Simplexmethod及其在數學建模中的應用

1、線性規(guī)劃理論在數學建模中的應用前 言 線性規(guī)劃模型是運籌學中的一個重要分支，其基本解法但出行飯法則是處理運籌學模型的一種重要方法。主要用于研究解決有限資源的最佳分配問題，即如何對有限的資源做出最佳方式的調配和最有利的使用，一邊最充分地發(fā)揮資源的效能去獲取最佳經濟效益。從數學的角度來說，就是在對決策變量施加一組線性等式，不等式以及符號的約束下，求決策變量的線性目標函數的最大化或最小化。與其他的數學分支相比，線性規(guī)劃是一個相當年輕有非?；钴S的應用數學分支。自提出了一般線性規(guī)劃問題求解的方法單純形法之后，線性規(guī)劃在理論上趨向成熟，在應用日益廣泛與深入。特別是在電子計算機能處理成千上萬個約束條件和決策

2、變量的線性規(guī)劃問題之后,線性規(guī)劃的適用領域更加廣泛了。從解決技術問題的最優(yōu)化設計到工業(yè)、農業(yè)、商業(yè)、交通運輸業(yè)、軍事、經濟計劃和管理決策等領域都可發(fā)揮重要作用。線性規(guī)劃的廣泛應用以及所涉及到的數學理論和計算方法，都引起了專業(yè)人員和學者們很大的興趣。 在大量閱讀相關文獻的基礎上，本文就這些問題作了詳盡的綜述。并將這一最優(yōu)化方法運用于解決實際問題，與相關單位合作完成的兩個項目中均充分涉及到了上述方法。第1章 線性規(guī)劃概述1、 線性規(guī)劃發(fā)展簡史作為運籌學的一個重要分支，線性規(guī)劃問題是最早研究、理論較為完整、應用極其廣泛的一門數學規(guī)劃學科。1939年，前蘇聯(lián)科學家兼經濟學家康托洛維奇發(fā)飆了生產組織與計

3、劃中的數學方法一書，第一次詳細的介紹了線性規(guī)劃問題。1947年，美國貝爾電話公司工程師G.B.Dantzig提出了單純形法，從而實現性規(guī)劃在理論上趨于成熟，在實際應用中日益廣泛與深入。G.B.Dantzig還對線性規(guī)劃理論的提煉和算法改進做出了卓越的貢獻，在1950年到1960年間，線性規(guī)劃理論得到了進一步的發(fā)展和豐富。1975年，瑞典皇家科學院把經濟學的諾貝爾獎授予了L.V.Kantorovic和T.C.Koopmans，以獎勵他們對資源最優(yōu)分配理論的貢獻。1979年，L.G.Kanchian證明了Shor,Judin和Nemirovskii的“橢球法”。這種方法與逐次替代的單純形法是根本不

4、同的，橢圓球法是在一個多項式的時間限界內找到線性規(guī)劃的一個最優(yōu)解。遺憾的是橢圓球法在理論上并不能在實踐應用中得以實現。上世紀80年代，N.的“投影尺度法”使線性規(guī)劃出現了真正的突破。這種新算法不僅在理論上優(yōu)越于單純Katmarkar形法，而且也顯示出對求解大規(guī)模實際問題的巨大潛力。Katmarkar算法不同于單純形法，他是從可行域的內部去逼近一個最優(yōu)解。以內點發(fā)已經成為人們近幾十年的研究的焦點。1985年，E.Barmes和R.Vanderbei,M.Meketon和B.Freefman重新提出（原來）仿射尺度算法來解標準的線性規(guī)劃問題，并給出了算法的收斂性證明。后來，Adler等人提出了類似

