——大地水準(zhǔn)面的起伏和垂線偏差

1、第五章 大地水準(zhǔn)面的起伏和垂線偏差確定地面點在地球上的位置需要知道其三個坐標(biāo)通過天文觀測可以確定它的天文經(jīng)度、天文緯度兩個坐標(biāo)、通過重力測量和水準(zhǔn)測量可以確定第三個坐標(biāo)-正高；地面點的天文經(jīng)、緯度這兩個坐標(biāo)是以該點的重力矢量方向為依據(jù)的，而正高則從該點的大地水準(zhǔn)面起算。受地球內(nèi)部密度分布不規(guī)律的影響，重力矢量方向在地球中是雜亂無章的，同時大地水準(zhǔn)面也是一個不規(guī)則的曲面；地面各點的這三個可觀測坐標(biāo)是以重力矢量方向定向的局部坐標(biāo)架為根據(jù)的，它們之間難以進(jìn)行精確對比。為了克服這種局限，在大地測量中通常采用大地坐標(biāo)系；大地坐標(biāo)系是一種以中心置于地球質(zhì)心的參考橢球為依據(jù)的全球統(tǒng)一坐標(biāo)系，地面點相對參考橢

2、球的坐標(biāo)稱為它的大地坐標(biāo)，大地坐標(biāo)有三個：大地經(jīng)度、大地緯度和大地高程。三個大地坐標(biāo)不能直接觀測，它們與參考橢球的幾何參數(shù)和它在地球中的定位有關(guān)；幾何參數(shù)合適的參考橢球選定并在地球中定位后，三個大地坐標(biāo)可以通過可觀測的三個坐標(biāo)（天文經(jīng)、緯度和正高）計算出來；為此，需要知道大地水準(zhǔn)面的起伏和垂線偏差。本章給出如何根據(jù)混合重力異常計算大地水準(zhǔn)面起伏和垂線偏差的公式。5.1 自然坐標(biāo)和大地坐標(biāo)1.自然坐標(biāo)地球表面上的任一點的自然坐標(biāo)式以該點的重力方向為依據(jù)的，自然坐標(biāo)有三個，它們式：天文精度、天文緯度和正高。圖式點的地面天球，地球的旋轉(zhuǎn)軸在空間的取向是固定的，點與地球旋轉(zhuǎn)軸的平行直線與天球交點稱為點

3、地面天球的北極；過點作一條直線，沿著點重力矢量的反方向向上，它與點的地面天球相交與點，稱為點的天文天頂，平面稱為點的天文子午面；過作一平面，令與格林尼治初始子午面平行，則稱為點的初始天文子午面。點的天文緯度等于北天極在點的告訴，點的天文經(jīng)度等于點的地方恒星時與格林尼治地方恒星時的差；點的天文經(jīng)度和天文緯度這兩個天文坐標(biāo)可以通過在點的天文觀測測量出來。如圖所示，點的第三個坐標(biāo)式它的正高，它等于點沿垂線至帶地水準(zhǔn)面的距離，因為地球的重力等位面彼此間不平行，從水準(zhǔn)原點開始，通過水準(zhǔn)測量測出點至大地水準(zhǔn)面的高差與水準(zhǔn)測量的路徑有關(guān)，它不等于點的正高，即有假若在水準(zhǔn)測量的路徑上同時進(jìn)行重力測量，考慮到根

4、據(jù)（）式，有為地球在大地水準(zhǔn)面上的重力位。（）式表明，通過水準(zhǔn)路徑上同時進(jìn)行水準(zhǔn)和重力測量可以測出點的重力位與大地水準(zhǔn)面上的重力位之間的差，因而有根據(jù)（）式，點的正高為為、兩點間的平均重力。這樣，通過水準(zhǔn)測量和沿著水準(zhǔn)測量路徑上同時進(jìn)行重力測量，根據(jù)（）式可以求出點的正高。2.大地坐標(biāo)如圖所示，選擇參數(shù)合適的參考橢球，將其中心置于地球的質(zhì)心，在全球地心直角坐標(biāo)系內(nèi)，令參考橢球的極軸沿著地球的旋轉(zhuǎn)軸，位于赤道平面內(nèi)，并令子午面為參考橢球的初始子午面；以這種參考橢球為基本參考架的坐標(biāo)系稱為大地坐標(biāo)系，大地坐標(biāo)系式一種全球統(tǒng)一的地球坐標(biāo)系。地面上任一點的坐標(biāo)由它的大地緯度、大地經(jīng)度、大地高程三個大地

