《132輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法》導(dǎo)學(xué)案

1、1. 3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法導(dǎo) 學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的含義，了解其執(zhí)行過程，并會(huì)求最大公約數(shù).2. 掌握秦九韶算法的計(jì)算過程，了解它提高計(jì)算效率的實(shí)質(zhì)，并會(huì)求多項(xiàng)式的值.3. 進(jìn)一步體會(huì)算法的基本思想.學(xué)習(xí)重點(diǎn)】算法步驟及程序框圖和算法程序課前預(yù)習(xí)案知識鏈接】1. 36與60的最大公約數(shù)是多少？你是如何得到的？2. 觀察下列等式8 251 = 6 105X 1 + 2 146,那么8 251與6 105這兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)和6 105與2146的公約數(shù)有什么關(guān)系？知識梳理】1 .輾轉(zhuǎn)相除法(1 )輾轉(zhuǎn)相除法. 算法步驟： 程序框圖如圖所示. 程序:2、更

2、相減損術(shù)問題：設(shè)兩個(gè)正整數(shù)m>n (m>n)，若m n二k,則m與n的最大公約數(shù)和n與k的最大公約數(shù)相等，反復(fù)利用這個(gè)原理，可求得98與63的最大公約數(shù)是多少?算法分析:3. 秦九韶算法多項(xiàng)式的(1)概念：求多項(xiàng)式f(x)二anxn + an-ixn 1 + aix+乳的值時(shí)，常用秦九韶算法，這種算法的運(yùn)算次數(shù)較少，是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法，其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為求値,共進(jìn)行次乘法運(yùn)算和 次加法運(yùn)算.其過程是：(2)算法步驟:(3)程序框圖如圖所示.(4)程序:自主小測1、用更相減損術(shù)求294和84的最大公約數(shù)時(shí),第一步是2、設(shè)計(jì)程序框圖，用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，所選用的結(jié)構(gòu)是A.順序

3、結(jié)構(gòu)B.條件結(jié)構(gòu)C.循環(huán)結(jié)構(gòu)D.以上都有3.用更相減損術(shù)可求得78與36的最大公約數(shù)是（)A.24B. 18C. 12課上導(dǎo)學(xué)案教師點(diǎn)撥：更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法的區(qū)別與聯(lián)系如表所示.輾轉(zhuǎn)相除法更相減損術(shù)以除法為主.以減法為主.區(qū)兩個(gè)整數(shù)差值較大時(shí)運(yùn)算兩個(gè)整數(shù)的差值較大時(shí)，運(yùn)算次數(shù)較多.別次數(shù)較少.相減，差與減數(shù)相等得結(jié)果.相除余數(shù)為零時(shí)得結(jié)果.相減前要做是否都是偶數(shù)的判斷聯(lián)系 都是求最大公約數(shù)的方法. 二者的實(shí)質(zhì)都是遞歸的過程. 二者都要用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)例題講解【例題1】（1）用輾轉(zhuǎn)相除法求8251與6105的最大公約數(shù);（2）用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).輾轉(zhuǎn)相除法的操作是較大的數(shù)分

4、析：本題是關(guān)于輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)的直接應(yīng)用.除以較小的數(shù)；更相減損術(shù)的操作是以大數(shù)減小數(shù).反思：（1）利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)時(shí)經(jīng)常會(huì)取錯(cuò)最后一個(gè)余數(shù).因?yàn)檩氜D(zhuǎn)相除法 有有限個(gè)除法式子，而最后一個(gè)余數(shù)在倒數(shù)第二個(gè)式子的最后.（2）利用更相減損術(shù)求解最大公約數(shù)時(shí)，最大公約數(shù)是直到差等于減數(shù)時(shí)的那個(gè)差，或 是該差與約簡的數(shù)的乘積.【例題2】用秦九韶算法求多項(xiàng)式彳（X） = X5 + X4+ X'+ X2 + X+1當(dāng)x= 5時(shí)的值.當(dāng)堂檢測】1 用秦九韶算法計(jì)算f(x) = 3x6+4x5+ 5x'+ 6x3 + 7x2 3+ 8x +1當(dāng)x二04時(shí)的值，需要進(jìn)行 乘法運(yùn)算和

5、加法運(yùn)算的次數(shù)分別為()A. 6, 6C. 6, 5D. 6, 122.利用輾轉(zhuǎn)相除法求3 869與6 497的最大公約數(shù)時(shí)，第二步是 .3 .用秦九韶算法求多項(xiàng)式f (x) = x° + 5x! + 10x3 + 10x2 + 5x + 1在x二- 2時(shí)的值為4.用輾轉(zhuǎn)相除法求242與154的最大公約數(shù).2 36勿恥，故36與60的最大公約數(shù)為3 915352 X 2 X 3= 12.2、【提示】8 251的最大約數(shù)是2 146的約數(shù)，同樣6 105與2 146的公約數(shù)也是8 251【問題與收獲】【知識鏈接】1、【提示】先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，

6、然的約數(shù)，故8 251與6 105的最大公約數(shù)也是6 105與2 146的最大公約數(shù).自主小測答案：1、用2約簡由于294和84都是偶數(shù)，先用2約簡.2、3. D先用2約簡得39, 1&然后輾轉(zhuǎn)相減得39 18 = 21, 21 - 18= 3, 18- 3= 15, 15-3= 12, 12- 3= 9, 9-3=6, 6-3=3.所以所求的最大公約數(shù)為3X 2= 6.當(dāng)堂檢測答案：1. A 改寫多項(xiàng)式 f (x) = ( 3x+ 4)x + 5)x + 6)x + 7)x + 8)x + 1,則需進(jìn)行 6 次 乘法和6次加法運(yùn)算.2. 3 869二 2 628X 1 + 1 241 第一步：6 497二 3 869X 1 + 2 628,第二步：3 869 = 2 628 X 1+ 1 241.3. 1 改寫多項(xiàng)式為 f(x) = ( X+ 5)x + 10)x + 10)x + 5)x + 1,當(dāng) x= 2 時(shí)，vo= 1 ； vi二 1 X ( 一 2) + 5= 3；V2 二 3X(2)+10 二 4；vs= 4X ( 2)+ 10= 2；V4= 2X( 2)+5=1；v5= IX ( 2) +1= 1 ；故 f (一 2) =-