5、的對偶仿射尺度算法用來解對偶仿射尺度算法。近二十年，線性規(guī)劃在國內也有了較大的發(fā)展，主要是針對單純形法和內點法的改進以及在各個學科的交叉研究，各個領域的具體應用。1997年，中科院的楊德莊提出的核心算法，姚侗、何金瞳提出的直接搜索迭代算法，萬朝燕，李曉峰等人提出的利用K-T條件和KS函數來解線性規(guī)劃的方法，彭躍輝等人的原始基線算法，高培旺、范國兵的外點單純性算法涂為員的優(yōu)面算法，胡鐵松等人應用神經網絡求解線性規(guī)劃問題的解等?？傊€性規(guī)劃繼單純形法提出經歷了幾十年的發(fā)展，理論日益趨于成熟，應用日益廣泛，特別是電子計算機能處理成千上萬個約束條件和決策變量的線性規(guī)劃問題之后線性規(guī)劃的適用領域更為廣

6、泛，從解決技術問題的最優(yōu)設計到工業(yè)、農業(yè)、商業(yè)、交通運輸、軍事、經濟計劃和管理決策等領域也發(fā)揮各自作用。2、 線性規(guī)劃問題的數學模型凡滿足以下三個條件的問題，就叫做線性規(guī)劃問題：(1) 可用一些變量表示問題的待定方案，這些變量的一組定值就代表一個具體的方案。因此，可將這些變量稱為決策變量，并往往要求它們?yōu)榉秦摰摹?2) 存在一定的約束條件，這些約束條件都能用關于決策變量的線性等式或不等式來表示。(3) 有一個期望達到的目標，它可用決策變量的線性函數(稱為目標函數)來表示。根據具體問題的不同，要求目標函數實現最大化或最小化，線性規(guī)劃就是研究并解決上述問題的一種理論和方法。滿足以上三個條件的數學模

7、型稱為線性規(guī)劃的數學模型，簡稱線性規(guī)劃模型。(1) 線性規(guī)劃的一般形式線性規(guī)劃問題的一般形式為：求一維向量，使得 (1.1) (1.2)其中：，(i=1,2,m;j=1,2,n)為已知常數，式(1.1)稱為目標函數，式(1.2)稱為約束條件，特別呈為非負約束條件。以上給出的是線性規(guī)劃問題的一般形式。對于不同的問題而言，目標函數可以是求極大值或求極小值；約束條件可以是線性不等組，或者線性等式組，或者兩者兼而有之，變量可以有非負限制，也可沒有，為了研究問題的方便，人們給出了下面形式的所謂標準形式。 (二) 線性規(guī)劃的標準形式線性規(guī)劃問題的標準形式為： (1.3)其中要求假設，否則將方程兩邊同乘以(

8、-1)，將右端化為非負數。用矩陣描述線性規(guī)劃得標準形式為其中 ， (1.4)稱A為約束條件的維系數矩陣，簡稱為系數矩陣，b為資源向量，C為價值向量，X為決策向量。以后，我們提到的標準線性規(guī)劃問題，記為(LP)。(3) 線性規(guī)劃問題的一般理論對于（1.4）式所示的標準線性規(guī)劃問題(LP)，凡是滿足該問題所有約束條件的向量x，我們就稱之為(LP)的可行解。而使得達到最小值的可行解，稱之為(LP)的最優(yōu)解，記為；所對應的目標函數值稱之為最優(yōu)值，記為。另外，約束條件A為維矩陣，不妨設其秩為m，即視其為滿秩矩陣。若B為矩陣A中的一個m階非奇異子矩陣，則稱B為(LP)的一個基。構成B的每個列向量均稱之為基

9、向量，而以基向量為系數的相應變量為基變量，其他變量稱為非基變量。在約束條件的各個約束方程中，令非基變量為0，所得的解稱為基本解。滿足非負約束的基本解，稱為基本可行解，簡稱基解，相應的基稱為可行基。關于標準線性規(guī)劃問題(LP)的解，有下面兩個基本性質：1. 若(LP)有可行解，則它也一定有基本可行解。2. 若(LP)有最優(yōu)解，則它也一定有基本可行解是最優(yōu)解。由以上這兩條性質，我們可以知道，若想求出(LP)的最優(yōu)解，不必考慮其所有可行解，只需考慮(LP)的滿足非負約束的基解(即基本可行解)即可。一個具有m個獨立約束方程，n個決策變量的線性規(guī)劃問題，其基本可行解的數目最多為個。這樣，既可縮小考慮問題

