JumpEGARCH模型基礎(chǔ)上檢驗跳躍現(xiàn)象

1、 第1組計量經(jīng)濟學(xué)理論與方法Jump-EGARCH模型基礎(chǔ)上檢驗跳躍現(xiàn)象一文獻綜述自回歸條件異方差模型（ARCH模型）自恩格爾(1982)提議以來，因為能夠擬合隨時間而變得波動，在金融領(lǐng)域得到廣泛地應(yīng)用。但是ARCH模型不僅要求其參數(shù)具備非負性，而且還不能反映波動的非對稱性，為此內(nèi)爾松(1991)提議指數(shù)自回歸條件異方差模型（EGARCH模型）克服ARCH模型的弱點。雖然EGARCH模型容易估計，且具有很好的統(tǒng)計性質(zhì)，但是大量的實證分析證明EGARCH模型還不能充分地描述金融資產(chǎn)普遍存在的“尖峰肥尾”和“杠桿效應(yīng)”等現(xiàn)象?，F(xiàn)在一種比較有效的方法，如喬瑞（1989），達斯（2000），貝內(nèi)（20

2、03）以及約翰斯（2004）等，在ARCH模型的基礎(chǔ)上，增加跳躍因素，即Jump-ARCH模型，ARCH部分用來模擬正常的波動，跳躍部分用來反映給金融資產(chǎn)的收益帶來很大影響的突發(fā)事件。Jump-ARCH模型不僅能夠更好地描述金融資產(chǎn)具有的“肥尾”現(xiàn)象，還由于得到正常的波動部分和“跳躍”因素兩方面的貢獻，更好地擬合金融資產(chǎn)收益上的“尖峰”現(xiàn)象。雖然Jump-ARCH模型廣泛地用于資產(chǎn)定價和金融風(fēng)險等領(lǐng)域，遺憾的是，現(xiàn)存的Jump-ARCH文獻中都幾乎沒有進行模型的檢驗，即跳躍現(xiàn)象的檢驗。計量經(jīng)濟學(xué)上，模型的檢驗與估計同等重要。因為經(jīng)濟研究都是在一定的前提條件下進行，即任何經(jīng)濟理論和經(jīng)濟原理都是有

3、條件的，理解和檢驗這些條件很重要，計量經(jīng)濟學(xué)就是通過模型的檢驗來理解和驗證這些條件。喬瑞(1989), 潘(2002)和哈拉夫(2003)等僅有的幾篇文獻進行模型的檢驗，可惜是用似然比檢驗法檢驗跳躍現(xiàn)象。如安德魯(2001)和 哈拉夫(2003)所述，用似然比檢驗法檢驗跳躍現(xiàn)象時，面臨不可定義參數(shù)(nuisance parameter)的檢驗問題，于是無法保證似然比檢驗統(tǒng)計量漸進地服從正態(tài)分布或者分布。本文嘗試借用迪拉克·德魯塔（Diracs delta）函數(shù)的思想，很幸運地提出規(guī)避不可定義參數(shù)的檢驗跳躍現(xiàn)象的拉格朗日乘數(shù)檢驗統(tǒng)計量。本文安排如下：第二章討論使用的跳躍模型和提議拉格朗

4、日檢驗統(tǒng)計量；第三章進行了蒙特卡羅計算機仿真實驗，驗證提議的拉格朗日檢驗統(tǒng)計量所具備的檢驗效率；最后進行了簡單的總結(jié)。二模型和拉格朗日檢驗統(tǒng)計量為了提議的拉格朗日成數(shù)檢驗統(tǒng)計量能夠廣泛地應(yīng)用，延承文獻，本文對跳躍部分進行具有一般性的假設(shè)。具體伴隨著跳躍現(xiàn)象的EGARCH模型，即Jump-EGARCH模型如下： (1) ,， , ， , , .其中，和 分別代表經(jīng)過均值調(diào)整過的金融資產(chǎn)的收益和誤差項的條件方差； 代表期間內(nèi)觀察到的跳躍現(xiàn)象給帶來的影響；代表期間內(nèi)觀察到的第s次跳躍現(xiàn)象給帶來的影響，并假設(shè)每次跳躍給帶來的影響服從均值為，方差為的正態(tài)分布，即。自然，通過檢驗均值和方差是否同時為0，即

5、，來判斷是否出現(xiàn)了可以觀察到的跳躍現(xiàn)象；代表期間內(nèi)出現(xiàn)可以觀察到的跳躍的次數(shù)，并假設(shè)跳躍出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，即。如果，則意味著期間內(nèi)沒有出現(xiàn)可以觀察到的跳躍現(xiàn)象；如果對于任意的t而言， 則意味著在整個樣本區(qū)間內(nèi)沒有出現(xiàn)能夠觀察到的跳躍現(xiàn)象。雖然邏輯上可以通過檢驗與否來判斷樣本區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)能夠觀察到的跳躍現(xiàn)象，不幸，統(tǒng)計學(xué)上無法檢驗。此外，還假設(shè)跳躍出現(xiàn)次數(shù)與跳躍出現(xiàn)的頻率無關(guān)；跳躍出現(xiàn)與否，以及跳躍帶來的影響都與傳統(tǒng)的EGARCH波動無關(guān)。為了計算方便，假設(shè)單位時間為一天。顯然，對于任意單位時間內(nèi)，如果，方程（1）所定義的Jump-EGARCH過程實際上是一個EGARCH模型。把EG

