一元線性回歸的估計(jì)

1、第三章 雙變量回歸的估計(jì)我們?cè)诘诙乱褜?dǎo)出PRL和SPL，回歸分析的目的是運(yùn)用樣本估計(jì)樣本回歸直線SRL，使之能最大限度“逼近”于PRL.即對(duì)于總體回歸直線-PRL,即 （3.1）利用樣本形成樣本回歸直線（SRL），由此而提出的問(wèn)題是，在什么假定下，運(yùn)用何種方法形成SRL，使SRL盡可能逼近PRL（3.1）？由于是對(duì)總體回歸直線的偏差，自然地希望基于u來(lái)實(shí)現(xiàn)這一目的.由于ui的估計(jì)度量了樣本點(diǎn)Yi到樣本回歸直線的距離(誤差或偏差),且成為ui的主部,因此基于總體誤差ui就轉(zhuǎn)化于基于樣本誤差。如果直接使最小，但單個(gè)的可能有正有負(fù)，有大有小，從而導(dǎo)致部分較大但其代數(shù)和卻較小，這樣產(chǎn)生的參數(shù)估計(jì)和對(duì)

2、應(yīng)的樣本回歸直線就可能沒(méi)有最大可能逼近PRL的性質(zhì)。類似地，可討論對(duì)求最小所產(chǎn)生的問(wèn)題。為回避這一類問(wèn)題，通過(guò)對(duì)求最小所產(chǎn)生的參數(shù)估計(jì)及其SPL，才可能盡可能逼近PRL，由此形成樣本回歸直線的估計(jì)，即（3.2）這一種方法稱為最小二乘法（OLS）?，F(xiàn)在， 我們有總體回歸直線 Yi=E(Yi/X=Xi)+ui=b1+b2Xi+ui樣本回歸直線（為方便，有時(shí)亦記作bi）為bi的估計(jì), (為方便，有時(shí)亦記作ei)稱為殘差,可看作ui的估計(jì), 為E(Yi/X=Xi)的估計(jì),為方便和出于殘差的均值為0,即為Yi的估計(jì).3.1.OLS 回歸分析的目的是運(yùn)用樣本數(shù)據(jù)，求出待估參數(shù),為此將殘差平方和表述為待估參

3、的函數(shù)并求最小，由此求出參數(shù)估計(jì)，這一過(guò)程為OLS，實(shí)質(zhì)上是最優(yōu)化問(wèn)題，故這一求解問(wèn)題可表述為（3.3）（3.3）表明，殘差平方和為待估參數(shù)的函數(shù)，因此對(duì)其求最小，能解出這些參數(shù)。我們從代數(shù)或統(tǒng)計(jì)中已學(xué)習(xí)，求（3.3）即是對(duì)其求偏導(dǎo)并令為0，即有由此得到(3.4)(3.5)聯(lián)立上述兩個(gè)方程(記)，求解有（3.6）（3.6）中，分別為樣本的均值，所以為對(duì)樣本均值的離差，度量第個(gè)觀測(cè)值和對(duì)其均值的偏離。上述推導(dǎo)中，N為樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)或樣本長(zhǎng)度，為方便，以后以小寫的表示。將(3.6) 代入(3.4)中,有 (3.7)對(duì)于(3.6)和 (3.7)所得到的樣本回歸直線的參數(shù)估計(jì),由此得到OLS樣本回歸直線對(duì)

4、于上一章的例子和樣本1, 運(yùn)用OLS所得到的SRL如下圖,SRL具有性質(zhì):1.參數(shù)估計(jì)由樣本信息所形成; 2.這二個(gè)估計(jì)稱為點(diǎn)估計(jì)(稍后將討論區(qū)間估計(jì)),即給定一組樣本,可得到相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)值,它們是對(duì)于總體參數(shù)(bi)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì),不同的樣本,得到的估計(jì)可能不完全相同,不同的樣本所得到的估計(jì),均是對(duì)總體的一個(gè)點(diǎn)估計(jì);3. 由樣本得到參數(shù)估計(jì)即得到了SRL,樣本回歸直線具有性質(zhì):（1）. SRL通過(guò)樣本均值點(diǎn)()(由,即樣本均值滿足樣本回歸直線,所以通過(guò)樣本均值點(diǎn)),如圖. 圖3.1 樣本回歸直線（2）.的均值等于樣本均值，即 （3.9）這一性質(zhì)是指，回歸直線上的點(diǎn)的均值等于樣本均值。證明：由