10、的范圍，又不會漏掉要求的解。因此，以后我們求解(LP)時，只考慮其滿足非負約束條件的基本可行解。第2章 單純形法概論單純形法的基本思路就是：先找到一個初始基可行解，如果不是最優(yōu)解，設法轉換到另一個基本可行解，并使目標函數值不斷減小，直至找到最優(yōu)解為止。1、 單純形方法基本步驟（1） 單純形法的開始-尋找初始基本可行解要求解一個給定的線性規(guī)劃問題，單純形法是從尋找一個初始基可行解開始的。確定初始基可行解的一般方法是根據不同形式的約束條件添加一些變量來獲得初始可行基，在此基礎上利用單純形法的邏輯來求出初始基可行解。文獻【22】中P22-23給出了具體的操作方法。比較常用的初始化方法有兩階段法和大M

11、法【22】。（二）單純形法的停止-最優(yōu)性檢驗及解得判別對線性規(guī)劃問題的求解結果可能出現唯一最優(yōu)解、無窮多最優(yōu)解、無界解（即無最優(yōu)解）、無可行解四種情況，為此需要建立對解得判別準則。（3） 單純形法的迭代-向改進方向移動所謂向該機方向移動，也就是設法從已有的基可行解轉換到贏一個基可行解具體做法就是從原可行基中換一個列向量（要保證線性相關），得到一個新的可行基。為了達到這個目的，需要確定進基變量和離基變量，讓它們相應的系數列向量進行對換，得到一個新的基可行解，即找到一個迭代主元進行Gauss消元變換。如何確定迭代主元呢？課件文獻【23】。這樣，通過確定初始基可行解，檢驗是否為最優(yōu)解，若不是，則設法

12、轉換到另一個基可行解，并使得目標函數值不斷減小，直至出現以上四種解得情況之一為止。由于一個給定的線性規(guī)劃問題，其基可行解的數目總是有限的，若迭代不出現循環(huán)，則最終必可出現以上四種解的情況之一。（4） 計算步驟綜上，對于一個給定的線性規(guī)劃問題，單純形法的計算步驟如下：SETP1 找出初始可行基，確定初始可行解。SETP2 檢驗各非基變量的檢驗數，若0，則已得最優(yōu)解，停止計算；否則，轉SETP3。SETP3 若有某個對應的的系數中對所有 均有，則此問題無最優(yōu)解，停止計算；否則，轉SETP4。SETP4 令，確定為進基變量，然后，令確定為離基量；以元素為迭代主元進行Gauss消元，可得一個新的可行基

13、以及相應的新的基可行解和檢驗數行，然后轉到STEP2。2、 單純形法的進一步討論用單純形法解決線性規(guī)劃問題時，第一步就是要尋找一個初始可行基。在將線性規(guī)劃問題化為標準型后，如果系數矩陣中含有單位矩陣，則可以找到一個初始可行基。但在實際問題中，并不一定都能直接找到初始可行基，這就需要引入人工變量，用大M法或兩階段法來確定初始可行基。但采用大M法，當用計算機求解時，由于每一臺計算機都有一定字長的限制，于是只能用很大的數來代替充分大的M，這樣就可能造成計算上的錯誤。本文就從引入人工變量和不引入人工變量兩個方面進行兩階段法的討論。（1） 引入人工變量的方法在線性規(guī)劃問題中引入人工變量，把問題變?yōu)榧s束方

14、程組的系數矩陣中含有單位矩陣，用以作為人造基，然后按單純性方法進行換基迭代，求得最優(yōu)解或判定無可行解。1. 線性規(guī)劃問題中的兩階段法在利用線性規(guī)劃的單純形法求解時，首先，要在線性規(guī)劃問題中引入人工變量，把問題變?yōu)榧s束方程組的系數矩陣中含有單位陣。用以作為人造基，然后按單純性方法進行換基迭代，求得最優(yōu)解或判定無最優(yōu)解，這種方法稱為兩階段法。第一階段是判斷原線性規(guī)劃問題是否存在基本可行解。一般地 （I）上式稱為原問題。在（I）中加入人工變量，構造輔助問題（II）注意到，在（I）中加入的人工變量的個數m正好是（I）問題中約束方程組中含有方程的個數。第二階段是由第一階段最后求得原問題（I）的一個可行基

