函數(shù)圖象平移與伸縮的通解

1、函數(shù)圖象平移與伸縮的通解 對(duì)于函數(shù)圖象的平移與伸縮問題，傳統(tǒng)的處理手法過于繁雜，記憶量大，難于掌握.本文試圖用代換的手法將其作一般性的探討. 一、函數(shù)圖象的平移 事實(shí)上，設(shè)函數(shù)的圖象，向右平移個(gè)單位，得到的圖象的解析式是,令點(diǎn)是的圖象上任一點(diǎn)，點(diǎn)向右平移個(gè)單位得點(diǎn)，則點(diǎn)在的圖象上，且，有，于是，把函數(shù)的圖象，向右平移個(gè)單位，得到的圖象的解析式是（即以代換）. 我們定義：當(dāng)時(shí)，表示向右平移；當(dāng)時(shí)，表示向左平移. 例1 函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對(duì)稱軸是 A， B， C， D， 分析：函數(shù)是偶函數(shù)，其對(duì)稱軸為，以代換，有，令，解得，故函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，其對(duì)稱軸也相應(yīng)地向左平移了

2、個(gè)單位，故選D. 例2 要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象 A，向左平移個(gè)單位 B，向右平移個(gè)單位C，向左平移個(gè)單位 D，向右平移個(gè)單位解1：，而在中，以代換，有.令，解得.故選A. 解2：.在中，以代換，有，令，解得.故選A. 同樣地，把函數(shù)的圖象，向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到的圖象的解析式是（即以，分別代換，）. 同樣，我們定義：當(dāng)時(shí)，表示向上平移；當(dāng)時(shí)，表示向下平移. 例3 函數(shù)的圖象，經(jīng)過怎樣的平移變換得到函數(shù)的圖象？ 解：在中，以，分別代換，有.即，經(jīng)對(duì)比，有，解得.故把函數(shù)的圖象，向左平移個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，便得函數(shù)的圖象. 二、函數(shù)圖象的伸縮與平移 事實(shí)上，設(shè)

3、把函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象的解析式是, 令點(diǎn)是的圖象上任一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，得點(diǎn)，則點(diǎn)在的圖象上，且，有， 于是，設(shè)把函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象的解析式是（即以代換）. 我們定義：當(dāng)時(shí)，表示伸長(zhǎng)；當(dāng)時(shí)，表示縮短. 例4 函數(shù)的圖象，經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到函數(shù)的圖象？ 解1：（先平移后伸縮）在中，以，分別代換，有，再以代換，有，即.對(duì)比有，得.即把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，后將橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），可得函數(shù)的圖象. 解2：（先伸縮后平移）在中，以代換，有，再以，分別代換，得，即于

4、是，得，.即把函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位，后向上平移4個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象. 把函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)到原來的倍，得到的圖象的解析式是（即分別以，代換）. 我們定義：當(dāng)時(shí)，表示伸長(zhǎng)；當(dāng)時(shí)，表示縮短. 例5 已知函數(shù)，將的圖象向左平移1個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象. （I）求的解析式及定義域；（II）求的最大值. 解：（I）依題意，在中，以（即）代換，得，即，再以代換，得.故得.下略. 例6 函數(shù)的圖象，經(jīng)過怎樣的變換得到函數(shù)的圖象？ 解1：（先伸縮后平移）在中，分別以，代換，有，再以代換，得，即，令，得.故把函數(shù)的圖象，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的5倍（縱坐標(biāo)不變），再將縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），后向右平