xiàn)的必然數(shù)量規(guī)律，是保險經(jīng)營的重要數(shù)理基礎(chǔ)。    大數(shù)定律應(yīng)用于保險時得出的最有意義的結(jié)論是：當保險標的的數(shù)量足夠大時，通過以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算出的估計損失概率與實際概率的誤差將很小。保險經(jīng)

24、營利用大數(shù)定律把不確定的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為確定的數(shù)量關(guān)系，即某一危險是否發(fā)生對某一個保險標的來說是不確定的，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，但當保險標的數(shù)量很大時，我們可以很有把握地計算出其中遭受危險事故的保險標的會是多少。這樣，根據(jù)大數(shù)定律，我們就把對單個保險標的來說不確定的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為了對保險標的的集合來說確定的數(shù)量關(guān)系。    人身保險中，每個被保險人在一定時期是否發(fā)生危險事故是隨機的、不確定的，并且各被保險人之間發(fā)生危險事故是相互獨立。當面臨同類危險的被保險人組成被保險集團時，相當于對隨機事件進行多次重復(fù)觀察。此時，被保險集團中發(fā)生危險事故的頻率將隨著被保險

25、人數(shù)的增多而趨于穩(wěn)定值，這個穩(wěn)定值就是危險事故發(fā)生的概率。因而可以說單個被保險人遭受危險事故的不確定性將在被保險集團中消失，從而表現(xiàn)為，對于社會總體來說，危險事故的發(fā)生為確定的概率值，這一概率值也正是被保險人發(fā)生危險事故的可能性。因此可以說，雖然單個主體遭受危險事故是隨機的、不可測的，但他遭受危險事故的可能性是可測的、確定的。保險人把單個被保險人面臨的不確定性的損失轉(zhuǎn)移到自己身上，也就把不確定的損失轉(zhuǎn)移為保險人對全體被保險人確定的損失補償金額，也就是說，在一定風(fēng)險下，保險人承擔(dān)的損失補償金額是確定的。另外，保險人為組織和經(jīng)營保險業(yè)務(wù)需要有一定的營業(yè)費支出，這部分費用是由保險人充分考慮保險經(jīng)營的

26、市場競爭及實際開支需要的情況下確定的。這樣，保險人為承擔(dān)風(fēng)險的開支總額是可以預(yù)先計算的。根據(jù)保險人和被保險人權(quán)利和義務(wù)的對等關(guān)系，被保險人想轉(zhuǎn)嫁風(fēng)險而需繳納的保險費就可以確定了。通過保險這一方式，投保人實現(xiàn)了分散風(fēng)險、分攤損失。保險就像是一個蓄水池，每個投保人繳納少量的保費，保險公司把這些資金集中起來以彌補少數(shù)被保險人所遭受的損失。由上述內(nèi)容可知，只有當參與這種蓄水機制的個體數(shù)越多時，保險人才可能較為精確的確定為承擔(dān)風(fēng)險所需的費用及相應(yīng)的每個投保人需繳納的保費，只有在此基礎(chǔ)上，保險人才能進行正常的經(jīng)營，蓄水池的功能才能穩(wěn)定地發(fā)揮。這里，保險人是以危險事故的出險概率為基礎(chǔ)來計算保險費的，由大數(shù)定

27、律可知，只有當投保人數(shù)足夠多時，出險概率才趨于穩(wěn)定的概率值，否則實際發(fā)生保險事故的頻率可能偏離實際的概率值，從而可能使保險人因?qū)λ斜５娘L(fēng)險估計錯誤而蒙受損失。因此，在實際的保險實務(wù)中要爭取盡可能多的保戶參加保險，這樣才能進行合理的費率厘定，實現(xiàn)穩(wěn)健經(jīng)營。    在實際的經(jīng)營中，我們還必須注意大數(shù)定律在保險業(yè)務(wù)中應(yīng)用的兩個條件。根據(jù)大數(shù)定律，以往的經(jīng)驗數(shù)據(jù)越多，對危險事件的出險概率的估計就越準確，而這種估計的準確性是能否準確預(yù)測未來危險的前提條件。但是另一方面，即使我們能準確估計出危險事件發(fā)生的概率，如果未來可承保的危險單位數(shù)較少時，也很難準確估計未來會