15、開始，運用單純形法，求得原問題（I）的最優(yōu)解或判定原問題（I）無可行解。2. 線性規(guī)劃問題中兩階段飯的簡便算法有些線性規(guī)劃問題，引進松弛變量化成標準型后，約束條件方程組的系數矩陣并不含m階單位矩陣，這樣就給單純形解法的換基迭代帶來了困難。線性規(guī)劃在利用兩階段法階這類問題時，尤其是一些具體的實際問題，對于加入的人工變量 應該根據問題盡可能的少，使人工變量的個數小于（或等于）m。本文就線性規(guī)劃問題的原問題（I）在加入人工變量y中，如何根據所給問題盡可能的少引入人工變量，通過例子來說明線性規(guī)劃問題兩階段法的簡便計算法。需要注意的是盡可能少引入人工變量y的同時，保證使問題（II）的約束條件方程組的系數

16、矩陣中有一個可行基，這就要根據實際問題，靈活運用兩階段法，看下面的例子。解線性規(guī)劃問題：引入松弛變量，將問題化為標準形式：問題（I）沒有一個現成的可行基，因此要用兩階段法解，引進下面的輔助問題。一般的問題（I）中約束條件的方程組含有3個方程就要引入3個人工變量，而人工變量越多，線性規(guī)劃問題中的變量就越多，計算量就越大。因此，我們根據（I）中的具體問題盡可能少的引入人工變量y。再此問題中注意到第一個方程中松弛變量前的系數為+1，且其它兩個方程中不含有，為使技術簡單，只引入兩個人工變量、。 輔助問題（II）有一現成的可行基,基變量為和，對應于基的單純性表為： 10 0 0 0 1 2 2 0 -1

17、0 1 0 0 2 1 1 0 09 0 0 0 2 3 -1 1 04 0 1 0 0 2 1 0 -16 0 0 1 1 0 1 0 0檢驗數有正數，進行換基迭代，得對應于新基的單純性表如下： 0 0 0 1 2 2 0 -1-9 1 0 0 2 1 1 0 0 0 0 0 2 3 -1 1 04 0 1 0 0 2 1 0 -1 0 0 1 1 0 1 0 0檢驗數仍有正數，繼續(xù)換基迭代，得對應于新基的單純性表。 0 0 0 0 -5 1 1 0 0 0 3 -1 -1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 檢驗數仍有正數，繼續(xù)換基迭代，得對應于新基的單純形表。 0 0

18、 -1 -1 0 0 0 0 0-11 1 0 0 0 0 0 04 0 0 1 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 單純表中檢驗數已全非正，所以基為輔助問題（II）的最優(yōu)基，minZ=0，同時基的基變量無人工變量，所以為問題（I）的可行基，對應的單純形表為： -11 0 0 0 04 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 檢驗數已全非正，故為問題（I）的最優(yōu)基，對應的最優(yōu)解為：目標函數最小值為。所以原線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解為，目標函數最大值為。由上面的解題過程，我們看到對于線性規(guī)劃問題約束方程組的系數矩陣中不含有m階單位矩陣，求初始可行基的方法。問題化為（I）以后，注意約束條件的

19、結構，盡可能少的引入人工變量y，方法靈活一些，可使線性規(guī)劃問題中兩階段法的解題過程簡單明了。（2） 不引入人工變量的方法采用兩階段法，要把原線性規(guī)劃問題化為兩個線性規(guī)劃問題來求解，這勢必會增大計算量，使得計算過程繁瑣、冗長，并且計算機的存儲量也隨之增加。我們設想，對無現成可行基的線性規(guī)劃問題可否不引入人工變量，而像用初等變換求解線性方程組那樣直接找出原問題的可行基呢？答案是肯定的。事實上，一個基可行解就是約束方程組的一個自由變量取零時的非負特解。1. 對（1.3）線性規(guī)劃標準型，由文獻【23】的分析知，可直接通過對約束條件的系數矩陣A進行一系列初等變換，變?yōu)楹衜階的單位陣的形式?；谶@一思想