5、 故 所以 (3) 殘差的均值為0，即證明：由（3.4）利用上述性質(zhì)1，2，3，SRL可以表述為離差形式。對(duì)于最后一步是將樣本點(diǎn)表示（3.2） （3.2）減去所得到的的結(jié)果。這樣（3.10）即為樣本離差形式 即，所以（3.10）為 （3.11）于是，SRL可寫為 （3.12）（3.12）實(shí)際上是將原有含截踞不過(guò)原點(diǎn)的直線平移至過(guò)以為原點(diǎn)的直線。（4）殘差與預(yù)測(cè)或估計(jì)的Y不相關(guān)，這一性質(zhì)需證明。對(duì)于相關(guān)的概念，我們這里暫不從數(shù)學(xué)上說(shuō)明，只是理解不相關(guān)的含義為，兩個(gè)變量沒(méi)有線性關(guān)系，相關(guān)的嚴(yán)格定義在以后給出。我們這里說(shuō)與不相關(guān)，等價(jià)于與不相關(guān)。這是因?yàn)樽C明：（5）. 與不相關(guān)，即，它等價(jià)于。因?yàn)檫@

6、一性質(zhì)由(3.5)給出.3.2.OLS的基本假定以上我們僅得到了估計(jì)以及相應(yīng)的樣本回歸直線，盡管從估計(jì)的角度看，運(yùn)用OLS已經(jīng)能求出參數(shù)的估計(jì)。但沒(méi)有對(duì)殘差的分布和變量X作出任何假定，因此我們無(wú)法對(duì)這種估計(jì)或SRL作出評(píng)價(jià)和推斷，而回歸分析的目的不僅要求出參數(shù)的估計(jì)，還需對(duì)總體作出推斷，即對(duì)于PRL通過(guò)上述OLS方法，得到了SRL問(wèn)題：SRL是否為PRL的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)？如何定義無(wú)偏？這一問(wèn)題歸結(jié)為估計(jì)量在期望的意義下是否與總體參數(shù)有偏差？也就是說(shuō)，從SRL能否推斷PRL的真值？解決這一問(wèn)題的途徑是對(duì)總體的殘差作出分布假定，然后討論估計(jì)量的分布性質(zhì)，基于此討論估計(jì)量是否有偏等一系列問(wèn)題。另一方面

7、，從PRL可知，Y 依賴于X和擾動(dòng)，只有對(duì)X和擾動(dòng)作出相應(yīng)的假定，才可能對(duì)Y 和參數(shù)作出統(tǒng)計(jì)推斷，亦即對(duì)模型作出評(píng)價(jià)。經(jīng)典線性回歸模型（CLRM）或稱為高斯或標(biāo)準(zhǔn)直線回歸模型具有10大假設(shè)，構(gòu)成了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論基礎(chǔ)。在這10大假設(shè)下，SRL具有對(duì)總體無(wú)偏等性質(zhì)。這些假定有下述10條。1. 線性回歸模型，即模型對(duì)參數(shù)而言是線性的。這一假定強(qiáng)調(diào)的是對(duì)參數(shù)，而不是變量。如 Yb1+b2X+uYb1+b2X1+b3X2+u為線性模型(對(duì)參數(shù)而言),但 Yb1+b2X1+b1b2X2+u對(duì)參數(shù)而言就是非直線模型,如果設(shè)定這樣的非直線模型,則違反了性線回歸模型的假設(shè).2. 在重復(fù)抽樣中X是固定的，或X是非