6、ARCH模型理解為退化的跳躍過程和EGARCH波動復(fù)合而成的模型。自然，可以通過檢驗跳躍的影響是否服從均值和方差同時為0的正態(tài)分布，來判斷樣本是否出現(xiàn)了可以觀察到的跳躍現(xiàn)象，進而判別應(yīng)該使用EGARCH模型，還是使用Jump-EGARCH模型擬合該金融資產(chǎn)的收益。原假設(shè)和備擇假設(shè)分別定義為： ；. 原假設(shè)，表示沒有出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，即EGARCH模型； 備擇假設(shè)，意味著出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，即Jump-EGARCH模型。傳統(tǒng)上，有沃爾德檢驗法，似然比檢驗法，和拉格朗日乘數(shù)檢驗法三種檢驗方法。前兩種檢驗法都需要借用備擇假設(shè)的信息進行檢驗。檢驗跳躍過程時，存在不可定義參數(shù)，從而無法保證這兩種檢驗統(tǒng)計量漸進地服

7、從分布。LM統(tǒng)計量只需借助原假設(shè)的信息計算而得，一定程度上能夠規(guī)避不可定義參數(shù)的檢驗問題。假設(shè)跳躍過程與EGARCH模型無關(guān)，于是先考慮跳躍部分密度函數(shù)的計算。若某一單位時間內(nèi)沒有出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，認(rèn)為此時出現(xiàn)了退化的跳躍現(xiàn)象，即沒有影響的跳躍。自然可以認(rèn)為退化的跳躍帶來的影響服從均值和方差都為0正態(tài)分布。雖然無法直接計算方差為0的正態(tài)密度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但是把退化的跳躍理解成中心為0的迪拉克·德魯塔函數(shù)，不僅可以計算似然函數(shù)，而且還能簡化一階導(dǎo)數(shù)的計算。t時刻的跳躍部分的密度函數(shù)分成兩部分：權(quán)重為的跳躍部分，和權(quán)重為的退化跳躍的部分。密度函數(shù) , (2)其中，迪拉克·德魯塔函數(shù)代

8、表退化的跳躍現(xiàn)象；代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)；和分別代表單位時間t內(nèi)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象和沒出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象的概率。 此外，迪拉克·德魯塔函數(shù)還能夠簡化一階導(dǎo)數(shù)的計算。對于迪拉克·德魯塔函數(shù)，任意的函數(shù)和自然數(shù)k，存在， 。 (3) 聯(lián)合密度函數(shù)通過對變量進行積分得到單位時間t的密度函數(shù)， 。 (4)于是，對數(shù)似然函數(shù) 。(5)樣本的對數(shù)似然函數(shù) 。 經(jīng)過計算，本文提議的LM檢驗統(tǒng)計量S表示為,其中，, , 代表對數(shù)似然函數(shù)，具體, ，代表一個由費歇爾情報矩陣(Fisher Information Matrix）I的逆矩陣中的前兩行和前兩列的元素構(gòu)成2行2列的對稱矩陣。具體I為 雖然，

9、和中存在不可定義參數(shù)，但是通過對和的分別乘上和， 可以得到與參數(shù)無關(guān)的 和 ，從而保證了LM統(tǒng)計量S與無關(guān)，規(guī)避了不可定義參數(shù)的檢驗問題。當(dāng)樣本很大時，提議的檢驗統(tǒng)計量S漸進地服從分布，即。三 計算機仿真和實證分析由于不能通過解析的方法證明本文提議的LM檢驗統(tǒng)計量是否漸進地服從分布，即證明，于是使用蒙特卡羅仿真技術(shù)進行計算機仿真實驗來驗證LM檢驗統(tǒng)計量S是否真的漸進地服從分布。LM檢驗統(tǒng)計量是在沒有跳躍出現(xiàn)原假設(shè)的基礎(chǔ)上計算得到的，即在一個EGARCH模型的基礎(chǔ)上估計得到。于是，本文制作服從EGARCH分布的隨機數(shù)據(jù)，計算提議的LM檢驗統(tǒng)計量S。如果S漸進地服從于自由度為2的分布，說明所提議的