20、，在文獻【22】中作者在求解線性規(guī)劃問題時，通過對其約束條件的系數矩陣和增廣矩陣秩的討論，得出原問題的一個可行基，進而得出基變量，然后進過一系列代換，最終列出單純性表，利用常規(guī)單純形法求出原問題的最優(yōu)解。這一思想是值得我們借鑒的，但作者的求結果稱軍事通過立體來說明的，并沒有給出明確的算法，且列出單純性表前的一系列準備工作過于零散和繁瑣。文獻【24】對其求解過程作了進一步的改進，所有的計算均統(tǒng)一在單純性表下完成，且給出了明確的算法。2. 改進的線性規(guī)劃兩階段算法通過以上的分析可將原算法改為下列的簡化算法：(1)，若，且，此時第行為矛盾方程，原問題無可行解，停止計算。若，且，則第行乘以（-1）后轉

21、入，否則直接轉（3）。(2) 從第一行開始，考慮所有的項，選取其中一項，以其中對應的變量為基變量，確定出主列為第列。(3) 若有幾個同時達到最小，選其中下標最小的為主行。(4)以為主元進行迭代，得表2。（5）以此類推，對其他各行重(2)(5)步，一般重復m次就可得到一個明顯的可行基。（6）按照單純形法計算出檢驗數和目標函數值CBb此后完全與常規(guī)單純形法相同，通過對檢驗數正負的考察來判斷是否為最優(yōu)解。若是，停止計算。若否，確定出進基及出基變量，進行迭代，直至結束。例：用改進的簡化算法求解maxz-3x1+x3 j解：化為標準型后列出下列迭代表格，見表。表用改進單純形法求解例題的迭代表cj-301

22、00CBXBbx1x2x3x4x541111041-21-10-1-903100-j-301000x441111041-21-10-119031003j-301000x433021110x21-21-10-1-6604031j-301000x41100x2301-9-3x10000-21-003111x3010x2-10-3x10000-21-00-在表中，所有的檢驗數 0(j=1,2,3,4,5）故已得到原問題的最優(yōu)解X=(0, )r ，最優(yōu)值z=.比較線性規(guī)劃兩階段法和本文的改進算法，很容易發(fā)現后者有以下優(yōu)點：（）避免了引進輔助問題造成的運算量增大，可明顯提高計算效率。（）可直觀地判斷線性

23、規(guī)劃問題是否有可行基，若有才進行換基迭代，克服了引進輔助問題的盲目性。（）可以簡化計算程序，便于上機操作。并且與文獻相比，本文的優(yōu)勢也是顯而易見的，它更加簡單直觀，易于操作，而且將求可行基、換基迭代的過程統(tǒng)一于一張表下進行，解的情況一目了然。三、單純形法在計算機上的實現對于以上的單純形法的基本原理及解線性規(guī)劃問題的主要步驟，當變量個數及約束個數較大時，用手算是不可能的?，F在已有了不少用來求解線性規(guī)劃問題的數學軟件。如LINGO就是一種專門用來求解數學規(guī)劃的軟件包，其求解線性規(guī)劃的過程是采用單純形法。LINGO軟件可以用來求解線性規(guī)劃、整數規(guī)劃和二次規(guī)劃，具體求解過程可以參照文獻23。第三章單純

24、形法在數學建模中的應用在農業(yè)土地結構優(yōu)化研究中的應用虎林縣位于黑龍江省東部的完達山南麓，地理坐標處于北緯45°23至46°36，東經132°11至139°56之間。以鳥蘇里江為界與俄羅斯聯(lián)邦隔水相望。占地面積平方公里，是全國面積的千分之一，人口萬。土地作為人類生存最基本的自然資源，它與人類的生息、延續(xù)密切相關?；⒘挚h由于土地供需日趨嚴重，為了合理的利用和珍惜每一寸土地，促進土地結構的優(yōu)化利用，發(fā)展本縣經濟，保護生態(tài)環(huán)境，因此，運用線性規(guī)劃對虎林縣土地結構進行優(yōu)化研究，并提出土地結構調整的方案，對合理利用土地和充分挖掘土地生產潛力具有重大的現實和深遠的戰(zhàn)略