28、面對的風(fēng)險。為使預(yù)期結(jié)果能很好地接近真實結(jié)果，必須將概率的估計值運用到大量危險單位中。因此，大數(shù)定律的應(yīng)用具有雙重性。    第一，準確估計危險事件發(fā)生的概率，保險公司必須掌握大量的經(jīng)驗數(shù)據(jù)。經(jīng)驗數(shù)據(jù)越多，對危險事件發(fā)生的概率的估計就越準確。    第二，一旦估計出了危險事故發(fā)生的概率，還必須將此概率估計值運用到大量的危險單位中才能對未來損失有比較準確的估計。    在用經(jīng)驗數(shù)據(jù)進行對未來風(fēng)險預(yù)測時，保險公司往往假設(shè)：過去事件發(fā)生的概率與未來事件發(fā)生的概率相同，并且對過去事件

29、發(fā)生的概率的估計是準確的。但是過去事件發(fā)生的概率與未來事件發(fā)生的概率往往不一樣，事實上，由于各種條件的變化，事件發(fā)生的概率是不斷變化的，另外，也不能從過去經(jīng)驗數(shù)據(jù)得出完全準確的概率。所有這些都導(dǎo)致實際結(jié)果與預(yù)期之間必然存在偏差，保險公司的經(jīng)營風(fēng)險也就是這種偏差造成的，保險公司可以通過承保大量保險單位來提高得風(fēng)險預(yù)測的準確性。3.2   利息理論3.2.1   利息概述及度量    1. 終值函數(shù)和現(xiàn)值函數(shù)    (1)終值函數(shù)    我

30、們把最初投資的、孳生利息的資金稱為本金。把本金經(jīng)過一定時期后形成的金額稱為終值，它是本金和利息之和，又可稱為本利和。設(shè)t是本金投資使用的時間長度，以A(t)表示t時刻的終值，它是t的函數(shù)，稱為終值函數(shù)。當t=0時，A(0)就是本金。利息是終值與本金的差，以I(t)表示t時的利息額，則    A(t)=A(0)+I(t)                    

31、(3.2.1)    為了數(shù)學(xué)處理的方便，進一步地，我們用函數(shù)a(t)表示一單位貨幣經(jīng)過t時期后的價值，定義為                                      &#

32、160;                                         (3.2.2)    顯然a(0)=1,A(t)=A(0)·

33、a(t), 由于A(0)即本金是常數(shù)，我們以K表示它，則可記A(t)=K·a(t)。那么，a(t)和A(t)具有類似的性質(zhì)，我們以后就可以只研究與a(t)有關(guān)的問題。    (2)現(xiàn)值函數(shù)    現(xiàn)值函數(shù)是指一個貨幣單位的終值在時期之初的價值。設(shè)時期長度為t，記現(xiàn)值函數(shù)為。同樣可記K個貨幣單位的資本的現(xiàn)值函數(shù)為，且它和具有類似的性質(zhì)。    2. 利息的定義    利息可以定義為資本借入者因使用資本而支付給資本所有者的一種報酬

34、，即使用資本的代價。也可以說，利息是資本所有者對因讓渡資本的使用權(quán)而遭受的損失向資本借入者所收取的一種租金。對于現(xiàn)代社會來說，經(jīng)濟活動中廣泛存在著資金的盈余單位和赤字單位，從而也就存在著頻繁的資本流動。資本的使用者不一定就是資本的所有者，他可借入資本來是用，這樣，對于資本借入者來說，利息就是因他使用資本借出者的資金而支付給后者的代價，對資本借出者來說，利息是他暫時讓渡資本的使用權(quán)而從資本借入者那里得到的報酬。    3. 利息計算的方法    利息計算中有兩種基本方法：單利與復(fù)利   

35、 (1)單利法    單利法計算利息的特點是，僅對本金計息，對利息不再付息。以i表示實際利率，則其終值函數(shù)的形式為   a(t)=1+i·t                               

36、;                                             (3.2.3)    (2)復(fù)利法&#

37、160;   復(fù)利法的特點是，不僅對本金計息，還對產(chǎn)生的利息計息。則其終值函數(shù)的形式為                                        &#

