一元二次方程及其解法

1、第2課時(shí) 一元二次方程及其解法一·基本概念理解1 一元二次方程的定義： 含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左邊加一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。2、一元二次方程的解法 （1）、直接開(kāi)平方法:利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。直接開(kāi)平方法適用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。（2）、配方法: 配方法的理論根據(jù)是完全平方公

2、式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。 配方法的步驟：先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，再同時(shí)加上1次項(xiàng)的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式：公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項(xiàng)的系數(shù)為，一次項(xiàng)的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為（4）、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公

3、式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式（5） 、韋達(dá)定理若，是一元二次方程的一般形式：的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，。以上的就稱為韋達(dá)定理（或稱為根與系數(shù)的關(guān)系）利用韋達(dá)定理去了解，韋達(dá)定理就是在一元二次方程中，二根之和=，二根之積=也可以表示為,。利用韋達(dá)定理，可以求出一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很常用3、一元二次方程根的判別式 根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即 I 當(dāng)>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； II 當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根； III 當(dāng)<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根4、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 如

4、果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。5、一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程寫(xiě)成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。 直接開(kāi)平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬(wàn)能法），在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算根的判別式的值，以便判斷方程是否有解。 配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二

5、次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法）。二例題講解：例1：解一元二次方程（1） （2） （3）【例題解析】：（1）可以利用直接開(kāi)方法或利用因式分解法或公式法；（2）可以利用配方法或公式法或因式分解法；（3）可以利用配方法或公式法或因式分解法。解：（1）a直接開(kāi)方法： b因式分解法：（2） a配方法：解： b公式法 ：使用該方法首先要將方程轉(zhuǎn)化為，再準(zhǔn)確找出該一元二次方程中的的值是做對(duì)該題的重要前提和保證。由題可知：所以 （3） 方法一：（配

6、方法） 方法二：（公式法）由題可知： 所以：方法三：（因式分解） 注：在求一元二次方程的根之前，首先要將方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再對(duì)它的的取值情況進(jìn)行判定；最后再對(duì)求根的方法進(jìn)行選取，如配方，公式，還是因式分解法，特別是配方法的知識(shí)基礎(chǔ)是建立在完全平方公式：之上的。例2：用直接開(kāi)方法解一元二次方程（1） (2) (3) (4) 解析：（1）由題可知：（2） 由題可知：（3） 由題可知：（4）由題可知：注：求一元二次不等式的根方法中，直接開(kāi)方法是最基礎(chǔ)的方法?！揪氁痪殹浚河弥苯娱_(kāi)平方法解下列一元二次方程。（1） （2） （3） （4）例3：用配方法解一元二次方程（1） （2）（3） （4）解析：（1

7、）由題可知：（2） 由題可知： （3） 由題可知：（4） 由題可知：注解：配方法的知識(shí)基礎(chǔ)是建立在完全平方公式：之上的。【練一練】：用配方法解下列一元二次方程。1、. 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、例4：用公式法解一元二次方程（1） （2）（3） （4）解析（1）由題可知： 所以：（2）由題可知： 所以：（3）由題可知： 所以：（4）由題可知： 所以：注解：使用公式法求一元二次方程的根，要將方程轉(zhuǎn)化為的形式，再準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)的的值?！揪氁痪殹坑霉浇夥ń庀铝蟹匠獭?、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、例5：用因式分解法解一元二次方程（1） （2）（3） （4）解析：多項(xiàng)式因式分

8、解的一般步驟：先考慮能否提公因式，再考慮能否運(yùn)用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法對(duì)于一個(gè)還能繼續(xù)分解的多項(xiàng)式因式仍然用這一步驟反復(fù)進(jìn)行以上步驟可用口訣概括如下：“首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復(fù)試，結(jié)果應(yīng)是乘積式”對(duì)于用因式分解法求一元二次方程根的問(wèn)題，首先將方程轉(zhuǎn)化為或的形式，第一種形式再考慮用因式分解中十字相乘法，第二種形式就只需提取公因數(shù)（式）即可。（1）由題可知： 所以以后做得非常熟練之后，其解答過(guò)程可直接寫(xiě)成：從而方程的根就為（2）由題可知 所以（3）由題可知：該題符合的形式，則只需提取公因式即可，故 所以方程的根為（4）由題可知：首先將方程轉(zhuǎn)化為 所以注解：要使用因式分解法求一元二次方程的根，首先將方程轉(zhuǎn)化為或的形式，第一種形式再考慮用因式分解中十字相乘法，第二種形式就只需提取公因數(shù)（式）即可?！揪氁痪殹坑靡蚴椒纸夥ń庀铝幸辉畏匠獭?、 2、3、 4、5、 6、7、 8、 9、 10、第1練 一元二次方程及其解法用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠獭?、 2、 3、 4、 5、 6、7、 8、 9、10、 11、 12、13、 14、 15、16