不定積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、第四章 不定積分1學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.基本要求正確理解原函數(shù)與不定積分的概念，熟悉原函數(shù)與不定積分的關(guān)系；掌握并能推證不定積分的性質(zhì)，牢記并能熟練運(yùn)用基本積分公式；熟練掌握求簡單函數(shù)不定積分的直接方法；掌握不定積分的換元積分法與分部積分法；了解有理函數(shù)、簡單無理函數(shù)、三角函數(shù)有理式的不定積分；掌握求典型初等函數(shù)不定積分的方法；掌握積分表的使用方法。2.重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn) 不定積分的概念，基本積分公式，換元積分法，分部積分法；難點(diǎn) 換元積分法。3.學(xué)習(xí)方法不定積分與微分互為逆運(yùn)算，“積分法”是在“微分法”的基礎(chǔ)上建立起來的。由初等函數(shù)的微分法可推出求不定積分的法則。如由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以得到換元積分公式

2、，由乘積的求導(dǎo)法則可以得到分部積分公式。求不定積分的方法是，設(shè)法將所求的積分化為基本積分表中已有的積分形式，以便運(yùn)用公式求不定積分，具體轉(zhuǎn)化時(shí)，可以利用積分性質(zhì)、換元積分法、分部積分法及代數(shù)三角恒等變形等方法。常用的三角恒等式包括平方和（差）等于1、倍角的正弦及余弦公式、和差化積及積化和差公式。下面列出常用的求不定積分的方法。直接積分法這種方法是將被積函數(shù)作代數(shù)、三角恒等變形，直接利用基本積分公式或不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解。第一類換元積分法（湊微分法）這類積分法主要解決被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)的積分。求不定積分，關(guān)鍵是將被積表達(dá)式湊成復(fù)合函數(shù)的微分的形式，再由得，即將積分轉(zhuǎn)化為，若能求得的原函

3、數(shù)，就得到了的不定積分，因此熟悉常見的湊微分形式非常重要。應(yīng)注意，利用第一類換元法求不定積分時(shí)，有時(shí)不必寫出換元積分變量，而將視為整體變量直接計(jì)算。常見的第一類換元積分類型如下： （為自然數(shù)）；，用于求積分 （是自然數(shù)），用于求積分 （是自然數(shù)），用于求積分（是自然數(shù)），用于求積分（是自然數(shù)）；。第二類換元積分法第二類換元積分主要處理帶根式的不定積分問題，關(guān)鍵是作一個(gè)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將根號去掉，使被積函數(shù)為，整理化簡成，而函數(shù)的原函數(shù)容易求出，這里的選擇與被積函數(shù)中根式的表達(dá)形式有關(guān)，代換時(shí)注意符號的討論，求出原函數(shù)后則應(yīng)注意回代積分變量，特別是作三角代換計(jì)算不定積分后，應(yīng)借助于輔助三角形進(jìn)行變

4、量還原，常見的第二類換元有下列類型： （令）； （令）； （令）；，將被積函數(shù)配方，化成上述三種形式之一，再作變量代換； （令）；（令，是，的最小公倍數(shù)）； （令）；當(dāng)被積函數(shù)含有時(shí)，常用變換化簡被積表達(dá)式。分部積分法當(dāng)被積函數(shù)可視為和的乘積，即時(shí)，常用分部積分公式計(jì)算不定積分。使用分部積分公式求不定積分，關(guān)鍵是正確選擇及，選擇應(yīng)遵循如下原則： 由或容易求出； 要比容易積分（即求導(dǎo)后形式更簡單）。選擇的一般方法是，將被積函數(shù)看成兩函數(shù)之積，按反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)順序，排在前面的取為，后面的取為.有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分，可歸結(jié)為多項(xiàng)式和真分式的積分，而真分式可分

5、解為部分分式之和，因此求有理函數(shù)不定積分的步驟是：將被積函數(shù)進(jìn)行分解，使被積函數(shù)=多項(xiàng)式+部分分式（其中部分分式的分母為一次或二次不可約因式，分解部分分式所用的方法是待定系數(shù)法），然后分別求各部分的不定積分。理論上，任何有理函數(shù)都可以求出其不定積分，但將真分式化成部分分式有時(shí)十分困難，因此在解有理函數(shù)的積分時(shí)，應(yīng)全面分析被積函數(shù)的特點(diǎn)，尋求其他簡便方法。三角有理式與簡單無理式的積分某些無理根式及三角有理式的不定積分，經(jīng)過變量代換常可化成有理函數(shù)的不定積分，無理根式的常見換元類型見本目.對三角有理式，經(jīng)萬能代換，有， ， ，從而是有理函數(shù)的積分，原則上應(yīng)用萬能代換可計(jì)算任意一個(gè)三角有理式的積分，