38、160;                                         (3.2.4)    4. 利息的度量   

39、60;利息可以是按年計息，也可以是按半年、季、月等計息。在單利法下，由于它只在本金上計息，計息單位不會影響利息額。但在復(fù)利法下，由于利上有利，在年利率不變時，如按半年、季、月等計息，即當計算利息的期間與基本的時間單位（一般為一年）不一致時，實際的利息值就產(chǎn)生了差異。例如，本金一元，年利率為10，若半年結(jié)息一次，到年末的本利和為則一年總的利息額為0.1025元，一年結(jié)算的實際利率為10.25。若改為每季結(jié)息一次，到年末的本利和為,則一年總的利息額為0.1038，一年結(jié)算的實際利率為10.38。這樣，由于一年內(nèi)結(jié)息次數(shù)不同，產(chǎn)生了利息率的名實不符。于是我們就把原來規(guī)定的一年結(jié)息多次的利率稱為名義利

40、率，如上面的例子中，原來規(guī)定的年利率10就是名義利率。    下面給出名義利率和實際利率的準確定義：    (1)實際利率    若計算利息的期間長度與基本的時間單位一致，則資本在該段時間內(nèi)獲取利息的能力就是實際利率，又稱為有效利率,以i表示。    也就是說，某時期內(nèi)的實際利率是該時期內(nèi)得到的總的利息金額與此時期開始投資的本金金額之比，它度量了本金在所度量時期內(nèi)的獲取利息的能力。若一年內(nèi)只計算一次利息，則該年內(nèi)獲得利息的能力就是年實際

41、利率；若半年計算一次利息，則半年內(nèi)獲得利息的能力就是半年實際利率。    以后若無特別說明，基本的時間單位即為一年。    (2)名義利率    當計算利息的期間長度與基本的時間單位不一致時，則原來規(guī)定的以基本時間單位為基礎(chǔ)的利率就是名義利率，以表示，其中m表示在基本的時間單位內(nèi)計息的次數(shù)。    (3)名義利率和實際利率的相互轉(zhuǎn)化    名義利率以用表示，m是一年計息的次數(shù),這樣每次計息期間的實

42、際利率為，設(shè)在期初投入一個貨幣單位的本金，一年末的終值函數(shù)為，而以實際利率i計算的一年末的終值函數(shù)為1+i,而這兩者應(yīng)該是相等的，于是有                                       

43、60;                              故                     

44、                                                 (3.2.5

45、)    根據(jù)上述公式，只要知道名義利率和實際利率中的任何一個，就可以求出另外一個，進行有關(guān)利息的計算了。    (4)名義貼現(xiàn)率和實際貼現(xiàn)率    與名義利率和實際利率的意義相似，也有名義貼現(xiàn)率和實際貼現(xiàn)率。所謂實際貼現(xiàn)率，就是到期末的總貼現(xiàn)額與到期日應(yīng)付額之比，以d表示。而名義貼現(xiàn)率則表示原來規(guī)定的以基本時間單位為基礎(chǔ)的貼現(xiàn)率，以d表示，其中m表示在基本的時間單位內(nèi)貼現(xiàn)的次數(shù)。同樣的，這兩者具有以下的轉(zhuǎn)換關(guān)系      &

46、#160;                                                 &

47、#160;               (3.2.6)3.2.2   利息力    實際利率和名義利率分別表示每年結(jié)算利息一次的年利率和每年結(jié)算利息數(shù)次的年利率。這就是說，若已知實際利率和名義利率，就可以分別計算一年和一年以內(nèi)的分數(shù)年的利息，因而它們在實際中有著廣泛的應(yīng)用，大多數(shù)涉及利息的問題都可以由它們來度量。但是，在理論上或者實際中的某些問題中，需要度量在某一時刻或某個微小區(qū)間上的利息，此時，