8、隨機(jī)的。這一假定難以理解，對(duì)于表2.1所假定的總體，對(duì)于X80，隨機(jī)抽取一個(gè)家庭，其Y70，直至X=260,隨機(jī)抽取Y=150, 在第二次抽樣時(shí)，仍將X固定在X80，再次抽取一個(gè)樣本Y55，直至X=260,隨機(jī)抽取Y=175.這種重復(fù)抽樣的過(guò)程是將X固定在X80直至X=260.在重復(fù)抽樣過(guò)程中，將X固定或不變，從這個(gè)意義上說(shuō)，X是非隨機(jī)的,X固定后，隨機(jī)抽取相應(yīng)的Y。3. 干擾項(xiàng)或隨機(jī)項(xiàng)的均值為0，即這一假定是對(duì)于固定的X，如X80，指偏離總體條件均值的和為0，無(wú)論個(gè)別的偏差有多大（?。?，是正還是負(fù)，其和為0.回到表2.1，X80，總體為5戶家庭，Y的均值為65，第一個(gè)家庭的Y為55，偏差為1

9、0，第二個(gè)為60，偏差為5，等等，這些偏差相加應(yīng)為0，也就是說(shuō)，正和負(fù)的偏差相互抵消。圖3.3P49所示。由上述性質(zhì)2和3，回歸分析是建立在條件回歸的基礎(chǔ)上。4. 隨機(jī)項(xiàng)的同方差或擾動(dòng)的方差相同。即由P50的圖3.4所示. 圖3.2.擾動(dòng)(以及Yi)的同方差與之不同的是異方差，如下圖所示. 圖3.3.擾動(dòng)(以及Yi)的異方差這是因?yàn)橛杉俣?即擾動(dòng)的均值為0，5.擾動(dòng)之間無(wú)（自）相關(guān)。即給定任意的X 的兩個(gè)值，對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)沒(méi)有自相關(guān)?；谙嚓P(guān)和協(xié)方差的定義，不相關(guān)與協(xié)方差為0等價(jià)。即其中的記號(hào)cov表示協(xié)方差?；氐嚼?.1，如X80和X100兩個(gè)不同的水平，與總體均值的偏差不相關(guān)。協(xié)方差正是針對(duì)不

10、同水平之間而定義的。這一性質(zhì)所強(qiáng)調(diào)的是，所有的與總體均值的偏差（誤差）之間不相關(guān)，而不僅僅是對(duì)給定某一水平（如X80）之下的誤差而言。與之不同的是殘差的相關(guān)，即殘差之間具有某種變化的規(guī)則.對(duì)這種相關(guān)性，目前只能作直觀的解釋。我們?cè)诜治霰?.1所示的總體中，如果與正相關(guān)，總體函數(shù)為，不僅依賴于，也依賴于，而依賴于。6.擾動(dòng)與X不相關(guān)，或它們之間的協(xié)方差為0。即： 這一假定的表示中，非隨機(jī)是因?yàn)樗呀?jīng)是一個(gè)數(shù)。7.觀測(cè)次數(shù)或樣本的長(zhǎng)度大于待估參數(shù)的個(gè)數(shù)。8.X值要有變異性，即對(duì)于一個(gè)給定的樣本，X的值不能全部相同，也就是說(shuō)，X的方差必須是一個(gè)有限的正數(shù)。反之，若X在一個(gè)樣本中取相同的值(無(wú)變異性)

11、，方差就為0, 無(wú)法估計(jì)參數(shù)。9.正確設(shè)定了模型，或者說(shuō)，所用的模型不存在設(shè)定誤差。所謂設(shè)定問(wèn)題，在本書中包括：（1）模型應(yīng)包括哪些變量，（2）模型的函數(shù)形式（如線性還是非線性），（3）對(duì)模型的變量和擾動(dòng)應(yīng)有哪些假定等。以后我們還應(yīng)看到，設(shè)定問(wèn)題還有更多的內(nèi)容。所謂設(shè)定誤差即是指，當(dāng)模型應(yīng)包括但沒(méi)有包括某一個(gè)變量而引起的誤差;當(dāng)模型應(yīng)為線性而將其設(shè)定為非線性（或反之）而引起的誤差等.以線性和非線性菲氏曲線為例，菲氏曲線理論所陳述的是,貨幣工資變化率(或通脹率)與失業(yè)率彼此消長(zhǎng)的關(guān)系, 即 Yi=b1+b2(1/Xi)+Ui若將菲氏典線模型設(shè)定為Yi=b1+b2Xi+Ui則Yi=b1+b2Xi+