6、但計(jì)算往往繁雜，因此，僅當(dāng)沒有更簡便方法時(shí)才用此方法求解。許多不定積分的計(jì)算需要綜合運(yùn)用上述各種方法，一般從被積表達(dá)式的形式可以決定先用哪種方法，后用哪種方法。求不定積分往往不止一種方法，用多種方法求解，可以培養(yǎng)靈活的思維能力，也可以比較解法之聯(lián)系，從中選取最簡解法。應(yīng)注意，對不定積分用不同的方法求的結(jié)果，形式可能不完全相同，但它們的導(dǎo)數(shù)都等于被積函數(shù)。注意，并非所有的連續(xù)函數(shù)都能求出其不定積分，原因是它們的原函數(shù)不是初等函數(shù)。如， 等。2 解題指導(dǎo) 1.基本積分法例1 求下列不定積分：； ； .解題思路 此類積分形式比較簡單，只需經(jīng)過三角恒等變形或代數(shù)運(yùn)算，就可利用基本公式求解。解 例2 計(jì)

7、算.解題思路 被積函數(shù)是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)，求其不定積分，應(yīng)先分別求函數(shù)在各段上相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的不定積分，然后利用原函數(shù)的連續(xù)性，確定各任意常數(shù)間的關(guān)系，最后用一個(gè)任意常數(shù)表示其不定積分。解 因?yàn)?于是 由被積函數(shù)的連續(xù)性，有，即，所以 2.第一類換元積分法例3 求下列不定積分：； ； ； .解題思路 使用第一類換元法的關(guān)鍵是“湊”出函數(shù)的微分，方法是利用一些常見函數(shù)的微分形式。但如果不易直接得到，則可應(yīng)用拆項(xiàng)、加項(xiàng)、減項(xiàng)、同乘除因子、三角恒等變形等方法將被積函數(shù)變形，化簡成簡單函數(shù)后再求不定積分；也可以從被積函數(shù)中取出部分表達(dá)式，求其導(dǎo)數(shù)后尋找規(guī)律，再確定如何湊微分。解 注意到，且，所以 降冪

8、法與化同名三角函數(shù)是求解形如形式不定積分的基本方法。一般地，若兩個(gè)函數(shù)都是偶次冪，則通過半角公式降冪；若至少有一個(gè)函數(shù)為奇次冪，則將奇次冪分為一次冪與偶次冪的乘積，化為同名三角函數(shù)求解。對本題，由于是奇次冪，且，故原積分可以化成形式，所以 .將被積函數(shù)分成兩部分，第一項(xiàng)湊微分得，第二項(xiàng)湊微分得，則 .這是一個(gè)有理函數(shù)的積分，但將被積函數(shù)分解為部分分式很麻煩，若將分子的1寫成，再加一個(gè)因式，同時(shí)減去該因式，可與分母的兩項(xiàng)聯(lián)系起來；若注意到分母次數(shù)高于分子次數(shù)，作倒代換，也可簡化被積表達(dá)式。方法1 .方法2 令，則 本題分母有兩項(xiàng)，對分子分母同乘一個(gè)因子，可將分母化成單項(xiàng)；也可以用倍角公式將分母化

9、為單項(xiàng)。方法1 = .方法2 .因?yàn)?，即，所?.3.第二類換元積分法例4 求下列不定積分：； ； ； .解題思路 有些不定積分，不能通過湊微分利用基本公式求解，但可利用變量代換轉(zhuǎn)化積分形式后利用基本積分公式求解。常用的代換方法有：三角代換與雙曲代換。這類代換針對某些特殊的無理根式，如對題作代換或可消去根式。注意作三角代換后應(yīng)利用輔助三角形進(jìn)行變量還原。根式代換。對某些含有根式的被積函數(shù)，通過根式代換可將其轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)積分，方法是取同形根式中方冪的最小公倍數(shù)作為代換形式。如對題作代換.指數(shù)代換。當(dāng)被積函數(shù)中含有指數(shù)函數(shù)時(shí)，用代換可轉(zhuǎn)化積分形式，但常常需要配合其他變換。倒代換.如果分別表示被積