48、實際利率和名義利率就不再適用了，為了解決這個問題，我們要引入利息力的概念。    利息力又簡稱息力，是衡量在某個確切時點上利率水平的指標。如果用t表示時刻t的息力，那么t的定義是：                                 &#

49、160;                                    (3.2.7)    從根本上講，息力t表示在時刻t的瞬時利息率，是時刻 t時瞬時獲取利息的能力，它是對利息的最基本的度量。而且t

50、還是以年率形式來度量時刻t的利息的。根據(jù)息力的定義，對公式（4.2.7）兩邊積分，有                                            

51、;                    從而                                

52、                                                (3.2.8) 

53、0;  這表明：投入一個貨幣單位的本金，在息力t已知的條件下，經(jīng)過時期t后的終值a(t)可按公式(4.2.8)計算。    問題的另一方面為，經(jīng)過時期t 后的一個貨幣單位的資本，在息力t已知的條件下，它在該時期之初的現(xiàn)值為：                           &

54、#160;                                                 

55、(3.2.9)3.2.3   利率、貼現(xiàn)率及息力之間的關(guān)系    現(xiàn)在我們已經(jīng)了解了利率、貼現(xiàn)率及息力各自的含義，在實際中往往不能同時獲知它們每個的值，因而就需要能從其中的某一個來推知另一個，這要求掌握它們之間的關(guān)系。綜合前述有關(guān)分析及其原理，并結(jié)合它們各自的定義，不難得出實際利率、名義利率、實際貼現(xiàn)率、名義貼現(xiàn)率以及息力之間有如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系：        這些關(guān)系可用一個式子概括起來表示       &

56、#160;                                     (3.2.10)    其中，V為貼現(xiàn)因子，具體的定義在后面將會講到。3.2.4   現(xiàn)金流的現(xiàn)

57、值與終值的計算    我們稱在不同時點上發(fā)生的一系列的資本流出或流入為現(xiàn)金流。由于A(t)和a(t)的關(guān)系是A(t)=K· a(t),為了研究的方便，我們只需討論a(t)的計算即可。而由前述內(nèi)容可知，a(t)的表達式受利息的具體的度量方式的影響，所以下面我們將分別討論在不同的利息度量方式下a(t)和(t)的計算。    (1)已知利息率，求a(t)    設(shè)本金為1，經(jīng)過時期后t的終值為：    (a) 在單利的條件下：

58、60;   a(t)=1+i·t    (b) 在復(fù)利的條件下：        (c) 在實際利率的條件下：        (d) 在名義利率的條件下：        其中，t既可以是整數(shù)也可以是分數(shù)。    (2)已知利息率，求(t)   

59、0;設(shè)本金為1，經(jīng)過時期后t的終值為：    (a) 在單利的條件下：         (b) 在復(fù)利的條件下：         (c) 在實際利率的條件下：         （d) 在名義利率的條件下：         特別地，一年末的1

60、元終值，在年初的現(xiàn)值為，一般我們用符號V表示，并稱V為貼現(xiàn)或折現(xiàn)因子。相應(yīng)地，(1+i)被稱為累積或終值因子。    (3)已知貼現(xiàn)率，求a(t)    (a) 在單貼現(xiàn)率的條件下：         (b) 在復(fù)貼現(xiàn)率的條件下：         (c) 在實際貼現(xiàn)率的條件下：        

61、; （d) 在名義貼現(xiàn)率的條件下：         (4)已知貼現(xiàn)率，求(t)    (a) 在單貼現(xiàn)率的條件下：         (b) 在復(fù)貼現(xiàn)率的條件下：          (c) 在實際貼現(xiàn)率的條件下：        &#

62、160; （d) 在名義貼現(xiàn)率的條件下：         (5)已知息力，求a(t)或(t)    在講利息力的一節(jié)里，我們已經(jīng)涉及到了這問題，這里就不再重復(fù)了。3.2.5   確定年金    年金是指在一定時期內(nèi)在相等的時間間隔上所做的一系列給付。年金并不局限于每年給付一次，只要是每隔相等的時間間隔提供一次給付就形成一個年金。而且，年金每次的給付額可以是固定量，也可以是非固定量。  &