25、意義。（一）農業(yè)土地結構優(yōu)化的原則對虎林的土地結構進行優(yōu)化研究時，首先應堅持因地制宣、因時制宜的原則，益農則農，宣林則林，宜牧則牧，按照自然規(guī)律辦事，充分體現該縣土地利用結構的地域差異。其次，應堅持經濟效益的原則，用最小的投入，或最大的收益，充分發(fā)揮該縣土地生產優(yōu)勢；。第三應堅持保護生態(tài)環(huán)境的原剛防止土地污染，裨益當代，造福子孫。具體調整時，要把人口增長、經濟發(fā)展與土地資源的數量、質量結合起來，充分挖掘各類土地的生產潛力，吧綜合開發(fā)利用和區(qū)域整治保護結合起來，協(xié)調好人地關系，建立起不同地域不同層次的復合宏觀用地結構來。（二）建立農業(yè)土地結構優(yōu)化的數學模型模型的一般形式本縣采用的線性規(guī)劃模型是：

26、求在滿足約束條件下使目標函數取得最大時的一系列變量（其中有些變量只能取整數），因此，模型的一般形式為：maxZ=cjxj設置變量由于虎林縣地面溝壑縱橫，支離破碎，相對高差大，降水少麗集中，往往產生很大的坡面徑流，造成嚴重的水土流失。因此，在土地利用上應堅持與生物措施相結合，治坡與治溝相結合，做到梯田、川地、灘地同步，喬木、灌木、草地齊進。根據上述要求，設置如下變量：X1、X2、X3、X4丘為各等地面積；X5、X6為森林、牧草地面積；X1、X2、X3分別為規(guī)劃期內，二等地升一等地（靠興修水利工程）、三等地升二等地（靠修梯田）、四等地升三等地（靠改良土壤）面積；X4為四等地退林地面積：X5為退牧草

27、地面積；X6為牧草地造林面積。規(guī)劃期內線性規(guī)劃模型2010年規(guī)劃期模型（）各等地土地的約束條件在虎林縣土地評價中，已知該縣現有總耕地55萬畝，其中一等地面積15.3萬畝，二等地面積20.2萬畝，三等地面積11.5萬畝，四等地面積萬畝，林地面積337.9萬畝，牧草地面積萬畝。由此可得出下列方程式；一等地：X1-X1，二等地：X2-X2+X1，三等地：X3-X3+X2，四等地：X43+X4+X5，森林地：X5一X4一X6，牧草地：6一X5X6。（）投資約束條件在2010年前的規(guī)劃期內，考慮到虎林縣的具體情況，靠興修各種水利設施，來增加水地面積，新增每萬畝水地需要投資萬元；大搞平整土地，修建梯田，新

28、增每萬宙梯田需投資萬元；靠改良土壤，增施有機肥，新增每畝需投資萬元，靠采取各種措施，封山育林，新增每萬畝森林地需要投資萬元；對于改良現有牧草地，進行人工種草，新增每萬畝牧草地需投資萬元；在自然條件優(yōu)越的牧草地上進行植樹造林，新增每萬畝森林需要投資10萬元，為了能改變虎林縣的舊貌，在規(guī)劃期內，該縣可以自籌資金和國家支援資金大約為萬元。因此，虎林縣規(guī)劃期內的投資約束方程是（其中彈性指標為）：0.6X1+0.45X2+0.23+0.1X4+0.25X5+0.1X610。（）勞動力約束條件該縣在規(guī)劃期內擴大水地每萬母需投入15萬個工，修筑梯田每萬畝需投入萬個工，改良土壤每萬畝需投入萬個工，造林每萬畝需