10、LM檢驗統(tǒng)計量S是有效的，否則為無效。具體，用TSP（Time Series Procedure）軟件，制作了2100個服從于EGARCH分布的隨機數(shù)據(jù)。為了規(guī)避初始值的影響，刪掉樣本中的前100個數(shù)據(jù)。雖然已經(jīng)對所有參數(shù)的方差和協(xié)方差進行了解析計算，但是除非知道全部方差和協(xié)方差具體數(shù)值，否則無法計算費歇情報矩陣。一般情況下，用一階導(dǎo)數(shù)的積來估計費歇情報矩陣I，這種方法又簡稱為BHHH法。具體秉承慣例，本文也用BHHH方法估計費歇情報矩陣I。分別對由1985年10月17日到1989年9月29日和1989年10月2日到1993年9月14日1000個標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)構(gòu)成的樣本進行跳躍的檢驗，結(jié)果

11、含有1987年10月19日黑色星期一的第一個樣本的拉格朗日乘數(shù)檢驗統(tǒng)計量為9.23，拒絕沒有跳躍現(xiàn)象的原假設(shè)；第二個樣本的拉格朗日乘數(shù)檢驗統(tǒng)計量為2.59，無法拒絕沒出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象的原假設(shè)。這些結(jié)果有力地支持EGARCH模型可以擬合金融資產(chǎn)收益的正常波動，跳躍過程只能模擬給金融資產(chǎn)帶來很大影響的突發(fā)事件，例如1989年10月19的黑色星期一。四 結(jié)論雖然Jump-EGARCH模型比EGARCH模型能夠更好地擬和金融數(shù)據(jù)的“尖峰肥尾”和“杠桿效應(yīng)”。但是跳躍模型很難估計，如果能夠準(zhǔn)確地區(qū)分EGARCH模型和Jump-EGARCH過程，即弄清楚Jump-EGARCH過程的“來龍”，既可以進行準(zhǔn)確的分

12、析，而且也有助于EGARCH模型和Jump-EGARCH模型的推廣應(yīng)用?？墒?，由于在進行在Jump-EGARCH模型的基礎(chǔ)上檢驗跳躍現(xiàn)象出現(xiàn)與否時常常遇到不可定義參數(shù)的檢驗問題。存在不可定義參數(shù)，即使是大樣本，傳統(tǒng)的漸進理論和標(biāo)準(zhǔn)的檢驗方法也無能為力。為此，首次提議成功規(guī)避不可定義參數(shù)檢驗拉格朗日乘數(shù)檢驗統(tǒng)計量。并通過蒙特卡羅仿真實驗和實證分析證實該檢驗統(tǒng)計量的效率。參考文獻1 Ball C.A. and W.N. Torous, 1985. On Jumps in Common Stock Prices and Their Impact on Call Pricing. Journal of

13、 Finance 40, 155-173.2 Bates D.S., 1996. Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutschemark Options. Review of Financial Studies 9, 69-107.3 Bates D.S., 2000. Post-87 Crash Fears in the S$P 500 Futures Option Market. Journal of Econometrics 94, 181-238.4 Beine M and S.

14、 Laurent, 2003. Central Bank Interventions and Jumps in Double Long Memory Models of Daily Exchange Rates. Journal of Empirical Finance 10, 641-660.5 Chernov M., A. R. Gallant, E. Ghysels and G. Tauchen,. 2003. Alternative models for stock price dynamics. Journal of Econometrics 116, 225-257.6 Consi

15、gli G., 2002. Tail Estimation and Mean-VaR Portfolio Selection in Markets Subject to Financial Instability. Journal of Banking & Finance 26, 1355-1382.7 Das S.R., 1999. A Direct Discrete-time Approach to Poisson-Gaussian Bond Option Pricing in the Healt-Jarrow-Morton Model. Journal of Economic D

16、ynamics and Control 23, 333-369.8 Das S.R., 2002. The Surprise Element: Jumps in Interest Rates. Journal of Econometrics 106, 27-65.9 Davies R.B., 1977, Hypothesis testing when a nuisance parameter is present only under the alternative, Biometrika 64 247-254.10 Drost F. and Werker B., 1996. Closing

17、the GARCH Gap Continuous Time GARCH Modeling. Journal of Econometrics 74, 31-57.11 Duffie D. and J. Pan, 2001. Analytical Value at Risk with Jumps and Credit Risk. Finance and Stochastics 5, 155-180.12 Jarrow R.A. and D. Madan , 1995. Option Pricing Using the Term Structure of Interest Rates to Hedg

18、e Systematic Discontinuities in Asset Returns. Mathematical Finance 5, 311-336.13 Johannes M., 2004. The Statistical and Economic Role of Jumps in Continuous-Time Rate Models. Journal of Finance 59, 227-260.14 Jorion P., 1989. On Jump Processes in the Foreign Exchange and Stock Markets. Review of Fi

19、nancial Studies 1, 427-445.15 Khalaf L., J. Saphores and J. Bilodeau, 2003. Simulation-based Exact Jump Tests in Models with Conditional Heteroskedasticity. Journal of Economic Dynamics & Control 28, 531-553.16 Kijima M. and T. Suzuki, 2001. A Jump-Diffusion Model for Pricing Corporate Debt Securities in a Complex Capital Structure. Quantitative Finance 1, 611-62