63、#160; 確定年金是年金的一種形式，指只要事先約定，就會必定支付的年金，即確定年金僅與利率有關(guān)，而與人的生死無關(guān)。確定年金有多種分類，通常情況下的分類有：年金在每期開始時支付的期初付年金以及每期結(jié)束時支付的期末付年金；年金的給付在簽約后即刻開始的即期年金以及經(jīng)過一段時間后才開始的延期年金等。    1. 年金支付期等于利息結(jié)算期的確定年金    (1)期末付年金    設(shè)年金額為1，于每年年末支付，共付n年，年實際利率為i，下面求該年金的現(xiàn)值和終值。用分別表示上述

64、年金的現(xiàn)值和終值,簡記為。則有                                                &#

65、160;              (3.2.11)                                   

66、0;        (3.2.12)    由(4.2.11)和(4.2.12)可得a和S具有如下的關(guān)系：                                 

67、;                                  (3.2.13)    需要知道的是，雖然我們在有關(guān)的推導(dǎo)過程中，考慮的情形僅限于每年支付一次的確定年金，但是公式的應(yīng)用卻并不僅限于以年為支付期。只要年金支付期

68、等于利息結(jié)算期，的公式就可以應(yīng)用。    (2)期初付年金    設(shè)年金額為1，于每年年初支付， 共支付n年，年實際利率為i, 下面求該年金的現(xiàn)值和終值。    用和分別表示上述年金的現(xiàn)值和終值，簡記為和。則有        同樣地，只要年金支付期等于利息結(jié)算期，和的公式就可以應(yīng)用。    (3) 期末付年金和期初付年金的關(guān)系 

69、   所謂的期末付年金和期初付年金的關(guān)系，是指期末付年金與期初付年金的現(xiàn)值和終值之間的關(guān)系。其關(guān)系有如下兩組：        2. 年金支付期大于利息結(jié)算期的確定年金    年金支付期大于利息結(jié)算期的確定年金即年金支付次數(shù)比利息結(jié)算次數(shù)少的確定年金。假定：年金總的期間為n,每一個年金支付期內(nèi)包含整數(shù)個利息結(jié)算期，用k表示一個年金支付期內(nèi)利息結(jié)算的次數(shù),i表示一個利息結(jié)算期內(nèi)的利率，年金額為1。    下面具體就在這種

70、條件下的期末付年金和期初付年金兩種情形進行討論。    (1)期末付年金    滿足上述條件的期末付年金的現(xiàn)值和終值分別用(PV)I和(AV)I表示，則有        (2)期初付年金    滿足上述條件的期初付年金的現(xiàn)值和終值分別用(PV)D和(AV)D表示，用類似的方法可以求出        3. 年金支付期小于利息結(jié)算期的確定年金

71、    年金支付期小于利息結(jié)算期的確定年金即年金支付次數(shù)比利息結(jié)算次數(shù)多的確定年金。假定：年金總的期間為n, 在每個利息結(jié)算期內(nèi)總的支付額為，分次m支付，每次的支付額為, i表示一個利息結(jié)算期內(nèi)的利率。    下面具體就在這種條件下的期末付年金和期初付年金兩種情形進行討論。    (1)期末付年金    滿足上述條件的期末付年金的現(xiàn)值和終值分別用和，則有        

72、;(2)期初付年金    滿足上述條件的期初付年金的現(xiàn)值和終值分別用和，用類似的方法可以求出         3.3   生命表和生命函數(shù)3.3.1   生命表    人身保險，特別是壽險，是以被保險人的生存和死亡為保險標的的保險，其保費和準備金的計算與被保險人的生死有著密切的關(guān)系，然而被保險人自保單生效后的未來的存活時間是不確定的，因此，我們就需要研究人的生、死的規(guī)律及其有關(guān)概率的計算。 

73、60;  1. 概述    生命表，又稱為死亡表，是對一定時期某一國家或地區(qū)的特定人群自出生直至全部死亡這段時間內(nèi)的生存和死亡情況的記錄。它刻畫了處于整數(shù)年齡的人在整數(shù)年內(nèi)生存或死亡的情況。    生命表所考察的這一群人是一確定的生存集合，它一般具有以下幾個特點：(1)人群基數(shù)為;(2)集合是封閉的，即一旦選定，就不再有人進入，集合人數(shù)減少的唯一原因是自然死亡；(3)集合中各成員在每一年齡段上的死亡率是確定的。    生命表是壽險精算的基礎(chǔ)，在保險費厘定和