29、投入萬個工，種草每萬畝需投入萬個工，根據虎林縣實際情況，預計年該縣農村勞動力可達萬人，可提供勞動力萬個（按每年個天計），除牧、副業(yè)尉工外，年大約可提供農、林、水土保持用工百萬一百萬個工，由此可以建立起農田需要投工與可能提供投工的方程式來（彈性指標為）：0.15X1+0.2X2+0.05X3+0.05X4+0.04X5+0.05X6140.68。（）糧食需求約束條件根據虎林縣人口規(guī)劃得知，該縣年人口可達到萬人，用該人口數字乘以全國人均消費標準（糧食標準），就可得出虎林縣年時對糧食總需求為萬斤，即一萬噸。在充分挖掘本縣土地生產潛力的基礎上，預計該縣到年，一等地單產可達斤畝，將它們換算成為萬噸萬畝為

30、單位。因此有（彈性指標0.72）方程：0.5X1+0.4X2+0.276X3+0.175X410.1（）電力供應約束條件虎林縣一等地中包括水澆地的用電量比較大，每萬畝需用電萬度，二等地需用電萬度，三等地需用電萬度，四等地需用店萬度。根據虎林縣電力工業(yè)局規(guī)劃，年度國家可提供5.455.75百萬度。因此可以獲得需電與用電之間的平衡方程式（彈性指標0.3）：0.18X1+0.08X2+0.05X3+0.035.45（）各種災年最低限量約束條件危害本縣農業(yè)生產的主要自然災害是春旱、夏秋旱、夏澇和霜凍，它們可以使農作物分別減產、。按照每年人均最低需要量一公斤計，全縣萬人大約需要糧食一萬噸。為了保證出現自

31、然災害的情況下，滿足該縣最低需要量，從而避免出現不必要的風險，可以建立起災年糧食生產和需求量之間的平衡方程（彈性指標為0.725）：春 旱：0.375X1+0.3X2+0.206X3+0.131X45.8，夏秋旱：0.3X1+0.24X2+0.166X3+0.105X45.8，夏秋澇：0.275X1+0.22X2+0.152X3+0.096X45.8霜凍：0.35X1+0.28X2+0.193X3+0.123X45.8（）有機肥施用約束條件根據虎林縣統(tǒng)計資料獲知，該縣耕地中一等地每萬畝需施用有機肥料萬噸，二等地每萬畝需施有機肥萬噸，三等地每萬畝需施有機肥萬噸，四等地每萬畝需施有機肥萬噸，預計年

32、可獲有機肥料噸，至少可得萬噸，因此有（彈性指標為2.0）：4.8X1+4X2+3.2X3+2.4X4212.8（）生態(tài)環(huán)境約束條件根據虎林農業(yè)、林業(yè)、畜牧業(yè)發(fā)展規(guī)劃可知，到年該縣的森林、草地、果園及四旁綠化等面積將不會少于萬畝這一約束條件，我們可以建立起如下方程式：5655。（）目標函數根據虎林縣的自然環(huán)境條件、勞動力生產水平和機械化程度，預計到年各等林地及牧草每萬畝凈增產分別為萬元、萬元、萬元、萬元、萬元和萬元。目標函數應該是規(guī)劃年內諍增產值的極大值，這個凈增產值等于規(guī)劃年內各等土地凈增產值扣除規(guī)劃期內各項投資額的回收值。因此，可以建立起如下方程式（資本回收取）：MaxZ=2781+1842

33、+1583+1334+315+2906-0.6X1-0.45X2-0.2X3-0.1X4-0.025X5-0.1X6?；⒘挚h年規(guī)劃期模型在年規(guī)劃期預測結果的基礎上，綜合考慮所設置各變量系數與常數項到年的變化情況，可以建立如下規(guī)劃模型：一等地：X1-X117.06，二等地：X2-X2+X122.64，三等地：X3-X3+X28，四等地：X43+X4+X55.6，林地：X5-X4-X639，草地：X6-X5+X116，投資：0.6X1+0.45X2+0.2X3+0.1X4+0.025X5+0.1X612，勞動力：0.15X1+0.2X2+0.05X3+0.05X4+0.04X5+0.05X668.

