三重積分及柱坐標計算法與球坐標計算法

1、§13-5 三重積分的柱坐標計算法與球坐標計算法1.柱坐標計算法 當積分區(qū)域在直角坐標系中向某個坐標平面的垂直投影是圓或圓的一部分時，時常采用柱坐標計算三重積分。讀者從圖13-26中看出，點的柱坐標實際上是它到坐標平面上垂足的平面極坐標與點的豎坐標的組合。圖13-26圖13-27根據(jù)定理13-5和二重積分的極坐標計算法，可得下面關于三重積分的柱坐標計算法。定理13-6 在定理13-5的假設條件下，則有(13-28)其中是在坐標平面上的垂直投影（圖13-27）。例17 求三重積分，其中是由球面的上半球面與拋物面圍成的區(qū)域（圖13-28）。解 題中球面與拋物面的柱坐標方程依次為與。它們圍

2、成的區(qū)域在坐標平面上的垂直投影為圓。根據(jù)式（13-28），2.球坐標計算法 當積分區(qū)域是球體或球體的一部分時，時常采用球坐標計算三重積分。如圖13-29，點的球坐標與直角坐標的關系為圖13-29其中，。對于以原點為球心且以為半徑的球面上的簡單封閉曲線，自原點發(fā)出且與相交的射線環(huán)繞一周所構(gòu)成的空間區(qū)域（圖13-30），稱為由封閉曲線張成的頂點在原點的立體角。若用表示所包圍的那部分球面面積，則這個立體角的大小規(guī)定為特別，單位球面上封閉曲線張成的立體角的大小為（即圍成的球面面積）。對于空間中的有界閉區(qū)域，首先用下面的三族曲面將劃分成許多小區(qū)域：通過軸作一族半平面；以原點為頂點且以軸為中心軸作一族圓錐

3、面；以原點為球心作一族同心球面。圖13-31中表示出這些小區(qū)域中的一個。它在單位球面上的中心投影的面積為（中心投影邊界曲線張成的立體角的大?。┮虼耍莻€小區(qū)域的底面的面積為。當?shù)闹睆胶苄r，把它看成長方體（合理假設），則它的體積為?，F(xiàn)在，設有函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則它在上的三重積分為把上面最后的三重積分化為累次積分（三次積分），假定自原點發(fā)出且通過區(qū)域的內(nèi)點的每一條射線與區(qū)域的邊界曲面的交點不多于兩個。如圖13-32，自原點發(fā)出的射線與區(qū)域相交時，穿入點到原點的距離記為，而穿出點到原點的距離記為；這樣的射線同時也穿過區(qū)域在單位球面上的中心投影。于是有（13-29）例18 用球坐標計算法，重新

4、計算例17中的三重積分。解 見圖13-33，當時，；當時，。根據(jù)式（13-29），有3.選讀 三重積分的柱坐標計算法與球坐標計算法，實際上是下面這種變量替換的一般方法的特殊情形。下面的變量替換方法是二重積分的變量替換方法（定理13-3）在三重積分中的類比。設函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)。若有一對一的正則變換將有界閉區(qū)域變換成，則（13-30）其中雅可比行列式為正時取“”，為負時取“”。例19 計算三重積分其中為橢球體：。解 作廣義球坐標變換，則它的雅可比行列式為根據(jù)式（13-30），則有習題與閱讀1利用適當?shù)姆椒?，計算下面的三重積分：，為拋物面和平面圍成的閉區(qū)域；，為半球面和拋物面圍成的閉區(qū)域；，為

5、圓錐面和平面圍成的閉區(qū)域；，；，為兩球體和的公共部分；，；，；，。答案：；。2根據(jù)的體積，求由曲面圍成的立體的體積。分析與解答：不妨認為，則圖形含在第一、三、六、八掛限，根據(jù)圖形對稱性，所求體積為【為含在第一掛限的部分】用球坐標變換，則曲面方程變?yōu)橐虼耍?設為連續(xù)函數(shù)。求函數(shù)的導數(shù)。答案：。4求三重積分(其中為非負整數(shù))。答案：當中至少有一個為奇數(shù)時，；當都為偶數(shù)時，。5求由曲面包圍的立體的體積。分析與解答 由曲面方程看出，曲面包圍的立體處在坐標平面的正側(cè)一方，并且分別關于坐標平面與對稱。因此，它的體積是它含在第一卦限部分的體積的4倍，即。令（廣義球坐標變換）則6.閱讀【矩與質(zhì)心（重心）】 對

6、于空間中的n個質(zhì)點組成的質(zhì)點組（它們的質(zhì)量依次記為），若它們到某平面或某直線或某點的距離依次為，則稱為該質(zhì)點組對那個平面或那條直線或那個點的級矩。零級矩就是質(zhì)點組的總質(zhì)量而對平面的級矩又稱為靜矩；級矩又稱為慣性矩或轉(zhuǎn)動慣量。上述質(zhì)點組質(zhì)心（或重心）的坐標為這里用到的是質(zhì)點組對坐標平面的靜矩（1級矩），不過其中質(zhì)點的坐標不是它到相應坐標平面的距離，但它們的絕對值是它到相應坐標平面的距離。上述質(zhì)點組對坐標平面的慣性矩（即轉(zhuǎn)動慣量）依次為而對坐標軸的慣性矩（即轉(zhuǎn)動慣量）依次為還有對原點的慣性矩為以上關于質(zhì)點組的矩概念用不到積分（因為它們的分布式離散的），而要研究質(zhì)量連續(xù)分布的“矩概念”時，就要用積分替代上面的各個和數(shù)。譬如，設有某種物質(zhì)連續(xù)地分布在空間某有界閉區(qū)域上，其分布密度為，則它的質(zhì)心（重心）坐標為其中（總質(zhì)量）。而它對坐標平面的慣性矩依次為以及它對坐標軸的慣性矩依次為最后，還有它對原點的慣性矩為讀者在做有關的習題時，只要套用有關的公式就可以了。例 設有某種物質(zhì)均勻地分布在由球面與圓錐面