74、責(zé)任準備金計算時，都是以之為基礎(chǔ)開始計算的。確切地講，生命表中記載的生存數(shù)、死亡數(shù)、生存率、死亡率以及平均余壽等是壽險精算的基礎(chǔ)。    2. 生存模型    在壽險中，我們視被保險人的生存和死亡為隨即變量，并在此前提下進行相關(guān)的計算，同時，為了簡化問題，我們一般假定利率為常數(shù)。    為了了解和分析生命函數(shù)，我們在此引入幾個與生命密切相關(guān)的隨機變量。    (1)T(x)：表示x歲人的余壽，也即年齡為x歲的人未來存活的時間，通常簡寫為

75、T，且T是一個連續(xù)的隨機變量。特別地，T(0)表示新生兒未來存活的時間         (3.3.1)    上式又可以寫成：        3. 生命表的結(jié)構(gòu)    通常，生命表包括以下幾個基本欄目：    (1)x：被觀察的人口年齡。       

76、0;生命表各欄目間存在如下關(guān)系：        根據(jù)上述關(guān)系，只要知道人群基數(shù)和死亡率，我們就可以構(gòu)造出生命表，其編制過程是：         (4)重復(fù)執(zhí)行步驟2和3。     4. 生命表的選擇    生命表是針對確定的人群構(gòu)造的，依不同的劃分標準生命表可劃分為不同的類型：它可分為以一國國民為對象的國民生命表和以人壽保險公司被保險人集團為對象的經(jīng)驗生命表

77、；以性別為標準劃分時可分為男子表和女子表及男女混合表；此外，按照所考察人群死亡率測定的觀察期間取法的不同，生命表還可分為選擇表、綜合表和截斷表；考慮到壽險業(yè)務(wù)和年金業(yè)務(wù)中被保險人生死狀況的差異，生命表還可進一步劃分為壽險生命表和年金生命表。    不同壽險業(yè)務(wù)的精算，應(yīng)結(jié)合不同分類，選擇恰當?shù)纳碜鳛轭A(yù)定死亡率的基礎(chǔ)，否則精算的結(jié)果將會出現(xiàn)誤差。另外，選擇生命表時，應(yīng)注意到，由于生命表中的死亡率是建立在過去統(tǒng)計資料之上的，而過去一群人與未來一群人的死亡狀況絕非一致的。因而在選擇生命表作為精算基礎(chǔ)時，應(yīng)假定生命表人群的死亡狀況與計算對象的死亡狀況接近。&

78、#160;   本書附錄中，我們給出了中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命表（19901993）的節(jié)選。3.3.2  生命函數(shù)    1. 一般整數(shù)年齡生命函數(shù)                               &

79、#160;                            (3.3.9)        2. 余壽    (1)取整的余壽    令  

80、60;     K(x)=T(x)                                            

81、;        (3.3.10)    表示x歲的人未來存活的整年數(shù)，簡稱為取整余壽。顯然，K(x)是一個離散型隨機變量，我們可從T(x)的分布來研究的K(x)分布。        (2)平均余壽    從前面的內(nèi)容可知，被保險人的余壽是一個隨機變量，我們稱余壽這一隨機變量的均值為平均余壽。需要注意的是，平均余壽是針對某個人群或某年齡的人的集團而言的，指的是集團中每

82、個成員的余壽的平均值。    平均余壽有兩種形式：    (a)完全平均余壽    某年齡對應(yīng)的完全平均余壽，是指全部可能生存的期間，包括不滿一年的零數(shù)均計算在內(nèi)的余壽的平均值。我們用表示年齡為x歲的人的完全平均余壽。顯然，為年齡為x歲的人的平均死亡年齡。    根據(jù)完全平均余壽的定義             