12、Ui具有設(shè)定錯(cuò)誤,或不當(dāng)設(shè)定.以上的假定就是全部關(guān)于經(jīng)典線性回歸（CLR）的假定，這些假定是對(duì)總體作出的假設(shè)，不是對(duì)樣本回歸函數(shù)的假定。但是，OLS的一些性質(zhì)，與上述某些假定類似。如OLS的均值為0與擾動(dòng)均值為0相似，即與與但是一個(gè)是對(duì)樣本，另一個(gè)是對(duì)總體。我們特別說(shuō)明，這些假定并不一定全部成立，但在這些假定之下，所得到的回歸和SPL，為以后的分析建立了一個(gè)框架，或鏡子，違反這些假定的任何一條，將得不到這些假定之下的估計(jì)量的性質(zhì)。因此，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)正是對(duì)這些假定的逐步取消或在某些假定之下能導(dǎo)出仍然有效的估計(jì)或統(tǒng)計(jì)推斷而不斷將研究的問(wèn)題深入和逼近現(xiàn)實(shí)。10.解釋變量之間沒(méi)有完全的共線關(guān)系?；貞浘€性

13、代數(shù)中關(guān)于共線的定義, 對(duì)于向量X和Z, 若存在常數(shù)d1和d2,使得對(duì)于d1X+ d2Z=0,有X= (d1/ d2)Z, 稱X和Z共線.在計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中, 對(duì)于模型 Y=b1+b2X+b3Z+u若X和Z的樣本,使得X= (d1/ d2)Z, 即稱它們完全共線,我們以后將會(huì)看到,在這種情況下,OLS將無(wú)法估計(jì)模型.3.3.OLS的精度：標(biāo)準(zhǔn)差我們?cè)谇懊嬗嘘P(guān)異方差的討論中已說(shuō)明，方差越小，與總體的偏離就越小，對(duì)這一問(wèn)題的正式分析即為標(biāo)準(zhǔn)差。從OLS可知，估計(jì)量均為樣本數(shù)據(jù)的函數(shù)，如何評(píng)價(jià)估計(jì)量的可信度或精度？工具就是所謂標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于樣本回歸直線其參數(shù)估計(jì)為，其方差定義為標(biāo)準(zhǔn)差定義為 （3.12）

14、同理，有， （3.13）以上的參數(shù)估計(jì)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都含總體擾動(dòng)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，而總體擾動(dòng)一般是不可觀測(cè)的，即總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差是未知的，故需要用樣本予以估計(jì)，我們以下予以推導(dǎo)。從若定義 （3.14）所以定義則它是總體方差的無(wú)偏估計(jì)。進(jìn)一步，標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)即為方差估計(jì)開(kāi)平方。即總體的估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 （3.15）這一估計(jì)量所度量的是，樣本Y 對(duì)估計(jì)的回歸直線的離差的平方的標(biāo)準(zhǔn)差。注意的是，所度量的是，所有的Y與總體直線的偏差的平方，而僅是它的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)，度量的是與估計(jì)的直線即樣本回歸直線的偏差的平方。圖示。觀測(cè)值與總體直線和回歸直線的偏差。對(duì)于上述所估計(jì)的參數(shù)的方差即（3.12）和（3.13），