5、坐標(biāo)給出。用表示點沿該點正常重力方向在參考橢球面上的投影，則稱為點的大地高程，而過點的參考橢球面法線，即該點的正常重力方向與赤道平面的夾角稱為點的大地緯度，過點的子午面與初始子午面的夾角稱為點的大地經(jīng)度，地面點的這三個大地坐標(biāo)不能直接觀測出來，它們與參考橢球的參數(shù)有關(guān)；當(dāng)參考橢球的參數(shù)選定并在地球內(nèi)部定位后，地面點的大地高程、大地經(jīng)度和大地緯度，可以根據(jù)可直接觀測的地面點的正高、天文經(jīng)度、天文緯度計算出來。5.2 擾動位，大地水準(zhǔn)面的高度和垂線偏差地面上某點重力矢量方向與該點正常重力方向之間的夾角稱為該點的垂線偏差；地球在空間任一點的重力位與正常場地球模型在該點產(chǎn)生的重力位的差稱為地球在該點的

6、擾動位，即地球與正常場地球模型的密度分布上的差異一方面產(chǎn)生擾動位，另一方面使得大地水準(zhǔn)面相對參考橢球面發(fā)生起伏，同時產(chǎn)生垂線偏差。這樣，擾動位、大地水準(zhǔn)面的起伏、垂線偏差都來源于地球與正常場地球模型內(nèi)部密度的分布不同。如圖所示，根據(jù)大地高程的定義，點的大地高程等于點的正高和點至參考橢球面的距離的和，即點至大地水準(zhǔn)面的高度與點的擾動位有關(guān)；事實上，大地水準(zhǔn)面上點的擾動位等于大地水準(zhǔn)面上的重力位等于正常重力位，即，考慮到位于旋轉(zhuǎn)橢球面上，因而有將上式代入（）式，有（）式表明，大地水準(zhǔn)面上點的擾動位實際上等于、兩點的正常重力位的差；根據(jù)（）式，至參考橢球面的距離為其中為的正常重力，（）式稱為布隆斯（

7、Brunes）公式。如圖所示，由于擾動位的存在，大地水準(zhǔn)面上的重力矢量與正常重力矢量不重合，大地水準(zhǔn)面上點重力矢量與正常重力矢量之間的夾角稱為點的垂線偏差，即垂線偏差是一個矢量，它有偏差方向和大小。用、分別表示它的南北分量和東西分量，并約定地球的重力矢量的方向在正常重力矢量方向的西南方時，即當(dāng)點的天文天頂在它的大地天頂東北時，出現(xiàn)偏差的南北分量和東西分量為正。圖為點的地面天球，為它的北天極，、分別為它的天文天頂和大地天頂，則點的垂線偏差等于。考慮到天文緯度、大地緯度分別等于天文天頂和大地天頂?shù)教斐嗟赖木嚯x，并且天文經(jīng)度、大地經(jīng)度分別為點的天文子午圈、大地子午圈與初始子午圈的繳交，根據(jù)球面三角形

8、，有如圖所示，用表示地面上點在大地水準(zhǔn)面上的投影，為原點選在點的局部直角坐標(biāo)系，軸垂直向下沿著點的正常重力方向，沿著點的大地子午圈向北，向東；根據(jù)擾動位的定義（）式，點的重力位等于正常點的正常重力位與地球的擾動位的和，在所選定局部直角坐標(biāo)系內(nèi)，點的重力矢量為考慮到因而有根據(jù)垂線偏差矢量的定義（）式以及（）式，有其中，為點垂線偏差的南北分量向南為正，為點垂線偏差的東西分量向西為正。5.3 混合重力異常如圖所示，地面上任一點的重力值可以觀測出來，通過適當(dāng)?shù)膿Q算，可以根據(jù)地面點的重力觀測值計算出與其點相對應(yīng)的大地水準(zhǔn)面上點的重力，假定為過點的正常重力矢量方向，為與參考橢球面的交點，則點的重力與點的正