83、0;                         (3.3.11)    (b)取整平均余壽    某年齡對應(yīng)的取整平均余壽，是指只考慮所生存的整年期，不包括不滿一年的零數(shù)而計算的余壽的平均值。    我們用表示年齡為x歲的人

84、的取整平均余壽。    根據(jù)取整平均余壽的定義                                           

85、0;     (3.3.12)    3. 保險領(lǐng)域常用的死亡法則    死亡法則就是關(guān)于死亡秩序的理論上或經(jīng)驗上的統(tǒng)計規(guī)律。關(guān)于死亡法則的研究相當多，茲列舉三種在保險中常用的死亡法則：    (1)Abraham de Moivre死亡法則    Abraham de Moivre定義死亡法則為1x=k·(x) (0x<，為終極年齡)。在當時Abraham de Moi

86、vre雖已意識到視為一條直線很粗糙，但是好在他之本意并非用其法則擬合真實的曲線，相反而只是用于簡化棘手的年金計算問題。    (2)Gompertz死亡法則    Gompertz認為，一個人死亡的原因主要受兩種作用的支配：一是與年齡無關(guān)的死亡機會；另一種是隨著年齡而增加的死亡抵抗力的減退。進一步，Gompertz還假定了一個人抵御死亡的能力是以與自身成比例的速度遞減的，并考慮到死力是一個人對死亡的敏感性度量，所以Gompertz便用的倒數(shù)去度量一個人對死亡的抵御程度。從而Gompertz死亡法則的分析形式為：&#

87、160;                                                (3.3.13) 

88、0;  (3) Makeham死亡法則    雖然Gompertz認識到了死亡的兩個原因，但是他提出的死亡法則中卻只考慮了其中的第二個原因，忽略了第一個原因。1860年，Makeham在參酌Gompertz的死亡法則基礎(chǔ)上，并用常數(shù)代表第一個原因，加在Gompertz死亡法則所描述的死力之上，便產(chǎn)生了Makeham死亡法則：              (A為常數(shù))    

89、60;                                                 

90、60; (3.3.14)3.4   人壽保險保費的確定3.4.1   人壽保險保費擬定原則和構(gòu)成    保費的計算是保險公司經(jīng)營的基礎(chǔ)。本節(jié)主要討論躉繳純保費、分期繳納均衡純保費、均衡費用負荷毛保費、毛保費的計算問題。    1. 保費的概念    保費是保險人(或保險公司)為履行一定的保險責(zé)任向投保人收取的實際金額。這也是我們常說的“毛保費”。    保險是一種分散風(fēng)險的手段，它把大量的風(fēng)險單位

91、(個人或單位)集合起來，以收取保費的方式建立起風(fēng)險準備基金，當個別風(fēng)險單位發(fā)生保險合同約定的保險事故時，用此基金進行經(jīng)濟補償?？梢姡ｋU人收取的保費是風(fēng)險準備基金的基礎(chǔ)，確定恰當?shù)谋ＹM是保險公司正常運營的重要前提。    2. 保費的構(gòu)成    一張保單反映了保險公司和投保人各自的權(quán)責(zé)：對投保人來說，其責(zé)任是繳納保費，權(quán)益是在保險事故發(fā)生時獲取保額；對保險公司來說，其權(quán)益是獲取保費收入及保費投資收入，責(zé)任是在保險事故發(fā)生時向投保人支付保額。不管是哪一利益主體，都必須遵循權(quán)責(zé)相等的原則，也就是說，保險公司向投保人收取的保費應(yīng)至少能滿足其對保額的支付。一般，我們把恰能滿足保額支付的保費稱作“純保費”或“凈保費”。    但對保險公司來說，其支出責(zé)任并不僅限于支付保額。保險公司作為一個經(jīng)濟實體，其經(jīng)營各項業(yè)務(wù)必然會發(fā)生各種各樣的費用，如開業(yè)費用、代理手續(xù)費、行政管理費、死亡調(diào)查費及法律糾紛費等。并且，這些費用正是由于保險公司對投保人進行承保而產(chǎn)生的。我們把恰能滿足保額支付和費用支付的保費稱作“費用負荷毛保費”。