34、3，糧食：0.5X1+0.4X2+0.276X3+0.175X412.5，電力：0.18X1+0.08X2+0.05X3+0.03X45.62，春旱：0.375X1+0.3X2+0.206X3+0.131X46.43，夏秋旱：0.3X1+0.24X2+0.166X3+0.105X46.43，夏秋澇：0.275X1+0.22X2+0.152X3+0.096X46.43，霜凍：0.35X1+0.28X2+0.193X3+0.123X46.43，有機肥料：4.8X1+4X2+3.2X3+2.4X4214.4，生態(tài)：X5+X656.4.目標函數值：Max=293X1+192X2+168X3+139X4

35、+41X5+295X6-0.6X1-0.45X2-0.2X3-0.1X4-0.025X5-0.1X6。（三）計算結果和分析利用計算機求的結果（見表）并對計算結果進行綜合分析與評價。為了能充分的說明本規(guī)劃期模型的可靠性及科學性，現與2004年對比表如下：200420102015一等地面積15.317.0818二等地面積22.6424.1三等地面積11.588.1四等地面積85.63.7由二等地升為一等地面積1.780.94由三等地升為二等地面積4.22.4由四等地升為三等地面積0.70.5由四等地退林地面積1.00.9由四等地退草地面積0.70.5由牧草地造林面積0.40.1森林地面積37.93

36、940牧草地面積15.41616.4凈增產值1352016763.0217916.44本規(guī)劃模型是在滿足虎林縣各項約束條件下來獲得取提高土地生產潛力，達到最大生態(tài)效益和經濟效益。在各規(guī)劃期末，該縣一等地面積將分別由2004年的15.3萬畝增至17.06萬畝和18萬畝；二等地面積將分別由2004年的11.5萬畝減至8萬畝和6.1萬畝。這樣，三等地逐漸被一、二等地所取代，這不僅有利于充分發(fā)揮虎林縣土地生產潛力，而且還可以為水土保持工作創(chuàng)造一個有益條件。四等地面積將分別由2004年的8萬畝減至5.6萬畝和3.7萬畝，該類土地由于自然條件差，多分布于陡坡和急陡坡上，為了能珍惜每寸土地，使得土地的效益盡

37、可能地發(fā)揮出來，我們將此類地的一部分改造為三等地，一部分進行造林綠化，另一部分為牧草地，為發(fā)展畜牧業(yè)提供草場。森林面積將由2004年的37.9萬畝增至40萬畝；草地面積將分別由2004年的15.4萬畝分別增至16萬畝和16.4萬畝。植被覆蓋率將由2004年的30.6%增至31.8%和32.4%，水土流失面積將會有明顯的減少。因亂墾濫伐造成的土地惡性生態(tài)循環(huán)也會逐步向良性循環(huán)過渡，農業(yè)生產也會逐步向穩(wěn)產、高產方向發(fā)展。如果這一規(guī)劃方案能夠付諸于實施，該縣的土地資源凈增值將會從2004年的1350萬元提高到2010年的16763.02萬元和2015年的17916.44萬元。此時，虎林縣的人民將會過

38、上豐衣足食、安居樂業(yè)的生活，農村的經濟狀況及農村人口人均收入就可以達到小康水平。 參考文獻1L.V.Kantorovick.Mathematicalm ethods ofo rganizing and planning production.Publication House of the Leningrad state unibesity,Lenningrad,1993.2G:Bdantzig.Linear programing and Extensions,Princeton university press,Princeton,NewJerey,1996,126.3L.G.K hachi

39、an.Apolynomiala lgorithm in linear programming.Sovier Mathematics Doklady,1979,20:191-194.4N.Karmar.A new polynomial time algorithm for linear programming.Proceeding of the 16thAnnual ACM symposium on the Theory of computing,1984,302-311.5N.Karmar.A new polynomial time algorithm for linear binatoria

40、l,1984,4:373-395.6I.Adler,N.Karmar.An implementation of Karmas algorithm for linear programming.Mathematical,1989,44:297-355.7E.R.Varnes.A vatiation of Karmarkars algorithm for solving linear programming.Mathematical programming.1986,36:174-182.8R.V anderbei,M.S.Meketon,and B.A.Freedman.A modification of karmarkars linear programming algorithm.Algorithmica.1986,1:395-407.9I.Adler,N.Karmarkar,M.G.C.Re