15、有如下特點(diǎn)：（1） 由可知其特點(diǎn)，即它與正比，與反比，因此，對(duì)于給定的，度量X值變化的越大，越小，說(shuō)明的估計(jì)越精確，因此我們假定X要有變異性。另一方面，隨著樣本長(zhǎng)度增加，變大（相對(duì)于小樣本而言），從而使估計(jì)越精確。同理分析的方差。（2） 是樣本估計(jì)量，故不同的樣本所得到的估計(jì)不一定相同，對(duì)于同一樣本，它們還可能是相互依賴的，或是相關(guān)的。這種相互依賴性由它們之間的協(xié)方差所度量，可推證其協(xié)方差為 （3.16）如何利用估計(jì)量的方差來(lái)評(píng)價(jià)這些估計(jì)量的可靠性，這即是統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題。3.4. OLS估計(jì)量的性質(zhì)：高斯馬爾可夫定理在給定上述假定條件，由OLS所得到的估計(jì)量所具有的性質(zhì)：1. 估計(jì)量關(guān)于Yi是線

16、性的。即是關(guān)于的線性組合，由于為隨機(jī)變量的一個(gè)樣本，所以估計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量。作為例子，2. 估計(jì)量是無(wú)偏的，即。例子3. 在所有線性無(wú)偏估計(jì)量中具有最小方差(具有最小方差的估計(jì)量稱為有效估計(jì)量).高斯馬爾可夫定理：在給定經(jīng)典線性回歸模型的假定下，OLS 估計(jì)量，在無(wú)偏線性估計(jì)量中，具有最小方差，即OLS估計(jì)量是最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量（BLUE）.注意：有效估計(jì)量強(qiáng)調(diào)最小方差，即對(duì)所有線性和非線性估計(jì)量，只要是最小方差，就稱為有效估計(jì)量。一般而言，這一定義對(duì)于大樣本而定義的。而B(niǎo)LUE是定義在所有線性估計(jì)量中，方差最小的估計(jì)量稱為BLUE。也就是說(shuō)，對(duì)于其它任何線性無(wú)偏估計(jì)量，的方差均比它們的方

17、差小。因此，證明BLUE的方法是假定有一個(gè)線性無(wú)偏估計(jì)，需證明由于的任意性，即具有最小方差。如圖P59所示，由于和均為線性無(wú)偏，所以它們的分布圖都對(duì)稱于真值，即，但由于，故的分布圖比的分布圖更集中于總體。3.5.判定系數(shù)：擬合優(yōu)度的一個(gè)度量1.以上所討論的是關(guān)于估計(jì)量的性質(zhì)，即線性無(wú)偏且方差最小,因此,樣本回歸直線是總體的一個(gè)無(wú)偏且具有高精度(方差最小)的估計(jì),但由于總體一般是未知的,所以以下的分析針對(duì)樣本回歸直線。但對(duì)于所謂盡可能逼近還沒(méi)有正式定義和度量，所謂盡可能逼近，其定義和度量之一是，圍繞樣本回歸直線的偏差（殘差）盡可能小，即樣本數(shù)據(jù)盡可能擬合SRL，度量這種擬合程度即為判定系數(shù)，或擬

18、合優(yōu)度，記為?；趯?duì)SRL的殘差盡可能小，我們以下導(dǎo)出擬合優(yōu)度的公式。 由 （3.17）在（3.17）中，定義 （3.18）（3.18）所度量的是所有觀測(cè)值（樣本點(diǎn)）與其均值（或總體均值，因?yàn)椋┑目傋儺悾ǎ?，故稱為總變異或總平方和，記為TSS。而解釋平方和ESS定義為 （3.19）由于在ESS中，表示回歸直線上的點(diǎn)與樣本均值（等于總體均值）的總離差，因此它度量了回歸直線與總體均值的“逼近”程度，故稱為解釋平方和，或由回歸解釋的平方和，即在TSS（總變異）中，由回歸所解釋的變異。而殘差平方和RSS定義為 （3.20）這一項(xiàng)稱為殘差平方和。這樣TSS就分解為 TSSESSRSS （3.21）其意義