10、式中分子分母變量的最高次數(shù)，則當(dāng)時(shí)，用倒代換較簡。解 方法1 令，則方法2 由被積函數(shù)的特點(diǎn)，作倒代換，則.方法1 該被積表達(dá)式帶有根號，作變量代換，先去掉根號。令 =t，則x=, .方法2 將被積函數(shù)分子有理化，再令，則 .為去掉被積函數(shù)中的根號，令，則 .方法1 被積式中含有指數(shù)函數(shù)，令，則 ，再令，于是 .方法2 第二類換元積分法主要是去掉根式，為此令，則 .方法3 變量代換往往不惟一，令，則 .注意到分母中的次冪高于分子中的次冪，令，則 .對第二類換元積分法，除了常用代換外，有時(shí)根據(jù)被積函數(shù)特點(diǎn)采用特殊代換，也可以簡化積分。對本題，令，則 .4.分部積分法例5 求下列不定積分：已知的一

11、個(gè)原函數(shù)是，求； ； ； .解題思路 分部積分法適用于被積函數(shù)為兩種不同類型函數(shù)乘積形式的不定積分，使用的關(guān)鍵是恰當(dāng)選取與（或）.分部積分法常與換元積分法交替使用，或者數(shù)次使用才能算出結(jié)果。注意在反復(fù)使用分部積分法的過程中，每一次都應(yīng)選取同一類函數(shù)作為及，否則就會產(chǎn)生循環(huán)，致使解不出結(jié)果。另外，在用分部積分法求不定積分時(shí)，若在計(jì)算過程中出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象，常常可通過解方程求出結(jié)果。常見積分類型有，對題令，即為這種形式。解 由條件可知，注意到，用分部積分法，有 這是對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)乘積形式的不定積分，取，則，于是 .這是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的不定積分，取，則，于是 .這是冪函數(shù)與三角函數(shù)乘積形式的

12、不定積分，取三角函數(shù)為，冪函數(shù)為，應(yīng)用分部積分公式。注意到被積函數(shù)帶有根號，為去掉根號，令，則 .方法1 這是冪函數(shù)與復(fù)合函數(shù)乘積形式的不定積分，取，則，于是 .解方程得 .方法2 令，則.解方程得 ，所以 .5.特殊函數(shù)的積分例6 求下列不定積分：； ； .解題思路 特殊函數(shù)的不定積分是指有理函數(shù)、三角有理式、簡單無理式的不定積分，求解的一般方法是通過萬能代換或第二類換元先將三角有理式及無理根式轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，再利用有理函數(shù)求不定積分的方法求解。解 因?yàn)?，于是 .因?yàn)椋瑢⒈环e函數(shù)拆成部分分式，得 ，于是 .本題不易用三角公式變形化簡，不得已利用萬能代換化為有理函數(shù)的積分。令，則，故 .由于

13、 ，令，則，于是 .6.綜合問題舉例例7 求下列不定積分：； ； .解題思路 視被積函數(shù)特點(diǎn)交替使用換元法與分部積分法，也是計(jì)算不定積分的基本方法，對某些復(fù)雜形式的不定積分，將原積分拆項(xiàng)后，分項(xiàng)積分有時(shí)會使未積出部分抵消，從而求出不定積分，注意用此方法求解時(shí)，不要丟掉積分常數(shù)C.解 為去掉被積函數(shù)中的根號，需設(shè)，則，于是 .因?yàn)?，所?.令，則，故 ，故 .注意到 ， ，則 =. 例8 設(shè)，求.解題思路 已知求，一般有兩種方法：先由已知表達(dá)式求出，再計(jì)算.先求不定積分，再求函數(shù)的表達(dá)式。解 方法1 因?yàn)?，所以 ，從而 .方法2 因?yàn)?，所以.7.建立遞推公式例9 建立下列不定積分的遞推公式（

14、n為整數(shù)）： （）； .解題思路 對含有參數(shù)n的不定積分，一般由分部積分公式可導(dǎo)出一個(gè)遞推公式，但要使遞推公式完整，必須給出遞推的初值公式，注意初值公式的個(gè)數(shù)由遞推的步數(shù)決定。解 這是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘形式的不定積分 ，初值.由三角恒等公式與導(dǎo)數(shù)公式有 .初值； .8.錯(cuò)解分析例10 計(jì)算不定積分.錯(cuò)解 當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=，所以 =分析 該解法忽略了原函數(shù)在所論區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性，事實(shí)上，由，知原函數(shù)在上不連續(xù)。正解 當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，=因?yàn)樵瘮?shù)連續(xù)，所以=，故，所以 =自測題及答案自測題4.11.填空題（20分）：已知，則 ； ； ； 。2.求下列不定積分（18分）：； （提示：分母有理化）； 。3.用湊微分法求下列不定積分（14分）： ； 。4.用第二類換元積分法求下列不定積分（16分）： ； .5.用分部積分法求下列不定積分（16分）：