9、常重力之差稱為的混合重力異常，即點的正常重力可以根據(jù)正常重力公式計算出來，因而原則上可以認(rèn)為大地水準(zhǔn)面上的混合重力異常式已知的。考慮到其中為點重力矢量方向，為點的正常重力矢量方向。與、之間的夾角約為參考橢球的扁率量級，準(zhǔn)確至參考橢球扁率量級，可以把（）式寫成：將（）式代入混合重力異常表達(dá)式（）式，得根據(jù)（）式以及（）式，準(zhǔn)確至參考橢球扁率量級其中為參考橢球的平均半徑。將（）式代入（）式，并將其寫成：（）式、（）式給出了大地水準(zhǔn)面的高度、垂線偏差與擾動位的關(guān)系，所以若能根據(jù)大地水準(zhǔn)而上的已知的混合重力異常計算出擾動位、則能根據(jù)上述二式計算出大地水準(zhǔn)面的高度和垂線偏差。正常場地球模型的極軸與地球的

10、旋轉(zhuǎn)軸重合，并且它們的旋轉(zhuǎn)角速度也相同、因而地球的離心力位與正常場地球模型的離心力位相同。所以地球的擾動位等于地球的引力位和正常場地球模型的引力位的差，因此擾動促在大地水準(zhǔn)面上及其外部空間滿足拉普拉斯方程。要想根據(jù)在大地水準(zhǔn)面上給定的混合重力異常計算出擾動位，問題就歸結(jié)為解擾動位的拉普拉斯方程，使其滿足給定的邊界條件（）式，即5.4 大地水準(zhǔn)面的高度，斯托克斯公式為了便于計算，斯托克斯對（）式中的邊界做了簡化，把大地水準(zhǔn)面邊界簡化為半徑等于地球平均半徑的球面，這樣，（）式變?yōu)槠渲校瑸榘霃降扔诘那蛎妫藭r，由于這種邊界條件的簡化，解滿足（）式求得的擾動位，其誤差約為地球扁率的量級。將半徑為的球面

11、上的擾動位展成球面函數(shù)，有其中為階球面函數(shù)，因為地球的質(zhì)量等于正常場地球模型的質(zhì)量，并且坐標(biāo)原點選在地球的質(zhì)心，所以（）式中從2開始，根據(jù)（）式，地球外的擾動位為將（）式代入（）式中的邊界條件，得將球面上給定的混合重力異常展成球面函數(shù)，根據(jù)（）式，有將（）式代入（）式，得將（）式代入（）式，得用表示稱為廣義斯托克斯函數(shù)。將（）式代入（）式，得如圖所示，令，根據(jù)勒讓德多項式的生成函數(shù)（）式，有將廣義斯托克斯函數(shù)（）式寫成根據(jù)（）式，有而根據(jù)（）式，有考慮到將（）式代入（）式右側(cè)的積分，得考慮到將上式代入（）式，得將（）式、（）式代入（）式，得出廣義斯托克斯函數(shù)，它等于當(dāng)，即當(dāng)時，在半徑為的球面上

12、，有考慮到當(dāng)時，有將（）式代入（）式，得出球面上的斯托克斯函數(shù)，即球面上的斯托克斯函數(shù)的數(shù)值如表所示。將（）式代入（）式，得出根據(jù)球面上混合重力異常計算球面上的擾動位的關(guān)系式，即將（）式代入布隆斯公式（）式，得出根據(jù)球面上的混合重力異常求大地水準(zhǔn)面高度的公式，即為地球的平均正常重力，（）式稱為計算大地水準(zhǔn)面高度的斯托克斯公式。該式表明，球面上任一點的大地水準(zhǔn)面的高度等于全球面上的混合重力異常與斯托克斯函數(shù)乘積在全球面上的積分，也就是說，要想根據(jù)斯托克斯公式（）計算球面上任一點大地水準(zhǔn)面的高度，需要知道全球面上的混合重力異常。5.5 溫寧.曼乃茲（Vening Meinesz）垂線偏差公式根據(jù)大地水準(zhǔn)面上任一點的垂線偏差南北分量和東西分量與擾動位之間的關(guān)系式（）式，有其中，為地球的平均重力，、為以為坐標(biāo)原點的局部直角坐標(biāo)系的兩個水平坐標(biāo)，軸垂直向下沿著點的正常重力方向，軸向北，軸向東，在根據(jù)混合重力異常計算擾動位時，為了便于計算，把邊界簡化為半徑為的球面，在按照（）式計算垂線