19、如上所述，圖示如P61圖3.10. 圖3.3. Yi的總離差分解圖對(duì)（3.20），有 1ESS/TSSRSS/TSS 擬合優(yōu)度的定義即是在總變異中，由回歸所產(chǎn)生的變異占的比重 （3.22）顯然，有，經(jīng)簡(jiǎn)單推導(dǎo),可表示為進(jìn)一步, 將TSS=ESS+RSS 用r2表示,有圖示：用園表示變異, r2的大小可直觀表示為下圖.3.相關(guān)系數(shù)X和Y的相關(guān)系數(shù)，度量這兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度，這是與擬合優(yōu)度相關(guān)但不相同的一個(gè)概念。定義： X和Y之間的相關(guān)系數(shù)，定義為 （3.22）這一相關(guān)系數(shù)稱為樣本相關(guān)系數(shù)。我們前面所講的擬合優(yōu)度的意義是X的變異對(duì)Y的變異的解釋程度, 即 r2=ESS/TSS但相關(guān)系數(shù)r所

20、度量的是線性相關(guān)程度, 盡管它們之間的關(guān)系為相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)： 1 ; 2.對(duì)稱性,即X與Y之間的相關(guān)系數(shù)等于Y與X之間的相關(guān)系數(shù),rXY=rYX; 3.相關(guān)系數(shù)與原點(diǎn)和尺度無(wú)關(guān), 即其中 X*=aX+c, Y*=bY+d, a>0,b>0,a,b,c,d為常數(shù); 4. X與Y獨(dú)立,則它們之間的相關(guān)系數(shù)為0,反之, 不相關(guān)，即相關(guān)系數(shù)r=0不等于它們獨(dú)立;5. 相關(guān)系數(shù)r僅是線性相關(guān)(或線性相依)的一個(gè)度量, 不能用于度量非線性,如X與Y 之間有非線性關(guān)系Y=X2, 即X與Y沒(méi)有線性相關(guān),故相關(guān)系數(shù)r=0; 7.相關(guān)系數(shù)r不能度量X 的變異解釋Y的變異的程度.P64圖3.11所示的

21、是正負(fù)相關(guān)和不相關(guān)的圖解, 當(dāng)X的變化與Y的變化成比例，X與Y有正或負(fù)相關(guān)，而當(dāng)X與Y呈現(xiàn)出近似的比例變化，r接近于1或1，而r0表明X與Y之間沒(méi)有線性相關(guān)而是具有確定的非線性的函數(shù)關(guān)系。 3.6.數(shù)值例子。 關(guān)鍵概念，MPC，估計(jì)， 注意從表3.2中讀取數(shù)據(jù)Xi和Yi后計(jì)算xi=Xi,yi=和x2i, xiyi(i=1,2,10)等數(shù)據(jù), 按定義計(jì)算計(jì)算和進(jìn)一步,計(jì)算參數(shù)估計(jì)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差:再計(jì)算TSS,ESS和RSS和擬合優(yōu)度基于以上的計(jì)算所得到的回歸直線為其樣本表示為圖形為: 對(duì)于以上的計(jì)算(估計(jì))結(jié)果的解釋: 1. 樣本回歸直線是總體回歸直線的一個(gè)估計(jì),即對(duì)于任一X(如X=100),

22、從樣本回歸直線上可找到相應(yīng)的點(diǎn)YX=100=24.4545+0.5091*100=75.46 它是總體E(Y/X=100)的估計(jì),一般地,為E(Y/X=Xi)估計(jì), 由于E(Y/X=Xi)為條件均值,所以為Y的期望(均值)的估計(jì); 2.表示在X=80至260這樣的極差變化的范圍內(nèi),周收入X每增加一美元,將使每周消費(fèi)增加0.51美元,即MPC=0.51, 3.可機(jī)械地解釋為當(dāng)收入為0時(shí),每周消費(fèi)平均需24.4545,由于X的值不包括0, 故上述解釋是強(qiáng)行令X=0,故這種解釋是機(jī)械地解釋.另一種解釋是,模型僅包括收入變量,故截距的估計(jì)可解釋為沒(méi)有包括在模型中的變量對(duì)消費(fèi)的平均影響.4. 擬合優(yōu)度為

23、0.9621, 表明樣本回歸直線對(duì)數(shù)據(jù)擬合的程度很高,從圖形看,樣本數(shù)據(jù)Yi沒(méi)有偏離樣本回歸直線較遠(yuǎn),且有兩個(gè)點(diǎn)落在直線上,說(shuō)明每周消費(fèi)的變異約有96%被X所解釋。3.7 例子例1.美國(guó)咖啡需求：替代品與模型設(shè)定，即咖啡的替代品（水，茶等）可能對(duì)咖啡需求產(chǎn)生影響，如考慮替代品的影響，需用多元模型。我們這里用二元模型研究需求與價(jià)格的關(guān)系（可能導(dǎo)致模型設(shè)定偏差），作為例子，用每人每日杯數(shù)和每杯價(jià)格分別作為應(yīng)變量和解釋變量，故模型為Yi=b1+b2Xi+ui例2.消費(fèi)函數(shù)與關(guān)于總體和樣本的例子不同,本例研究總量個(gè)人消費(fèi)支出(PCE,記為Y)與GDP(度量總量收入,記為X)的關(guān)系,基于消費(fèi)理論,有Yi

24、=b1+b2Xi+ui運(yùn)用EVIEWS, 第一步,輸入數(shù)據(jù); 第二步, 根據(jù)所設(shè)定的模型進(jìn)行估計(jì), 命令: LS Y C X, 產(chǎn)生回歸結(jié)果; 第三步, 報(bào)告和分析回歸結(jié)果. 數(shù)據(jù)如圖回歸: LS Y C XDependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 09/05/04 Time: 18:31Sample: 1980 1991Included observations: 12VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C-231.79510357694.5275-2.45210.03413X0.0

25、217433.07801.5051e-11R-squared0.99094334525 Mean dependent var2880.6Adjusted R-squared0.990037679775 S.D. dependent var314.4417S.E. of regression31.3848778159 Akaike info criterion9.8815Sum squared resid9850.10555522 Schwarz criterion9.96235897529Log likelihood-57.289247202 F-statistic1094.16045179D

26、urbin-Watson stat1.28418254948 Prob(F-statistic)1.50516803291e-11基于以上的回歸結(jié)果,有3.8.要點(diǎn)：1.CLRM，方差標(biāo)準(zhǔn)差及其估計(jì)性質(zhì)，無(wú)偏估計(jì)，最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)，評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)對(duì)模型的擬合優(yōu)度，BLUM的假定與估計(jì)性質(zhì)，2.概念：方差與變異，自由度，相關(guān)系數(shù)，獨(dú)立。第四章 正態(tài)性假定: 經(jīng)典正態(tài)線性回歸模型在前面的分析中,我們對(duì)擾動(dòng)作出了一系列假定,但沒(méi)有假定分布,相應(yīng)地,對(duì)估計(jì)量也就沒(méi)有討論分布問(wèn)題, 因此,我們也無(wú)法對(duì)估計(jì)量進(jìn)行推斷.本章將繼續(xù)討論推斷這一問(wèn)題.對(duì)于模型 （4.1）我們首先討論擾動(dòng)的分布。4.1.的概率分布.前述對(duì)（4.1）作OLS 時(shí)，對(duì)擾動(dòng)的分布沒(méi)有假定。也就是說(shuō)，無(wú)論擾動(dòng)的分布為何，對(duì)（3.1）作OLS，所得到的估計(jì)量，在前面10條假定之下，均為BLUE，如果研究的目的僅是估計(jì)參數(shù)，OLS方法就可實(shí)現(xiàn)這一目的。但是，沒(méi)有分布假設(shè)，不可能對(duì)估計(jì)參數(shù)作出任何推斷，也就不可能對(duì)估計(jì)作出有意義的評(píng)價(jià)，而且也不可能對(duì)任何有關(guān)總體的假定作出檢驗(yàn)。對(duì)的概率分布作出合適的假定，即假定為正態(tài)分布，能解決上述問(wèn)題。4.2.的概率分布假定為正態(tài)分布經(jīng)典正態(tài)線性回歸假定具有正態(tài)分布，且 均值： 方差： ，表示對(duì)每一個(gè)，方差相同 協(xié)方差 上述假定采取記為 （4.2）上述假定表示，每一個(gè)具